函数的间断点及其分类

二、函数的间断点及其分类一、函数连续性的概念第八节函数的连续性三、连续函数的运算法则四、初等函数的连续性第一章一、函数连续性的概念第一类(可去)间断点第一类(跳跃)间断点第二类(无穷)间断点第二类间断点xyOxyOxyOxyO1…1…定义1.10.)()(00内有定义的某邻域在点设xUxxf1.函数在一点连续的定义存在；)(lim)1(0xfxx→若)()(lim)2(00xfxfxx=→则称函数.)(0处连续在点xxf注1°函数在一点连续的等价定义之一设有函数y=f(x).当自变量x从增量概念:0x变到,0xx∆+x∆则称为自变量的增量(或改变量).若相应地函数y从)(0xf),(0xxf∆+变到则称)()(00xfxxfy−∆+=∆为函数的增量(或改变量).定义1.9（函数在一点连续的增量定义）,00→∆→xxx就是.0)()(0→∆→yxfxf就是.0lim0=→yx∆∆.)()(00内有定义的某邻域在点设xUxxf⇔处连续在点0)(xxf定义）（函数在一点连续的δε−.)()(,,0,000εδδε−−∃∀xfxfxx恒有时使当2°函数在一点连续的等价定义之二⇔处连续在点0)(xxf3°).()(lim)3()(lim)2()()1(0000xfxfxfxfxxxx=→→存在；有意义；定义1.11f(x)在点x0处连续的三要素：.0,0,0,0,1sin)(处连续在试证函数=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=xxxxxxf证,01sinlim0=→xxxQ,0)0(=f又.0)(处连续在函数=xxf),0()(lim0fxfx=→∴例12.单侧连续处在点则称且内有定义在若函数0000)(),()(,],()(xxfxfxfxaxf=−左连续；处在点则称且内有定义在若函数0000)(),()(,),[)(xxfxfxfbxxf=+右连续.定理处连续点在函数0)(xxf处既左连续又右连续点在0)(xxf⇔).()()(000xfxfxf==⇔+−例2解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤−=≤=.21,2,1,2,10,)(2xxxxxxf讨论函数在点x=1处的连续性.由于=−→)(lim1xfx21limxx−→,1==+→)(lim1xfx)2(lim1xx−+→,1=1)(lim1=→xfx,2)1(=f所以f(x)在点x=1处不连续.≠在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上连续的函数,或者说函数在该区间上连续.,),(内连续如果函数在开区间ba连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.3.函数在区间上的连续性.],[)(baCxf∈记作,处右连续端点并且在左ax=,处左连续在右端点bx=.],[)(上连续在闭区间则称函数baxf例3证明函数xysin=在),(∞+−∞内连续.证),(∞+−∞∈∀xxxxysin)sin(−∆+=∆)cos(sin222xxx∆∆+=)cos(sin222xxxy∆∆+=∆122⋅≤∆xx∆=0→∆x即0lim0=∆→∆yx这说明xysin=在),(∞+−∞内连续.类似可证:函数xycos=在),(∞+−∞内连续.04.已知的连续函数),0[,+∞∈=xxyRxaxaxaynnn∈+++=−,110L多项式：0)(,)()(≠∈=xQRxxQxPynnm且有理函数：Rxxy∈=,sinRxxy∈=,cos如果上述三个条件中有一个不满足，则称f(x)在二、函数的间断点及其分类:)(00条件连续必须满足以下三个处在点函数的去心邻域内有定义的在点xxfx;)()1(0有定义在点xxf;)(lim)2(0存在xfxx→).()(lim)3(00xfxfxx=→内有定义，的某去心邻域在点设)()(00xUxxfo1.定义(或间断点).点x0处不连续(或间断)，并称点x0为f(x)的不连续点2.间断点的分类.)()(00是否同时存在与+−xfxf)()(00+−xfxf与间断点0x振荡同时存在.)(0上下方来回摆动直线在某时，当Ayxfyxx==→但),()(00+−=xfxf无意义或)(0xf)()(00+−≠xfxf∞=→)(lim0xfxx)()(lim0∞≠→不存在xfxx可去跳跃无穷其他类第一至少有一个不存在第二类根据：)()()(000xfxfxf≠=+−xytan)1(=2π=x为其第二类（无穷）间断点.0=x为其第二类（振荡）间断点.xy1sin)2(=1=x为其第一类（可去）间断点.11)3(2−−=xxyxoy1例4xytan=2πxyoxyxy1sin=01⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1,211,)(xxxxfy显然1=x为其第一类（可去）间断点.xoy211(5)⎪⎩⎪⎨⎧+=−==0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11−,1)0(−=−f1)0(=+f0=x为其第一类（跳跃）间断点.(4))1(1)(lim1fxfx≠=→≠例5指出下列函数的间断点及其类型：510510)()1(11+−=xxxf解1°找f(x)无定义的点0=x间断点：2°判断间断点的类型510510lim)0(110+−=−→−xxxfQ15050−=+−=0limlim1=+∞=−∞→+∞→xxxxaaa时，当510510lim)0(110+−=+→+xxxfxxx11010511051lim−−+→⋅+⋅−=1=)0()0()0()0(+−+−≠ffff均存在，但与.)(0点的第一类（跳跃）间断是xfx=∴0limlim1=+∞=−∞→+∞→xxxxaaa时，当⎪⎩⎪⎨⎧≥−−=0,110,2)()2(2xxxxxxf解1°找f(x)无定义的点1=x间断点：∞=−=→→11lim)(lim11xxfxxQ.)(1点的第二类（无穷）间断是xfx=∴2°查分段点：0=x0)2(lim)0(20=−=−→−xxfxQ，111lim)0(0−=−=+→+xfx≠.)(0点的第一类（跳跃）间断是xfx=∴)2tan(2)()3(−−=xxxf解1°找f(x)无定义的点间断点：①即，πnx=−2),2,1,0(2L±±=+=nnxπ②即，22ππnx+=−),2,1,0(22L±±=++=nππnx2°判断类型①),2,1,0(2L±±=+=nnxπ)0(2)1==nx)2tan(2lim)(lim22−−=→→xxxfxxQ2−=xu1tanlim0=→uuu处无定义在而2)(=xxf.)(2点的第一类（可去）间断是xfx=∴),2,1(2)2L±±=+=nnxπ2)2tan(lim)(1lim22−−=+→+→xxxfnxnxππQ0tan==ππnn∞=∴+→)(lim2xfnxπ.)(),2,1(2（无穷）间断点的第二类是故xfnπnxL±±=+=②),2,1,0(22L±±=++=nππnx0)2tan(2lim)(lim2222=−−=++→++→xxxfππnxππnxQ)(),2,1,0(22xfnππnx是L±±=++=∴的第一类（可去）间断点.，xxcot,tan在各自定义域内连续.三、连续函数的运算法则定理1.14在某点连续的有限个函数上连续，在),(cos,sin+∞−∞xx积,商(分母≠0)运算,结果仍是在该点连续的函数.例如：经有限次和,差,xxcsc,sec1.四则运算的连续性结论：三角函数在其定义域内连续.利用极限的四则运算法则可以证明：推论(连续函数的线性运算法则))()(xgxf和α和β是常数,)()(xgxfβα+若函数此运算法则对有限个函数成立.在点0x连续,则函数)()(xgxf和的线性组合在点0x连续.例6设)()(xgxf与均在],[ba上连续,证明函数{})(,)(max)(xgxfx=ϕ也在],[ba上连续.证[21)(=xϕQ)()(xgxf−])()(xgxf++[)()()(21xgxfx+=ψ)()(xgxf−−]根据连续函数运算法则,可知)(,)(xxψϕ也在],[ba上连续.{})(,)(min)(xgxfx=ψ如果函数例如：xysin=在]2,2[ππ−上连续单调递增，其反函数xyarcsin=(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.且连续.(减少)则其反函数}),({xIxxfyy∈=)(xfy=在区间xI单调增加)(1yfx−=在对应区间=yI(减少)上亦单调增加且连续.类似地,xyarccos=在区间]1,1[−上连续单调递减.2.反函数的连续性定理1.15xyarctan=xycotarc=及在区间(－∞,+∞)上连续.结论：反三角函数在其定义域内连续..),0(log),()1,0(内连续在内连续，且在证明：+∞=+∞−∞≠=xyaaayax证1°)4(1lim已证第三节例=∞→nna2°.1lim0=→xxa需证：例7，0→xQ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xn1令,1xn≤则，nx10≤)0(11≠≤≤−xnxn,1时当anxnaaa11≤≤−∞→→nx则有，令0由夹逼准则及1°，可得.1lim0=→xxa,10时当a.111)1(1limlim00===→→xxxxaa3°,0Rx∈∀xaxf=)()()(00xfxxfy−∆+=∆00xxxaa−=∆+)1(0−=∆xxaa=−=∆∆→∆→∆)1(limlim000xxxxaayQ000=⋅xa.)(0处连续在xaxfx=∴.),0(log15.1内连续在易知，由定理+∞=xya结论：指数函数，对数函数在其定义域内皆连续.3.复合函数的连续性定理1.16设函数y=f[u(x)]由函数y=f(u)与函数u=u(x)复合而成,,)(lim00uxuxx=→若而函数y=f(u)处连续，则在0uu==→)]([lim0xufxx)(lim0ufuu→)(0uf==→)]([lim0xufxx)],(lim[0xufxx→=)(0uf可以写成:定理1.16的结论1.函数记号f与极限记号可以交换次序;意义:.))((.2的理论依据变量代换xuϕ=例8求.)1(loglim0xxax+→解原式xxax1)1(loglim0+=→eloga=alneln=时，当0→x~)1ln(x+xaln1=ax～xaln)1(log+时，当0→x特别地，若a=e，则定理1.17设函数u=u(x))(00xuuu==即)](lim[)]([lim00xufxufxxxx→→=)].([0xuf=则复合函数y=f[u(x)]而函数y=f(u)在处连续,定理1.17是定理1.16的特殊情形,0处连续在点x例9.),0()(内连续在为常数证明：+∞=µµxy证xxylneµµ==内连续，在),0(ln)(+∞==xxuµϕQ内连续在而),(e)(+∞−∞==uufy.),0()(内连续在为常数+∞=∴µµxy可以证明：µxy=对于μ取任何实数,均在其定义域内连续.结论：幂函数在其定义域内连续.四、初等函数的连续性连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续定理基本初等函数在定义域内连续.基本初等函数在定义域内连续结论：一切初等函数在其定义区间内连续.（定义区间是指包含在定义域内的区间.）21xy−=的连续区间为]1,1[−(端点为单侧连续)xysinln=的连续区间为.Z,))12(,2(∈+nnnππ注1°初等函数仅在其定义区间上连续,在其定义域内不一定连续;如：,1cos)1(−=xy},4,2,0{Lππ±±==xxD即函数在定义域内,)1()2(32−=xxy}1,0{≥==xxxD及在点x=0的去心邻域(邻域半径小于1)内没有定义,.),1[上连续但此函数在其定义区间+∞定义域内的点全部是孤立点，因此它在x=0处不连续，从而在其定义域内不连续.因此在每个点都不连续.每个点的去心邻域(邻域半径小于2π)内均无定义,2°初等函数求极限的方法代入法.是初等函数，设)(xf)()(lim00xfxfxx=→例10.1arcsinlim20xxx−→求解,1arcsin)(2为初等函数xxxf−=x=0是它的定义区间内的点,)0()(lim1arcsinlim020fxfxxxx==−∴→→.0=,0定义区间∈x