函数的单调性(公开课课件)

1.3.1函数的单调性教师：罗华荣德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：测试时间t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8-9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆保留量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆保留量y是时间t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.123tyo20406080100思考1:观察“艾宾浩斯遗忘曲线”，你能发现什么规律？tyo20406080100123函数的单调性思考2:我们发现随着时间t的增加，记忆保留量y在不断减少；从图象上来看，从左至右图象是在逐渐下降的。xyoxOy1124-1-2(1)()1fxx2(2)()fxx1.从左至右图象————2.在区间(-∞,+∞)上，随着x的增大，f(x)的值随着————2.(0,+∞)上从左至右图象上升，当x增大时f(x)随着增大上升增大下降1.(-∞,0]上从左至右图象当x增大时f(x)随着减小思考1：画出下列函数的图象，根据图象思考当自变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的？xyoxOy1124-1-2(1)()1fxx2(2)()fxx在某一区间内，当x的值增大时,函数值y也增大——图象在该区间内逐渐上升；当x的值增大时,函数值y反而减小——图象在该区间内逐渐下降。函数的这种性质称为函数的单调性思考2：通过上面的观察，如何用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标的变化来说明上升或下降趋势？思考3：如何用数学符号语言定义函数所具有的这种性质？图象在区间D逐渐上升区间D内随着x的增大，y也增大x012221y方案1：在区间（0,＋)上取自变量1，2,∵12,f(1)f(2)∴f(x)在(0,+)上,图象逐渐上升∞∞方案二：1212()(,)()()()(),()(,)fxabxaxxbfafxfxfbfxab函数在区间上有无数个自变量，使得当时，有由此能否说明该函数在上的图象一直保持上升趋势？请你说明理由（举例或者画图）对区间D内任意x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)图象在区间D逐渐上升区间D内随着x的增大，y也增大x0x1x2f(x1)f(x2)方案1：在区间（0,＋)上取自变量1，2,∵12,f(1)f(2)∴f(x)在(0,+)上,图象逐渐上升方案2:(0,+)取无数组自变量，验证随着x的增大，f(x)也增大。方案3:在(0,+∞)内取任意的x1，x2且x1x2时，都有f(x1)f(x2)∞∞∞y对区间D内x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)都设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.定义任意如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，D称为f(x)的单调增区间.那么就说f(x)在区间D上是单调增函数，区间D内随着x的增大，y也增大图象在区间D逐渐上升0x1f(x1)f(x2)12221y那么就说在f(x)这个区间上是单调减函数，D称为f(x)的单调减区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，那么就说在f(x)这个区间上是单调增函数，D称为f(x)的单调区间.增当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，单调区间如果函数y=f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间D上具有单调性。（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;判断1：函数f(x)=x2在是单调增函数；,xyo2yx（2）x1,x2取值的任意性判断2：定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1)，则函数f(x)在R上是增函数；yxO12f(1)f(2)解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1)，[1，3),[3，5].例1.如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数？其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；说明:1.区间端点处若有定义写开写闭均可.2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.()yfx-432154312-1-2-1-5-3-2xyO•练一练根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.()yfx2544xyO-1321解:函数y=f(x)的单调区间有[－1,0）,[0,2)，[2，4),[4，5].其中y=f(x)在区间[0，2)，[4，5]上是增函数；在区间[－1，0），[2，4)上是减函数.例2证明函数f(x)=3x＋2在区间R上是增函数．例2证明函数f(x)=3x＋2在区间R上是增函数．设x1，x2是R上任意两个实数，且x1﹤x2证明：则f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3（x1-x2）由x1﹤x2，得x1-x2﹤0于是f(x1)-f(x2)﹤0即f(x1)﹤f(x2)所以f(x)=3x+2在R上是增函数作差设值变形定号下结论用定义证明函数单调性的四步骤：（1）设值:在所给区间上任意设两个实数1212,.xxxx且（2）作差（3）变形作差：常通过“因式分解”、“通分”、“配方”等手段将差式变形为因式乘积或平方和形式)()(21xfxf判断的符号12()()fxfx（4）结论:并作出单调性的结论设量判断差符号作差变形下结论课堂小结1.两个定义：增函数、减函数的定义；②(定义法)证明函数单调性，步骤:①图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右减函数的图象从左到右上升下降3.一个数学思想：数形结合2：两种方法例2、物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。)(为正常数kVkp证明:12341.设值;2.作差变形;3.定号;4.下结论？画出函数图象，写出定义域并写出单调区间：x1yxy1yx的单调减区间是_____________(,0)(0,),讨论：根据函数单调性的定义1(0)(,0)(0,)yxx能不能说在定义域上是单调减函数?定义域为函数xy1),0()0,(拓展探究x1y1()fxxyOx在(0,+∞)上任取x1、x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)2x2()fx1()fx1x1()fxxyOx-11-11取自变量－11，而f(－1)f(1)∴不能说在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数要写成(-∞,0)，(0,+∞)的形式。1yx逗号隔开巩固对区间D内任意x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)图象在区间D逐渐上升区间D内随着x的增大，y也增大x0x1x2f(x1)f(x2)12221方案1：在区间（0,＋)上取自变量1，2,∵12,f(1)f(2)∴f(x)在(0,+)上,图象逐渐上升方案2:(0,+)取无数组自变量，验证随着x的增大，f(x)也增大。方案3:在(0,+∞)内取任意的x1，x2且x1x2时，都有f(x1)f(x2)∞∞∞y