线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结1行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=kn|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|AT|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。2矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。2、转置的性质（5条）（1）（A+B）T=AT+BT（2）（kA）T=kAT（3）（AB）T=BTAT（4）|A|T=|A|（5）（AT）T=A（二）矩阵的逆3、逆的定义：AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1注：A可逆的充要条件是|A|≠04、逆的性质：（5条）（1）（kA）-1=1/k·A-1(k≠0)（2）（AB）-1=B-1·A-1（3）|A-1|=|A|-1（4）（AT）-1=（A-1）T（5）（A-1）-1=A5、逆的求法：（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解（2）A为数字矩阵：（A|E）→初等行变换→（E|A-1）（三）矩阵的初等变换6、初等行（列）变换定义：（1）两行（列）互换；（2）一行（列）乘非零常数c（3）一行（列）乘k加到另一行（列）7、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。8、初等变换与初等矩阵的性质：（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij（i，j两行互换）；Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）★（四）矩阵的秩9、秩的定义：非零子式的最高阶数注：（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O（2）r（An×n）=n（满秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。10、秩的性质：（7条）（1）A为m×n阶矩阵，则r（A）≤min（m,n）（2）r（A±B）≤r（A）±（B）（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}（4）r（kA）=r（A）（k≠0）（5）r（A）=r（AC）（C是一个可逆矩阵）（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）（7）设A是m×n阶矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，则r（A）+r（B）≤n11、秩的求法：（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解；（2）A为数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），则r（A）=非零行的行数（五）伴随矩阵12、伴随矩阵的性质：（8条）（1）AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A-1（2）（kA）*=kn-1A*（3）（AB）*=B*A*（4）|A*|=|A|n-1（5）（AT）*=（A*）T（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1（7）（A*）*=|A|n-2·A★（8）r（A*）=n（r（A）=n）；r（A*）=1（r（A）=n-1）；r（A*）=0（r（A）＜n-1）（六）分块矩阵13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。14、分块矩阵求逆：3向量（一）向量的概念及运算1、向量的内积：（α，β）=αTβ=βTα2、长度定义：||α||=3、正交定义：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=04、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AAT=E←→A-1=AT←→ATA=E→|A|=±1（二）线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件：非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示(1)←→非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）6、线性表示的充分条件：（了解即可）若α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示。7、线性表示的求法：（大题第二步）设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。（α1，α2，…，αs|β）→初等行变换→（行最简形|系数）行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0（三）线性相关和线性无关8、线性相关注意事项：（1）α线性相关←→α=0（2）α1，α2线性相关←→α1，α2成比例9、线性相关的充要条件：向量组α1，α2，…，αs线性相关（1）←→有个向量可由其余向量线性表示；（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s即秩小于个数特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关（1）←→r（α1，α2，…，αn）＜n（2）←→|α1，α2，…，αn|=0（3）←→（α1，α2，…，αn）不可逆10、线性相关的充分条件：（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关（2）部分相关，则整体相关（3）高维相关，则低维相关（4）以少表多，多必相关★推论：n+1个n维向量一定线性相关11、线性无关的充要条件向量组α1，α2，…，αs线性无关（1）←→任意向量均不能由其余向量线性表示；（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关←→r（α1，α2，…，αn）=n←→|α1，α2，…，αn|≠0←→矩阵可逆12、线性无关的充分条件：（1）整体无关，部分无关（2）低维无关，高维无关（3）正交的非零向量组线性无关（4）不同特征值的特征向量无关13、线性相关、线性无关判定（1）定义法★（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关【专业知识补充】（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。（2）若n维列向量α1，α2，α3线性无关，β1，β2，β3可以由其线性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，则r（β1，β2，β3）=r（C），从而线性无关。←→r（β1，β2，β3）=3←→r（C）=3←→|C|≠0（四）极大线性无关组与向量组的秩14、极大线性无关组不唯一15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数★注:向量组α1，α2，…，αs的秩与矩阵A=（α1，α2，…，αs）的秩相等★16、极大线性无关组的求法（1）α1，α2，…，αs为抽象的：定义法（2）α1，α2，…，αs为数字的：（α1，α2，…，αs）→初等行变换→阶梯型矩阵则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组（五）向量空间17、基（就是极大线性无关组）变换公式：若α1，α2，…，αn与β1，β2，…，βn是n维向量空间V的两组基，则基变换公式为（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cn×n其中，C是从基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）18、坐标变换公式：向量γ在基α1，α2，…，αn与基β1，β2，…，βn的坐标分别为x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，，即γ=x1α1+x2α2+…+xnαn=y1β1+y2β2+…+ynβn，则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。其中，C是从基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）（六）Schmidt正交化19、Schmidt正交化设α1，α2，α3线性无关（1）正交化令β1=α1（2）单位化4线性方程组（一）方程组的表达形与解向量1、解的形式：(1)一般形式(2)矩阵形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）2、解的定义：若η=（c1，c2，…，cn）T满足方程组Ax=b，即Aη=b，称η是Ax=b的一个解（向量）（二）解的判定与性质3、齐次方程组：（1）只有零解←→r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）（2）有非零解←→r（A）＜n4、非齐次方程组：（1）无解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n（3）无穷多解←→r（A）=r（A|b）＜n5、解的性质：（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，则ξ+η是Ax=b的解（3）若η1，η2是Ax=b的解，则η1-η2是Ax=0的解【推广】（1）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，则k1η1+k2η2+…+ksηs为Ax=b的解（当Σki=1）Ax=0的解（当Σki=0）（2）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的s个线性无关的解，则η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解。变式：①η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2②η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1（三）基础解系6、基础解系定义：（1）ξ1，ξ2，…，ξs是Ax=0的解（2）ξ1，ξ2，…，ξs线性相关（3）Ax=0的所有解均可由其线性表示→基础解系即所有解的极大无关组注：基础解系不唯一。任意n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系。★7、重要结论：（证明也很重要）设A施m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，AB=O（1）B的列向量均为方程Ax=0的解（2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）8、总结：基础解系的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解（2）A为数字的：A→初等行变换→阶梯型自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系（四）解的结构（通解）9、齐次线性方程组的通解（所有解）设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r（其中k1，k2，…，kn-r为任意常数）10、非齐次线性方程组的通解设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，η为Ax=b的特解，则Ax=b的通解为η+k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r（其中k1，k2，…，kn-r为任意常数）（五）公共解与同解11、公共解定义：如果α既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，则称α为其公共