平面任意力系

第三章平面任意力系平面任意力系各个力的作用线在同一平面内，但不汇交于一点，也不都平行的力系称为平面任意力系§3–1力对点之矩§3–2力线平移定理§3–3平面任意力系的简化•主矢与主矩§3–4平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理§3–5平面任意力系的平衡条件和平衡方程§3–6平面平行力系的平衡§3–8平面静力学在工程中的应用举例第三章平面任意力系§3–7物体系的平衡与静不定问题的概念OAdBF一、力矩的定义——力F的大小乘以该力作用线到某点O间距离d，并加上适当正负号，称为力F对O点的矩。简称力矩。§3–1力对点之矩二、力矩的表达式:三、力矩的正负号规定：按右手规则，当有逆时针转动的趋向时，力F对O点的矩取正值。四、力矩的单位：与力偶矩单位相同，为N.m。FdFMO五、力矩的性质：1、力沿作用线移动时，对某点的矩不变2、力作用过矩心时，此力对矩心之矩等于零3、互成平衡的力对同一点的矩之和等于零§3–1力对点之矩4、力偶中两力对面内任意点的矩等于该力偶的力偶矩xyoyFxFFm六、力矩的解析表达式yxOyFxFFxyAB§3–1力对点之矩力对某点的矩等于该力沿坐标轴的分力对同一点之矩的代数和七、力对点的矩与力偶矩的区别：相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个力偶的矩是常量。联系：力偶中的两个力对任一点的之和是常量，等于力偶矩。§3–1力对点之矩§3–2FAOdFAOdFFlAOF==把力F作用线向某点O平移时，须附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原力F对点O的矩。证明：一、力线平移定理：FFFFmFdl0§3–2力线平移定理二、几个性质：1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而不同。2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。3、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。§3–2力线平移定理§3–3平面任意力系的简化•主矢与主矩A3OA2A1F1F3F21F2F3Fl1Ol2l3RLOO==应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O的简化。点O称为简化中心。一、力系向给定点O的简化共点力系F1、F2、F3的合成结果为一作用点在点O的力R。这个力矢R称为原平面任意力系的主矢。附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这力偶的矩用LO代表，称为原平面任意力系对简化中心O的主矩。§3–3平面任意力系的简化•主矢与主矩3213210FmFmFmlllLooo321321FFFFFFR结论：平面任意力系向面内任一点的简化结果，是一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心的主矩。推广：平面任意力系对简化中心O的简化结果主矩：§3–3平面任意力系的简化•主矢与主矩FFFFRn21FmFmFmFmLonooo210主矢：二、几点说明：1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。2、平面任意力系的主矩与简化中心O的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。§3–3平面任意力系的简化•主矢与主矩§3–3平面任意力系的简化•主矢与主矩方向余弦：2、主矩Lo可由下式计算：三、主矢、主矩的求法：1、主矢可接力多边形规则作图求得，或用解析法计算。§3–3平面任意力系的简化•主矢与主矩FmFmFmFmLonooo2102222yxyxFFRRRRFxRx,cosRFyRy,cos==LOORORRRRLoAORRLoA1、R=0，而LO≠0，原力系合成为力偶。这时力系主矩LO不随简化中心位置而变。2、LO=0，而R≠0，原力系合成为一个力。作用于点O的力R就是原力系的合力。3、R≠0，LO≠0，原力系简化成一个力偶和一个作用于点O的力。这时力系也可合成为一个力。说明如下：§3–4平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理简化结果的讨论RFmRLAO00综上所述，可见：4、R=0，而LO=0，原力系平衡。⑴、平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不为零时，则该力系可以合成为一个力。⑵、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。§3–4平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的代数和。§3–4平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理合力矩定理FmRmooyoxooFmFmFmxxoyFFmyyoxFFmyxOyFxFFxyABF1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°例题3-1在长方形平板的O、A、B、C点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对点O的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。解：取坐标系Oxy。1、求向O点简化结果：①求主矢R：§3–4平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理598.030cos60cos432FFFFRxx614.0cosRRxx、R794022.RRRyx'x652,R789.0cosRRyy、R'y5437,RROABCxy§3–4平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理768.0213232130sin60sin421FFFFRyyF1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°②求主矩：FoOmL5.030sin3260cos2432FFF（2）、求合成结果：合成为一个合力R，R的大小、方向与R’相同。其作用线与O点的垂直距离为：m51.0RLdoR/OABCxyLoRd§3–4平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°0,0,0FoyxmFF平衡方程其他形式：0,0,0FFBAxmmF0,0,0FFFCBAmmmA、B的连线不和x轴相垂直。A、B、C三点不共线。平面任意力系平衡的充要条件：力系的主矢等于零，又力系对任一点的主矩也等于零。平衡方程：§3–5平面任意力系的平衡条件和平衡方程解：1、取伸臂AB为研究对象2、受力分析如图yTPQEQDxBAECDFAyFAxαaαcbBFACQDQEl例题3-2伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB重P=2200N，吊车D、E连同吊起重物各重QD=QE=4000N。有关尺寸为：l=4.3m，a=1.5m，b=0.9m，c=0.15m,α=25°。试求铰链A对臂AB的水平和垂直反力，以及拉索BF的拉力。§3–5平面任意力系的平衡条件和平衡方程3、选列平衡方程：:0xF0cosTFAx:0yF0sinTQPQFEDAy:0FmA0sincos2lTcTblQlPaQED4、联立求解，可得：T=12456NFAx=11290NFAy=4936N§3–5平面任意力系的平衡条件和平衡方程yTPQEQDxBAECDFAyFAxα解：1、取梁AB为研究对象。2、受力分析如图，其中Q=q.AB=100×3=300N；作用在AB的中点C。BADQNAyNAxNDCMyxBAD1mq2mM例题3-3梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度q=100N/m，力偶矩大小M=500N•m。长度AB=3m，DB=1m。求活动铰支D和固定铰支A的反力。§3–5平面任意力系的平衡条件和平衡方程3、列平衡方程：:0xF0AxN:0yF0DAyNQN:0FmA0223MNQD4、联立求解：ND=475NNAx=0NAy=-175N§3–5平面任意力系的平衡条件和平衡方程BADQNAyNAxNDCMyx25802083770ABCTQ解：1、取机翼为研究对象。2、受力分析如图.QNAyNAxMABCTA例题3-4某飞机的单支机翼重Q=7.8kN。飞机水平匀速直线飞行时，作用在机翼上的升力T=27kN，力的作用线位置如图示。试求机翼与机身连接处的约束力。§3–5平面任意力系的平衡条件和平衡方程:0xF0AxN:0yF0TQNAy:0FmA0ABTACQMA4、联立求解：MA=-38.6kN•m(顺时针）NAx=0NAy=-19.2kN（向下）3、列平衡方程：§3–5平面任意力系的平衡条件和平衡方程QNAyNAxMABCTA0,0FFBAmm二矩式：且A、B的连线不平行于力系中各力。由此可见，在一个刚体受平面平行力系作用而平衡的问题中，利用平衡方程只能求解二个未知量。0,0FOymF一矩式：平面平行力系平衡的充要条件：力系中各力的代数和等于零，以这些力对任一点的矩的代数和也等于零。平面平行力系的平衡方程：§3–6平面平行力系的平衡GNAQWPNBAB3.02.51.82.0解：1、取汽车及起重机为研究对象。2、受力分析如图。例题3-5一种车载式起重机，车重Q=26kN，起重机伸臂重G=4.5kN，起重机的旋转与固定部分共重W=31kN。尺寸如图所示，单位是m，设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起重量Pmax。§3–6平面平行力系的平衡PGQNA5.55.228.31:0yF0WGQPNNBA:0FmB08.325.25.5ANQGP4、联立求解：3、列平衡方程：5、不翻条件：NA≥0kNGQP5.75.225.51由上式可得故最大起重重量为Pmax=7.5kN§3–6平面平行力系的平衡GNAQWPNBAB3.02.51.82.0一、几个概念：1、物体系——由若干个物体通过约束组成的系统2、外力——物体系以外任何物体作用于该系统的力3、内力——物体系内部各物体间相互作用的力二、物体系平衡方程的数目：由n个物体组成的物体系，总共有不多于3n个独立的平衡方程。§3–7物体系的平衡与静不定问题的概念静定静不定静不定静不定三、静定与静不定概念：1、静定问题——当系统中未知量数目等于或少于独立平衡方程数目时的问题。2、静不定问题——当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。§3–7物体系的平衡与静不定问题的概念解：1、取AC段研究，受力分析如图。例题3-6三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链C连接起来，又用铰链A、B与基础相联结。已知每段重G=40kN，重心分别在D、E处，且桥面受一集中载荷P=10kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。尺寸如图所示，单位是m。物体系的平衡问题P3DEABCNCyNCxNAyNAxDAC:0xF0CxAxNN:0yF0GNNCyAy:0FmC0566GNNAyAx列平衡方程：2、再取BC段研究，受力分析如图。列平衡方程：:0xF0'BxCxNN:0yF0'GPNNByCy06653BxByNNGP:0FmC物体系的平衡问题'yNC'NCxByNBxNPBCENCyNCxNAyNAxDAC'CyCyCxCxNNNN,'联立求解：可得NAx=-NBx=NCx=9.2kNNAy=42.5kNNBy=47.5kN