高等数学-第一讲--极限与连续

1.1数列的极限1.2函数的极限第一讲极限与连续1.3无穷小量与无穷大量1.4函数的连续性1.1数列的极限一、数列极限的定义1.定义如果当n时，无穷数列｛na｝的项na无限接近于一个确定的常数A（即||Aan无限趋近于0），则称常数A为数列｛na｝的极限.记为Aannlim（或当n时，Aan）.).10(0lim.3(lim.2;01lim.1qqCCCnnnnn是常数）；二、几个常用的数列极限三、数列极限的四则运算法则).0(lim.3;)(lim.2;)(lim.1lim,lim},{},bbababababababbaabannnnnnnnnnnnnnn时，有当设数列｛四、典例精析).2...42(lim)5();(lim)4(;112lim)3(;1123lim)2(;)1(lim12222222nnnnnnnnnnnnnnnnnnn）（例1、求极限：【解析】;0)1(lim1nnn）（;313lim1123lim22211222nnnnnnnn）（;01lim112lim3221122nnnnnnn）（;21111limlim)(lim4122nnnnnnnnnnn）（.1)11(lim)1(lim2...642lim522nnnnnnnnn）（例2、已知,1)11(lim2bannnn求实数a,b的值。.2,1,1)(,0-1,11)()1(lim11)()1(lim112babaabananbnbanannbnn且故原式【解析】1.当x时，函数)(xf的极限定义1如果当x的绝对值无限增大时，函数)(xf无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数)(xf当x趋向于无穷（记为x）时的极限，记为Axfx)(lim(或当x时，Axf)().极限Axfx)(lim表示的是自变量x的绝对值无限增大时，相应的函数值)(xf的一种变化趋势——无限逼近常数A.或者换个说法，相应的函数值)(xf与常数A的差的绝对值Axf)(无限逼近零.1.2函数的极限一、函数极限的定义如果x只能取正值（或取负值）趋于无穷，则有下面的定义：定义2如果当x0且无限增大时，函数)(xf无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数)(xf当x趋向于正无穷（记为x）时的极限，记为Axfx)(lim（或当x时，Axf)(）.定义3如果当x0且x的绝对值无限增大时，函数)(xf无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数)(xf当x趋向于负无穷（记为x）时的极限，记为Axfx)(lim（或当x时，Axf)(）.由上述极限定义，不难得到如下结论：lim()xfxA的充分必要条件是：.)(lim)(limAxfxfxx定义4如果当x无限接近于定值0x（x可以不等于0x）时，函数)(xf无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数)(xf当x趋向于0x（记为0xx）时的极限，记为0lim()xxfxA（或当0xx时，Axf)(）.2.x0x时，)(xf的极限定义5如果当0xx时，函数)(xf无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数)(xf当0xx时的左极限，记为0lim()xxfxA；如果当0xx时，函数)(xf无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数)(xf当0xx时的右极限，记为0lim()xxfxA.3.左极限与右极限左(右)极限统称为函数)(xf的单侧极限.由定义4和定义5可得，函数)(xf的极限与左、右极限有以下关系：0lim()xxfxA的充分必要条件是0lim()xxfxA且0lim()xxfxA.例1试求函数21,(),1,xfxx1100xxx在0x和1x处的极限.解析：因为00lim()lim(1)1xxfxx，而200lim()lim0xxfxx，所以0lim()xfx不存在；因为211lim()lim1xxfxx，且11lim()lim11xxfx，所以1lim()1xfx.定理1在自变量的同一变化过程中，若Axf)(lim，Bxg)(lim，则(1))]()(lim[xgxf=)(lim)(limxgxf=BA；(2))]()(lim[xgxf)(lim)(limxgxf=AB；(3))()(limxgxf=)(lim)(limxgxf=BA，(其中0B).二、极限的四则运算法则注意：上面的极限中省略了自变量的变化趋势，下同.推论1常数可以提到极限号前，即CAxfCxCf)(lim)(lim.推论2若m为正整数，则lim[()]mfx=[lim()]mfx=mA.结论：一般地，多项式函数在0x处的极限等于该函数在0x处的函数值，即01110lim()nnnnxxaxaxaxa=1010100nnnnaxaxaxa.例2求22232lim2xxxxx.解析：22232lim2xxxxx=22lim(1)(2)lim(1)(2)xxxxxx=22lim(1)1lim(1)3xxxx.结论：对于有理分式函数)()(xqxp（其中)(),(xqxp为多项式函数），当0xx时，其极限分为下列几种类型：(1)分式的分子分母的极限都存在，且分母极限不为零，则函数在0x处的极限等于该函数在0x处的函数值.(2)分子极限不为零，分母极限为零，不能直接运用商的极限运算法则，通常是先计算其倒数的极限，再运用无穷大与无穷小的关系得到其结果.(3)分子、分母极限皆为零，称为00型，不能直接运用商的极限运算法则，而是先将分子、分母因式分解，然后消去无穷小因子，再计算得到其结果.一般地，有理分式函数，当x时，分子、分母是无穷大，称为“”型，可得以下结论：若00,nmabmn，、为正整数，则;,nmbamn11101110limnnnnmmxmmaxaxaxabxbxbxb=0，mn.nm，例求极限212limnnn.解因为2/)1(21nnn，所以212limnnn=11lim22nnn.1.第一个重要极限0sinlim1xxx三.两个重要极限注意：第一个重要极限特点：（1）它是“00”型；（2）形式必须一致，即()0sin()lim()xxx中的三个)(x必须是一样的,)(x是指同一个变量或表达式.例1计算201coslimxxx.2220222020sin21limsin2limcos1limxxxxxxxxx=20sin12lim22xxx=21121.解析：2.第二个重要极限1lim(1)exxx数e是一个无理数，其前八位是7182818.2e.注意:第二个重要极限特点：（1）它是1型；（2）形式必须一致，即1lim(1)xxx或1()0lim(1())xxx中的三个)(x应该是一样的.)(x是指同一个变量或表达式.因而，10lim(1)exxx.例2计算21lim(1)xxx.解析21lim(1)xxx=121lim[(1)]xxx=11221[lim(1)]exxx.注意：（1）说一个函数)(xf是无穷小，必须指明自变量x的变化趋向，也就是说函数)(xf在自变量的某个变化过程中是无穷小，在其它过程中则不一定是无穷小（2）绝对值很小的常数，不是无穷小，因为这个常数的极限是常数本身，并不是零。1.3无穷小量与无穷大量一、无穷小量与无穷大量的定义定义1极限为零的量称为无穷小量，简称无穷小.定义2若函数)(xf的绝对值)(xf在x的某一个变化过程中无限增大，则称函数)(xf是x的这个变化过程中的无穷大量，简称无穷大.（4）说一个函数)(xf是无穷大，必须指明自变量x的变化趋向，如函数x1当0x时是无穷大；当x时，它就不是无穷大，而是无穷小了；（3）无穷大不是一个很大的数，它是一个绝对值无限增大的变量；例1：证明coslim0xxx.推论常数与无穷小量之积为无穷小量.二、无穷小的性质性质1有限个无穷小的代数和仍然是无穷小.性质2有限个无穷小之积仍然是无穷小.性质3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证明：因为xxxxcos1cos，其中xcos为有界函数，x1为x时的无穷小量，由性质3知coslim0xxx.三、无穷小量的阶.~,1lim.3.,0lim.2).(,lim0lim.1.0lim,0lim是等价无穷小量，记为时，称当是同阶无穷小量和称若高阶的无穷小量，记作是比称或若穷小量，即是同一变化过程中的无和设C常用等价无穷小：.0(~)1(,~cos1,1~arctan~arcsin~tan~)1ln(~sin~01221）为实常数，时，当xxxxexxxxxxxx例：求极限xxxxxsinsintanlim20.21limsin)cos1(tanlimsinsintanlim.222102020xxxxxxxxxxxxxxx可进行要注意必须是因子时才解析：等价无穷小代换定理2设0)(xf，若)(limxf，则0)(1limxf，反之，若0)(limxf，则)(1limxf.四、无穷小与无穷大的关系例2：求2213lim54xxxx.解析：由于22154lim03xxxx，即当1x时，22543xxx为无穷小，根据无穷大与无穷小的关系可知，当1x时，22354xxx为无穷大，即2213lim54xxxx.定义1设函数)(xfy在点0x的某个邻域内有定义，如果当自变量x在点0x处的增量x趋于零时，函数)(xfy相应的增量00()()yfxxfx也趋于零，即0lim0xy，则称函数)(xfy在点0x处连续，并且称点0x为函数)(xfy的连续点.1.4函数的连续性一、连续的定义注意：在定义1中，0xxx，0yfxfx，因而，0x即0xx，0y即0fxfx.定义2设函数)(xfy在0x的某个邻域内有定义，若00lim()()xxfxfx，则称函数)(xfy在0x处连续.相应于函数)(xf在点0x处的左、右极限的概念，有：若函数)(xfy在点0x处有00lim()()xxfxfx（或00lim()()xxfxfx），则称函数)(xfy在点0x处左连续（或右连续）.（1）若函数)(xfy在开区间ba，内的每一点处均连续，则称该函数在开区间ba，内连续；（2）若函数)(xfy在ba，内连续，且在左端点a处右连续，在右端点b处左连续，则称该函数在闭区间ba，上连续.（3）如果函数)(xf在某个区间上连续，则函数)(xf的图像是一条连续不断的曲线.因此，基本初等函数在其定义域内是连续的.结论：1.定义设函数)(xf在0x的某个去心邻域内有定义，若函数)(xf在0x处不连续，则点0x称为函数)(xf的间断点.若点0x为函数)(xf的间断点，则至少有下列三种情形之一出现：（1）)(xf点0x处没有定义；（2）0lim()xxfx不存在；（3）00lim()()xxfxfx.二、间断点①［