2.1.1椭圆及其标准方程

1/15椭圆第二章圆锥曲线第一节：鞠光炳2019年10月13日星期日§2.1.1椭圆及其标准方程(一)椭圆标准方程2/15若取一条长度一定(2a)且没有弹性的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？aMF1(F2)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.思考:如果把两端固定在不同处时,又能画出什么图形呢？aMF13/15探究：若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？如果把细绳的两端的距离拉大，那是否还能画出椭圆？MF1F2aMFMF22121FF平面内到两定点的距离和等于定长的点的轨迹是椭圆.4/15时，当2121FFMFMF动点M的轨迹：线段F1F2.MF1F2时，当2121FFMFMF动点M的轨迹：不存在.如果把细绳的两端的距离拉大，那是否还能画出椭圆？5/15绳长记为2a，两定点间的距离记为2c(c≠0).（1）当2a2c时，轨迹是；（2）当2a=2c时，轨迹是；（3）当2a2c时，；椭圆线段F1F2无轨迹6/15•平面上到两个定点的距离的和等于定长2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。•定点F1、F2叫做椭圆的焦点。•两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。1.椭圆定义：如图：caMFMF2221F1F2M2c7/151.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是10，则动点P的轨迹为（）变式：(1)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是8，则动点P的轨迹为（）(2)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则动点P的轨迹为（）A.椭圆B.线段F1F2C.直线F1F2D.无轨迹ABD8/15OxyF1F2M如图所示:F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a(2a2c)的动点M的轨迹方程。解：以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，(-c,0)(c,0)(x,y)设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，则椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}aycxycx2)()(2222即2222)(2)(ycxaycx如何化简?则F1、F2坐标分别为(-c,0)、(c,0)。直接法求曲线方程的基本步骤？（1）建系设点;（2）写出条件；（3）列出方程；（4）化简方程；（5）检验。9/15OxyF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)整理，得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)∵2a2c0，即ac0，∴a2-c20，(ab0)2222)(2)(ycxaycx2222222)()(44)(ycxycxaaycx则222)(ycxacxa整理得2222222222422yacacxaxaxccxaa两边平方得：两边同除以a2(a2-c2)得:122222cayax,22cab令那么①式12222byax①10/15OxyF1F2MOxyF1F2M22221(0)xyabab22221(0)yxabab)0,(),0,(21cFcFx轴上：焦点在),0(),,0(21cFcFy轴上：焦点在2.椭圆的标准方程222bac两种情况都满足：11/15aPFPF||||21bOBOB||||21你能在椭圆中找出长度分别为a,b,c的线段吗？cOFOF||||21OxyF1F2A1B2B1A2aOAOA||||21A1A2叫椭圆的长轴，2a叫长轴长，OA1、OA2叫长半轴，a叫长半轴长；B1B2叫椭圆的短轴，2b叫短轴长，OB1、OB2叫短半轴，b叫短半轴长；F1、F2叫椭圆的焦点，|F1F2|=2c叫焦距，OF1、OF2、c叫半焦距。椭圆中的特殊三角形。12/15例1.已知椭圆方程为,则(1)a=,b=,c=;(2)焦点在轴上,其焦点坐标为,焦距为。(3)若椭圆方程为,其焦点坐标为.2212516xy1251622yx543(-3,0)、(3,0)6x(0,3)、(0,-3)13/152.方程表示的曲线是椭圆，求k的取值范围.14522kyx变式：（1）方程表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围.（2）方程表示焦点坐标为(±2，0)的椭圆，求k的值.14522kyx14522kyx450kk且45k41k14/15yoF1F2MxyxoF2F1M222210yxabab定义图形标准方程焦点及位置判定a,b,c之间的关系|MF1|+|MF2|=2a2c222210xyabab)0,(),0,(21cFcF焦点),0(),,0(21cFcF焦点222cba椭圆的两种标准方程：15/15练习：P36练习第1题作业：P42习题2.1A组第1题