高量12-gamma矩阵

1§16矩阵§16.1矩阵的维数求自旋空间的维数，可借助于有限群的知识，这里只做简单的介绍。以算符乘法为群乘，以为生成元，取它们的各种乘积为群元，由满足下列关系4321,,,124232221)(0在建立狄拉克方程的过程中，出现了一个新的空间—自旋空间。这一节我们从五个算符的对易关系入手找出这个空间的维数，进一步求出这些算符的矩阵表示。2由群论的不可约表示（不再介绍）方法，可以发现这个狄拉克群有一个4维的不可约表示。这个4维的表示空间正是我们所寻找的算符所在的自旋空间。群元肯定是有限个。按照群元的构成分，可写为一共32个。这32个元构成一个群，称为Dirac群。43213212141434324342324131214321113131,,,,,,,,,,,)1,1.,.(1ge﹟3§16.2矩阵的各种表示一.矩阵构造的准备工作前面所介绍的泡利矩阵1001,00,0110321ii满足下面的关系jiiijjii03,2,1,12上一节我们已经知道算符所在的空间是4D的，算符的表示都应是4×4矩阵。下面用一个比较系统的方法求出矩阵的各种表示。,,4我们的目的是寻找四个矩阵，使之满足式这时应把Pauli矩阵理解为三个形式不变的矩阵，而脱离与自旋的关系。因为Pauli矩阵是在Sz表象中给出的，表象不同，表示当然也不同。现在不可能再找出一个2×2矩阵与Pauli矩阵满足反对易关系,但可以利用矩阵直积构造几个4×4矩阵。以求得。)4,3,2,1(jiiijjii04,3,2,1,125:1ii:1ii33322211100,00,001001,00,0110321ii上两式中，处于矩阵元地位的是2×2矩阵(Pauli)，1代表2×2单位矩阵，而i代表2×2单位矩阵乘以i。i升格为4×4矩阵后，可以验证三个仍是平方为1和反对易的，三个也是如此。下面证明：ii)(0jiijji6利用矩阵直积运算规则，有)1)(1(jiji可见)(0jiijji同理有)(012jiijjii)1)(1(ij)()11(ji)11(ijij而),(0jijiijji且kkijkjikkijkjiii,﹟7二.矩阵的构造利用前面所得的4×4矩阵，寻找四个平方为1而又互相对易的矩阵。方法如下：ii,1.写出的9个乘积：,332313322212312111,,,,,,显然，由于都是对易的，上面的三个横行中，每行的三个矩阵都是彼此反对易而平方为1,三个竖列中每列的三个矩阵也是如此。例如第一行，令,313212111,,AAA8313212111,,AAA则11122111),(对易)1(2但212122A所以各矩阵平方和为1.即A1，A2是反对易的。112121111221AAAA12210,122211292.补齐上述乘积中各行、列的元素332313322212312111,,,,,,在第一行中再加入一矩阵22,它与前面的三个矩阵互相反对易，且122再在后面加一个矩阵33,它与原有的三个矩阵及都反对易，且1232这样在第一行中，我们找到了5个平方为1，互为反对易的4×4矩阵。10332313322212312111,,,,,,2,3,其它各行、列都可以分别补上两个矩阵，成为5个一组的平方为1、互相反对易的矩阵。41~5赋予其中四个以，剩下的那个冠以正负号就是。3,1,1,2,详见下表：11456123001111002221003331002ii10013001112ii002212ii003332ii100130110111130022230033330001101002ii222003330011100333001110022200在上表中，我们把第1、2、3行称为第1、2、3组，而把第1、2、3列称为第4、5、6组，每组有5个平方为1而又互相反对易的4×4矩阵,每个矩阵都是厄米和幺正的，而每一组中的5个矩阵都可以随意令它们为（加以适当的正负号）。51~矩阵的各种表示12三.矩阵的确定在不同的文献中，不同的表象选用不同的矩阵，教材中都有介绍。这里介绍两组比较通用的标准表象或Pauli-Dirac表象，其中第一组给，第二组给出。见下表,,,32154321,,,,Pauli-Dirac表象中的ii,,13注意教材中的符号错误Pauli-Dirac表象中的ii,,上表所确定的矩阵是比较常用的，称为Pauli-Dirac表象或标准表象，其特点是是对角的：410013400而矩阵具有下列形式14﹟可得自旋算符的矩阵形式是对角的：利用jkkjijkiiS2,2100注意：算符代表物理量，在不同表象中矩阵形式是不同的，与前面提到的形式不变的4×4矩阵不同。在讨论单电子的Dirac方程时，绝大多数使用Dirac-Pauli表象，其它表象多用在量子场论中。15§17自由电子Dirac方程的严格解一.Dirac-Pauli表象下的算符和态矢量在Dirac-Pauli表象下，写成4D形式，有1001,001111,1111,1111321iiii16若有外场，则Dirac方程可以写为)()ˆ()(2tmceVAePctti自旋算符写为00在Dirac-Pauli表象中，上面的Dirac方程中态函数是函数空间与4D的自旋空间二者直积空间中的矢量，其一般形式可写成一列矩阵，矩阵元是x,y,z的函数:214321),,(),,(),,(),,(zyxzyxzyxzyx17对自由电子，，Dirac方程变为0,0VA1.厄米算符完备组的确定)6.17(),,(),,(,),,(),,(432211zyxzyxzyxzyx(17.6)式形式的量为旋量,而(17.5)式形式的量为双旋量。有时也把4D的一列矩阵写成一个二维矩阵，其两个矩阵元又分别是两2D矩阵：21,二.自由电子的Dirac方程的求解)()ˆ()(2tmcPctti18因V=0，故可令)7.17()()ˆ()(2tmcPctti)8.17()(Etiet)9.17()ˆ(2EmcPc代入上式，得满足的定态狄拉克方程的本征矢量。)10.17(ˆˆ2mcPcH即是自由电子哈密顿然而对于自由电子来说，这样的本征矢量是高度简并的,为求出确切的态矢量,应当找一组包括H在内的厄米算符完备组,去求这组厄米算符的共同本征矢量。19)11.17(ˆ2ˆPPh前面我们讲过，自由电子的动量和螺旋度都是守恒量，其中Pˆhˆ这样可以选择包括在内的厄米算符完备组。位置空间和自旋空间的自由度都包括了。hPHˆ,ˆ,ˆ2.共同本征矢量的求解①先求的本征函数PˆpPˆˆ即),,(),,(ˆ),,(),,(ˆ2121zyxzyxpzyxzyxP20在xyz表象中，取得本征值可为任何实矢量，而的位置函数部分均应为，即iPˆp21,)/exp(rpi)12.17()exp()2(12/321rpip式中分别是不含x,y,z的2D的一列矩阵。21,利用式，由得PPhˆ2ˆchˆ2121001ppp②令同时又是的本征矢量，以便定出。phˆ21,上式右边的±1是由这一方程的久期行列式定出的c值，与自旋在任何空间的投影都是一致。221即满足的方程形式上相同，其解最多可以相差一常数。21,21211uuuupippippppzyxyxz由上式得2×2矩阵方程)2,1(1ippii现在求。令211uu1则上述2×2矩阵方程成为2121)(1uuuuppppzzyyxx将式1001,00,0110zyxii代入整理，得22取p的方向为，则上式可化为,代回式得,211uu21211uuuupippippppzyxyxz正本征值对应负本征值对应2212sin2cosiiee)16.17(2cos2sin221iiee2121cossinsincosuuuueeii其解为正本征值负本征值122tgueui122ctgueui23)12.17()exp()2(12/321rpip这里已把写成比较对称的形式，并且已经归一化。将上式代回式,这是的共同本征矢量，上号的本征值是,下号的本征值是。下面的任务是决定常数。hPˆ,ˆ2,p2,p'a中,并记住只差一个常数.若将此常数写为,则21,'a)17.17()exp()2(1'2/3rpiap24''')ˆ(2aEamcpc③令是哈密顿的本征矢量，则p是哈密顿的本征值，即电子的本征能量。'Eiipp又1001,00由式得)2,1(1ippii可将上述本征值方程写为下列形式0'''22