高中数学多媒体课堂

高中数学多媒体课堂等差数列的前n项和复习回顾1.等差数列的概念2.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d·····０１２３４５nan∵ak=a1+(k-1)d,即a1=ak－(k-1)d.∴通项公式又可改写为an=ak+(n-k)d.3.等差中项Ａ＝———a+b2有一堆钢管，最底下放了15根，上一层是14根，再上一层是13根，……，最顶层是3根．这堆钢管共有多根？3+15=18,4+14=18,5+13=18,6+12=18,……,15+3=18,∴3+4+…+15=等差数列的前n项和18×13／2=117(根).设等差数列{an}的前n项和为Sn，即Sn=a1+a2+…+an,则2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)n个根据通项公式得Sn=a1+(a1+d)+…＋[a1+(n-1)d]，把项的次序反过来，可写成Sn=an+(an－d)+…+[an－(n－1)d]两式相加，得∴等差数列的前n项和公式是2)(1nnaanS等差数列的前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半∵an=a1+(n－1)d,∴公式又可写成dnnnaSn2)1(1=n(a1+an)等差数列前n项和公式2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1类比可知,第一个公式与梯形面积公式相似,而第二个公式又很容易由第一个公式推出,这样我们记忆公式就容易得多了．例1德国古代著名数学家高斯9岁的时候很快就解决了老师给他的问题：1＋2＋3＋…＋100=？你想知道高斯是怎样算出的吗？其结果是多少？1+2+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(55+51)利用公式计算也得5050.=101×50=5050.思考：①在正整数列中，前n个数的和是多少？②在正整数列中，前n个偶数的和是多少？等差数列前n项和公式2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(11＋2＋…＋n=2+4+…+2n=n(n+1)2n(n+1)例2等差数列－10,－6,－2,2,…前多少项的和是54?解:设该数列为{an},前n项的和是54,∵a1=－10,d=－6－(－10)=4,.5442)1(10nnn解得n=9,n=－3(舍弃).因此等差数列－10,－6,－2,2,…前9项的和是54.整理得n2－6n－27=0.练习1.根据条件，求相应等差数列{an}的Sn:①a1=5,an=95,n=10;②a1=100,d=－2,n=50;③a1=14.5,d=0.7,an=32.2.等差数列5,4,3,2,…前多少项的和是－30？答案：①500；②2550；③604.5提示：先化为n2－11n－60=0，得n=15,或n=－4（舍弃）课堂小结等差数列前n项和公式2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.公式的推证用的是倒序相加法(关于n的二次函数)例3求集合M={m|m=7n,n是正整数,且m100}的元素个数,并求这些元素的和.解:由7n100得n100／7,.7214n由于满足它的正整数n共有14个,∴集合M中的元素共有14个.即7,14,21,…,91,98.这是一个等差数列,各项的和是2)987(1414S答:集合M中的元素共有14个,它们的和为735.=735（机动内容）