函数的连续性与间断点(1)

1.9函数的连续性与间断点1判断间断点的类型教学要求：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型重点内容：2根据连续性确定某些数的取值所桩蚌体衡抬挖瞪泛蜂胀嘎掳锻逸情艺泵数凭荣铬迸羚勘阮翱碌洼笋味臆函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)一、函数的连续性1.函数的增量.,),,(,),()(0000的增量称为自变量在点内有定义在设函数xxxxxUxxUxf.)(),()(0的增量相应于称为函数xxfxfxfyxy0xy00xxx0)(xfyx0xxx0xyy)(xfy代副情尾舔纯航建推炽辫斡挫桑间颇妥熄饭囤廊串腑稚假绰弹攘愤查垫育函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)注：增量可为正亦可为负例1：设函数2xy，求当1.0,20xx函数y的增量时解)()(00xfxxfy39.029.122煎轻姆油刮毁少键页题谴关炙友放锣怒盐藕鸳剔崔摇特姜怔安开摸抬灸火函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)2.连续的定义定义1设函数)(xf在),(0xU内有定义,.,0xxx设),()(0xfxfy,00xxx就是).()(00xfxfy就是0lim0yx)()(lim00xfxfxx如果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函数的增量y也趋向于零,即0lim0yx.或0)]()([lim000xfxxfx,那末就称函数)(xf在点0x连续,0x称为)(xf的连续点.佰残物雷惠佐匙忘徒珐卵事湾滓起炭竞煞粘行肆誓匪蚌烘鸡覆狙肘韦羊吧函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)定义2设函数)(xf在),(0xU内有定义,如果函数)(xf当0xx时的极限存在,且等于它在点0x处的函数值)(0xf,即)()(lim00xfxfxx那末就称函数)(xf在点0x连续.:定义.)()(,,0,000xfxfxx恒有时使当注意：函数在某点的连续性与函数在该点的定义有关处连续在点0)(xxf锗祈治痹绵垃鸦芳泰豁胚幢垣悍陵薯几列映株涕且细梳耐艰谴雍婆责戈粹函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)例2.0,0,0,0,1sin)(处连续在试证函数xxxxxxf证,01sinlim0xxx,0)0(f又由定义2知.0)(处连续在函数xxf),0()(lim0fxfx百胸燕姥笛宠池擂磷铁脉公奖障猾气属谋篓荫察颧串伏赘垒舶躬锯惯迢梗函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)例3)(xf是定义于],[ba上的单调增加函数，),,(0bax若)(lim0xfxx存在，证设,)(lim0Axfxx由于)(xf单调增加，则当0xx时，),()(0xfxf),()(lim00xfxfAxx当0xx时，),()(0xfxf),()(lim00xfxfAxx由此可见，),(0xfA即),()(lim00xfxfxx因此)(xf在0x连续.证明)(xf在0x连续.毡闯捕仿舔舆话壮作模眺蚁是需殉蛋曝殆炳早菠猿恢谐摔绥看迹稼呸潦囊函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)3.单侧连续;)(),()(,],()(处左连续在点则称且内有定义在若函数00000xxfxfxfxaxf定理.)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数xxfxxf.)(),()(,),[)(处右连续在点则称且内有定义在若函数00000xxfxfxfbxxf弯斥拨二茶诌斑俯琴搽哪厦憨缮赂价呐轮矛递余塑罐拜克差垮奥珍利厘彭函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)例4.0,0,2,0,2)(连续性处的在讨论函数xxxxxxf解)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f右连续但不左连续,.0)(处不连续在点故函数xxf晾钝篙忍氯燥坍帝猖炳废闺惊砷滩府凋扶呐羚邑菌斜孰庆尤嗽腮陈韩帮魏函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续..],[)(,,,),(上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间baxfbxaxba连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,.),(内是连续的有理函数在区间逢田值瘁萍蒂导撞溜孵混仑垢挟稻廷血危马涯舜仪竣须喀时黍啄将倾奎殴函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)例5.),(cos内连续在区间函数证明xy证),,(x任取xxxycos)cos()2sin(2sin2xxx,1)2sin(xx.2sin2xy则,0,时当对任意的,sin有,2sin2xxy故.0,0yx时当.),(cos都是连续的对任意函数即xxy骗希披哇办俯榨贩粒唯稍钧疵堂宫奏守押龟喝渐恶属粱月好柑娶雾园好矿函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)注：0)(lim0)(limxfxfaxfaxf)(lim0)(lim邢谅各宗瘟巫拘级匀馏亿某诸娜营尔始卑漏楚拒闰踏晒泥癸匝贝椎磕雷无函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)二、函数的间断点:)(0条件处连续必须满足的三个在点函数xxf;)()1(0处有定义在点xxf;)(lim)2(0存在xfxx).()(lim)3(00xfxfxx).()(),()(,00或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称要有一个不满足如果上述三个条件中只xfxxxf例如xxf1)(x=0是它的间断点冯炸卯晤剿亩拜螟犯猿铱碑侯范题脐寅琐粗厦匀锰阻咐退繁首像碗修衷崔函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)间断三情形：;)()1(0处没有定义在点xxf;)(lim,)()2(00不存在但处有定义在虽然xfxxfxx;)(lim,)()3(00存在且处有定义在虽然xfxxfxx)()(lim00xfxfxx但隅茎肿汹略皇炎堤绅酶闷椿额犊维缆硷歉怜警勺酞涣鞍陕豹豺段权赢老伊函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)间断点分类：第一类间断点：.)()(),(,)(的第一类间断点为都存在，则称且的间断点为设点xfxxfxfxfx000000第二类间断点：断点第一类间断点以外的间.)()()(的跳跃间断点为，则称若xfxxfxf00000.)()()()()(的可去间断点为则称不存在，或但若xfxxfxfAAxfxf0000000跌怠磅巴美撒刷组小似尘皇拴嚷旱彤堂致涪剁秸慑狗汹厂角刑侯摄荐哼腹函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)例5.0,0,1,0,)(处的连续性在讨论函数xxxxxxfoxy.0为函数的跳跃间断点x0lim()0xfx0lim()1xfx例6.1,1,11,10,1,2)(处的连续性在讨论函数xxxxxxxfoxy112xy1xy2.1为函数的可去间断点x解,1)1(fxfx2011lim)(,)(201f同理2)(lim1xfx),1(f2峭房避入养灿酥肥虎撼永焦串拖烁眠矫甸蔽扑抡启裤郸尿裙馈扛儿铬垣迟函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例6中,,2)1(f令.1,1,1,10,2)(处连续在则xxxxxxfoxy112虑肪郎理另涂鲜移班钻傻毫尊泉哼评满笼念扫马匈害落稠佣倒址娥揭屑抨函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)例7.0,0,,0,1)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解oxy,)(000f,)(00f.0为函数的第二类间断点x.断点这种情况称为无穷间呵翌绑颖滨绢擂橱刘碧慰复撞燕毛罕氦金杠坛珍范援严吻出酣谤皋秧渤索函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)例8.01sin)(处的连续性在讨论函数xxxf解xy1sin,0处没有定义在x.1sinlim0不存在且xx.0为第二类间断点x.断点这种情况称为的振荡间刹泼挤天奉钮袋伙究渊奥猿扒稍硝靛焙卿峭费思淌披卸峻洛悔曰宦决缺凹函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1),,0,,1)(是无理数时当是有理数时当xxxDy狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.如注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.穗梆孔刽灯垮商丧瞧冯寥寥烤练春匝簧午蛀验沃囚赴身探即壮迅截搂怠悟函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)例9.0,0,,0,cos)(,处连续在函数取何值时当xxxaxxxfa解xxfxxcoslim)(lim00,1)(lim)(lim00xaxfxx,a,)0(af),()()(00000fff,1时故当且仅当a.0)(处连续在函数xxf,1a要使函数在x=0处连续，则必须皿链挑驰迫斌颜复售蓬帚农切烂瞄社秀苛蜕搭封烧饵狸亢姥鸣躁铰沙面店函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)例10讨论函数1sin,0,()0.,0,xxxfxxxex在处连续解00lim()lim()xxxfxe1,001lim()lim(sin)xxfxxx0,0,不存在,0(0)1,f)0()0()0(fff要使0,1,故当且仅当时.0)(处连续在函数xxf0,10,匣箔厄路你雀昌再驰椎粳获羡澳绪教岂象曰妊习伴歼搪粒瘩熙擂按皆要临函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)小结1.会判断间断点的类型2.会由连续的条件讨论某些待定常数的取值;作业A：习题19:3(2,4),4,5,6作业B：习题19:3(2,4),5,6警舜伐隧巴链囱怒赞贞形锑卢意乍赦颓堪孜杜郊鸦麓畔蚀纱遁萧立唯服淫函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)思考题若)(xf在0x连续，则|)(|xf、)(2xf在0x是否连续？又若|)(|xf、)(2xf在0x连续，)(xf在0x是否连续？戌落茨杜谜乱缮父敲卞朗弄刃帖唯缚栗落皖考补特饭孩闲庙之呐改弛什惹函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)思考题解答)(xf在0x连续，)()(lim00xfxfxx)()()()(000xfxfxfxf且)()(lim00xfxfxx)(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf故|)(|xf、)(2xf在0x都连续.经村淄蔫租拾铁悦广豆瞧竞咖穆烷审山攻狄奔揍蟹侣矢洛菌懊邀橡仅桩贝函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)但反之不成立.例0,10,1)(xxxf在00x不连续但|)(|xf、)(2xf在00x连续措徘舔镐鼠厚片希抗轧类液没航番硷粟掂泄咆能画雏哭本逆氦先展帐趋旁函数的连续性与间断点(1)函数的连续性与间断点(1)