经典力学和量子力学中的谐振子

经典力学和量子力学中的谐振子学生姓名：辛**指导教师：陈**1.经典力学中的谐振子•1.1简谐振子•1.2受驱谐振子•1.3阻尼谐振子•1.4受驱阻尼振子•1.5完整数学描述•1.6经典谐振子的计算1.1简谐振子简谐振子不受驱动力和摩擦力，其合力为：由牛顿第二定律，且加速度等于x对t的二次微分导数，得：若定义，则方程可以写为：其一般解为：02022xdtxd)cos(0tAxmk20kxFkxdtxdm221.2受驱谐振子一受驱谐振子满足如下非齐次二阶线性微分方程：其中A0是驱动振幅，ω是驱动频率，针对的是一弦波式的驱动机制。这样的系统出现在交流LC（电感L-电容C）电路以及理想化的弹簧系统（没有内部力学阻力或外部的空气阻力）。)cos(02022tAxdtxd1.3阻尼谐振子阻尼谐振子满足如下二阶微分方程：其中b是阻尼常数，满足关系式。满足此方程的一个例子为置于水中的加权弹簧，假设水所施的阻尼力与速度v呈线性比例关系。02022xdtdxmbdtxdbvF1.4受驱阻尼振子受驱阻尼振子满足方程:其一般解为两个解的和，一个为暂态解,与初始条件相关；另一个为稳态解为：总结来说，在稳态时，振动频率等同于驱动力的频率,但振动与驱动力在相位上有偏移，且振幅大小与驱动频率相关；当驱动频率与振动系统偏好（共振）频率相同时，振幅达到最大。)cos(022tFkxdtdxrdtxdm)sin()(0tZFtxm1.5完整数学描述多数谐振子，基本上满足以下的微分方程：其中t是时间，b是阻尼常数，是本征角频率，而代表驱动系统的某种事物，其振幅为，角频率为ω，x是进行振荡的被测量量，可以是位置、电流或其他任何可能的物理量。角频率与频率f有关，关系式为：)cos(02022tAxdtdxmbdtxd2f0A1.6经典谐振子的计算一质量为m的质点沿ox轴运动，它所受到的回复力可从势函数的微商得到。势函数为：力的表达式为：i是沿ox轴的单位矢量。运动方程可以写成：221kxxUikxdxdvxFkxdtxdm22令，上式可变为：其解具有下列形式：它表示一个正弦运动，其振幅为，相位为，角频率为，相应的频率是：只与质点的质量m和恢复力常数k有关，而振幅和相位都与运动初始条件有关。振子的总能量：mk2002022xdtxd)sin(00tAx20fmk21PEEE0动能和势能的表达式为：由上两式可知：当时，势能有最小值0，而此时动能具有最大值；而当时，势能具有最大值，而此时动能值最小为0。显然总能量在运动中是不变的，即)(cos2)(20220202tAmdtdxmEe)(sin2210220202tAmkxEP202020212kAAmEEEpe00t202021Am20t202021Am进一步，对于经典振子：经典振子的速度v为：利用，且已知：其中为振幅，平衡点为原点。当时，由上式知，此时经典振子的速度v有最大值，即经典振子在X=0处逗留时间最短，出现的几率最小。)sin(00tAx)cos(000tAdtdxv2sin1cos00)sin(Axt）tAv0200(sin10001AxA0A0x00Av2.量子力学中的谐振子•2.1一维谐振子2.1.1哈密顿算符与能量本征态2.1.2阶梯算符方法2.1.3自然长度与自然能量•2.2三维谐振子•2.3谐振子的相干态2.3.1降算符的本征态2.3.2相干态的性质2.1一维谐振子2.1.1哈密顿算符和能量本征态一维谐振子的哈密顿量为：用幂级数方法在座标基底下解定态薛定谔方程：得到的谐振子的能级为：引入厄米多项式，我们最后得到谐振子对应于能量本征值的能量本征函数为：222122pHmxmHE1()2nEn0,1,2,3,n2221122()()()axnnnnnNeHNeHax2.1.2阶梯算符方法首先，我们定义算符与其伴随算符：利用可观测量算符x、p可以被表示为阶梯算符的线性组合：由x、p正则对易关系，并引进厄米算符，证明等式：得：表示态的能量本征值为：ˆa†ˆa†ˆ()2ˆ()2miaxPmmiaxPm††ˆˆ()2ˆˆ()2xaammpiaa†ˆˆˆNaa††ˆˆ(12)ˆˆ,1Haaaa1ˆ()2Hnnn1()2nEnn2.1.3自然长度与自然能量量子谐振子拥有自然长度与自然能量两个自然尺度，可以用来简化问题。这可以透过无量纲化来实现。如果我们以为单位来测量能量，以及为单位来测量距离，则薛定谔方程变成：且能量本征态与本征值变成：m2221122dHudu1421exp(2)()2!nnnxuHun12nEn2.2三维谐振子三位谐振子的能量本征值方程为：其中为谐振子的势。引进无量纲参数整理得体系的能量本征值：其基态能量：22222221()02mEmxyz22221(,,)()2Vxyzmxyz,,,maxayaza121()23()2xyzxyzEnnn032E2.3谐振子的相干态2.3.1降算符的本征态做一维运动的粒子，坐标与动量的差方平均值满足下列不确定关系：对于线谐振子而言，在粒子数表象中，基态下的不确定关系为：而是降算符的本征态，相应的本征值为0，即于是，可以推测降算符的本征态为最小不确定态，即相干态。经计算，得到的降算符的本征态为：2221()()4xp02221()()4xp0ˆ_Aˆ_00A201exp()2!nnzzznn2.3.2相干态的性质3.经典谐振子与量子谐振子的区别•3.1能级3.1.1能量取值点3.1.2零点能•3.2波函数3.1能级3.1.1能量取值点由式可知经典谐振子的能量取值是连续的；而由式可知量子谐振子的取值不是连续的，是分立的，即是量子化的，其中n为量子数。而且量子谐振子的能级是等间距的，间距是。能量取分立值是由于微观粒子具有波粒二象性这一量子特征。)(cos2)(20220202tAmdtdxmEe)(sin2210220202tAmkxEP1()2nEn3.1.2零点能由式可知当时，经典谐振子的最低动能为零；而由式可知，量子谐振子在基态的能量不为零。即当n=0时，,被称为零点能。它与无限势阱总粒子的基态能量（n=1,2,3…….）不为零是很相似的，这是一种量子效应,也是由于微观粒子具有波粒二象性。)(cos2)(20220202tAmdtdxmEe0)cos(0wt1()2nEn210E0E22222manEn3.2波函数在量子力学中波函数本身无意义，但波函数的绝对值平方与粒子在空间某点出现的几率成正比。其相应的几率密度为：看出经典与量子的两处不同：a.容易看出其在x=0处，概率拥有最大值：；而经典谐振子中，由于在x=0处的速度最大，所以其出现几率最小。)(x2)(x22200)()(xexxWb.当经典谐振子的能量为时，经典回转点，经典振子只能处于的区域中。应该在处，势能，即等于总能量。在这点速度减慢为零，不能再继续往外跑。而按照量子力学计算，粒子在的区域，仍有不为零的几率。2111x1x212121)(22kkxxV1x致谢