选修4-5绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法高二数学选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式复习回顾1.绝对值的定义：|a|=a,a0－a,a00,a=02.绝对值的几何意义：实数a绝对值|a|表示数轴上坐标为A的点到原点的距离.a0|a|Aba|a－b|AB实数a,b之差的绝对值|a-b|,表示它们在数轴上对应的A,B之间的距离.3.绝对值的运算性质：2,aaabab，||||||aabb形如|x|a和|x|a(a0)的不等式的解集:①不等式|x|a的解集为{x|-axa}②不等式|x|a的解集为{x|x-a或xa}0-aa0-aa想一想:如果0≤a,以上不等式的解集是什么？解含绝对值不等式的四种常用思路：这四种思路将有助于我们有效地解决含绝对值不等式的问题。方法一：利用绝对值的几何意义观察方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论方法三：两边同时平方去掉绝对值符号方法四：利用函数图象观察探索：不等式|x|1的解集。方法一：利用绝对值的几何意义观察方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论方法三：两边同时平方去掉绝对值符号方法四：利用函数图象观察这是解含绝对值不等式的四种常用思路不等式|x|1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合。0-11所以，不等式|x|1的解集为{x|-1x1}探索：不等式|x|1的解集。方法一：利用绝对值的几何意义观察探索：不等式|x|1的解集。①当x≥0时，原不等式可化为x＜1②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1∴0≤x＜1∴－1＜x＜0综合①②得，原不等式的解集为{x|－1x1}方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论探索：不等式|x|1的解集。对原不等式两边平方得x21即x2－10即(x+1)(x－1)0即－1x1所以，不等式|x|1的解集为{x|-1x1}方法三：两边同时平方去掉绝对值符号oxy11－1探索：不等式|x|1的解集。从函数观点看，不等式|x|1的解集表示函数y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对应的x的取值范围。y=1所以，不等式|x|1的解集为{x|-1x1}方法四：利用函数图象观察1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a0)型不等式求解．|ax＋b|≤c(c0)型不等式的解法：先化为，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax＋b|≥c(c0)的解法：先化为或，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．－c≤ax＋b≤cax＋b≥cax＋b≤－cc=0?c0?|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法：①当c0时，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.②当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|c的解集为∅.③当c0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为∅.|32|7.x解不等式例1.237x原不等式解:237237xx或25xx或{|25}.xxx原不等式的解集为或|32|1x变解不等式练．习式:(,0)(1,)答案:2|5|6xx解不等式．例2.2656xx原不等式解:225656xxxx225602316560xxxxxxx或1236,xx或1|34|6x解不等式．变练习式:1052[,)(1,]333答案:(1,2)(3,6).原不等式的解集为|ax+b|c和|ax+b|c(c0)型不等式比较：类型化去绝对值后集合上解的意义区别|ax+b|c-cax+bc{x|ax+b-c}∩{x|ax+bc},交|ax+b|cax+b-c或ax+bc{x|ax+b-c}∪{x|ax+bc},并2|34|1.xxx解不等式例3.2222340340341(34)1xxxxxxxxxx原不等式或解1:41141351xxxxxx或或或1,513,xxx或，或{|1,13,5}.xxxx原不等式的解集为或或2|34|1.xxx解不等式例3.2234(1)341xxxxxx原不等式或解2:22230450xxxx或13,1,5,xxx或或{|1,13,5}.xxxx原不等式的解集为或或(1)(3)0,(1)(5)0xxxx或解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：(1)(0)fxaafxafxa或(2)(0)fxaaafxa(3)()()()fxgxfxgxfxgx或(4)()()()fxgxgxfxgx22(5)fxgxfxgx3.解不等式1|2x+1|3.答案:(-2,-1)∪(0,1)5.解不等式：|x-1||x-3|.答案:{x|x2}.4.解不等式|5x-6|6-x.答案:(0,2)练习2.|2x2-x|1}121|{xx1.|2x-1|5}32|{xxx或6.|2x-1|1}1|{xx2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法可采用三种方法：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用各绝对值的零点分段讨论；(3)构造函数，利用函数图像分析求解．例4.解不等式|x-1|+|x+2|≥5方法一:利用绝对值的几何意义．解:如图,数轴上-2,1对应的点分别为A,B，∴原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.-212-3-10AA1BB1-3,2对应的点分别为A1,B1，∵|A1A|+|A1B|=5,|B1A|+|B1B|=5,∴数轴上,点A1和B1之间的任何一点,到点A,B的距离之和都小于5,而A1的左边或B1的右边的任何一点,到点A,B的距离之和都大于5,这种方法体现了数形结合的思想方法二:利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,分段讨论去绝对值例4.解不等式|x-1|+|x+2|≥5(1)2x当时,解:2(1)(2)5xxx原不等式23.3xxx(2)21x当时,21(1)(2)5xxx原不等式21.35xx(3)1x当时,1(1)(2)5xxx原不等式122xxx这种解法体现了分类讨论的思想∴原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解．|1||2|50,xx原不等式化为解:例4.解不等式|x-1|+|x+2|≥526,2221241xxyxxx即，，(x-1)+(x+2)-5x1-(x-1)+(x+2)-5-2≤x≤1-(x-1)-(x+2)-5x-2f(x)=构造函数f(x)=|x-1|+|x+2|-5,则-312-2-2xy这种方法体现了函数与方程的思想．例4.解不等式|x-1|+|x+2|≥5如图,作出函数的图象,26,2221241xxyxxx，，320,xxy由图象可知,当或时,函数的零点是-3,2.∴原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况．解不等式|x－3|－|x＋1|1.234:3,(2)(3)4,35,2342(,3].32,(2)(3)4,3254,234(3,2).2,2(2)(3)4,xxxxxxxxxxxxxxxxxxx　解不等式　　解当时原不等式可化为解得即不等式组的解集是当时原不等式可化为即显然成立所以不等式组的解集为当时原不等式可化为即例　23,[2,).2342,.xxxR不等式组的解集是综上所述原不等式的解集是122:1,(1)(2)2,111,,1.1222212,(1)(2)2,1212,122(1,2).52,122,3,2xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解不等式解当时原不等式可化为解得即不等式组的解集是当时原不等式可化为即显然成立所以不等式组的解集是当时原不等式可化为即所以不等式组例；252,.122215,,.22xx的解集是综上所述原不等式的解集是练习不等式|2x－1||x|的解集为__________________．{x|x1或x13}Rx2521，21xx[例3]已知不等式|x＋2|-|x＋3|m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅.分别求出m的范围．[思路点拨]解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的范围．解：法一：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．[例3]已知不等式|x＋2|-|x＋3|m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅，分别求出m的范围．[解]法二：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由图像知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m1，m的范围为(－∞，1)；[例3]已知不等式|x＋2|-|x＋3|m.(1)若不等式有解,求出m的范围．(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的范围为(－∞，－1)；(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的范围为[1，＋∞)[例3]已知不等式|x＋2|-|x＋3|m.(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅，分别求出m的范围．－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f(x)a恒成立⇔f(x)maxa，f(x)a恒成立⇔f(x)mina.2.若不等式|x-1|+|x-3|＜a的解集为空集,则a的取值范围是----------1.对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|k恒成立，则k的取值范围是（）(A)k3(B)k-3(C)k≤3(D)k≤-3B(,2]　　　　　　练习不是空集？（2，+∞）课堂小结:1.解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号转化为一般不等式来处理。2.主要方法有：⑴同解变形法:运用解法公式直接转化；