线面平行证明的常用方法

线面平行证明的常用方法张磊立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：方法一：中位线型：找平行线。例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，点E是PD的中点.求证：//PB平面AEC.分析：如图⑴如图⑵如图⑶方法二：构造平行四边形，找平行线例2、如图⑵,平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF，求证：AE//平面DCF.分析：过点E作EG//AD交FC于G，DG就是平面AEGD与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。方法三：作辅助面使两个平面是平行,即：作平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面例3、如图⑷，在四棱锥OABCD中，底面ABCD为菱形，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MNOCD平面‖分析：：取OB中点E，连接ME，NE，只需证平面MEN平面OCD。方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。例4、已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相交于AB，点M，N分别在AC和BF上，且AM=FN.求证：MN‖平面BCE.如图⑷如图⑸如图⑹EBADCGFFyCBEDASz_M_D_C_N_A_B_OEPEDCBOAABCDEFNM例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B′，C′是△PBC,△PCA,△PAB的重心.(1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ；(2)求S△A′B′CS△ABC.方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。例6、如图⑹，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCDEF，，分别为ABSC，的中点．证明EF∥平面SAD；分析：因为侧棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz．设(00)(00)AaSb，，，，，，则(0)(00)BaaCa，，，，，，00222aabEaF，，，，，，02bEFa，，．因为y轴垂直与平面SAD，故可设平面的法向量为n=（0，1，0）则：02bEFna，，（0，1，0）=0因此EFn所以EF∥平面SAD．