二次函数中的存在性问题(等腰三角形的存在性问题)

11二次函数中的存在性问题(等腰三角形)1.如图，抛物线254yaxax经过ABC△的三个顶点，已知BCx∥轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出ABC，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB△是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．ACByx01122MxyQPODCBA2如图，已知抛物线224233yxx的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q．（1）求点B和点C的坐标；（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．333.已知：如图，抛物线2yaxbxc经过(1,0)A、(5,0)B、(0,5)C三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C的直线ykxb与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值；（3）在抛物线上求一点0P使得△ABP0为等腰三角形并写出0P点的坐标；（4）除（3）中所求的0P点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P，请说明理由．xyCBAE–11O444.[08广东梅州]如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）解：（1）DC∥AB，AD=DC=CB，∠CDB=∠CBD=∠DBA，∠DAB=∠CBA，∠DAB=2∠DBA，∠DAB+∠DBA=90，∠DAB=60，∠DBA=30，AB=4，DC=AD=2，RtAOD，OA=1，OD=3，.A（-1，0），D（0，3），C（2，3）．（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（－1，0），B（3，0），故可设所求为y=a（x+1）（x-3）将点D（0，3）的坐标代入上式得，a=33．所求抛物线的解析式为y=).3)(1(33xx····································7分其对称轴L为直线x=1．·········································································8分（3）PDB为等腰三角形，有以下三种情况：①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B，P1DB为等腰三角形；··········································································9分②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3，P2DB，P3DB为等腰三角形；③与②同理，L上也有两个点P4、P5，使得BD=BP4，BD=BP5．···················10分由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个．555.如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点AC，分别在x轴，y轴上，点B坐标为(2)m，（其中0m），在BC边上选取适当的点E和点F，将OCE△沿OE翻折，得到OGE△；再将ABF△沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到AGF△，且90OGA．（1）求m的值；（2）求过点OGA，，的抛物线的解析式和对称轴；（3）在抛物线的对称轴．．．上是否存在点P，使得OPG△是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出．．．．所有满足条件的点P的坐标（不要求写出求解过程）．666如图（1），在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数2yx的图象为1l.（1）平移抛物线1l，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.（2）平移抛物线1l，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为2l，如图（2），求抛物线2l的函数解析式及顶点C的坐标.（3）设P为y轴上一点，且ABCABPSS，求点P的坐标.（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线2l上是否存在点Q，使QAB为等腰三角形.若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由.yox图（1）yox图（2）l1l2777如图，在RtABC△中，90A，6AB，8AC，DE，分别是边ABAC，的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA∥交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQx，QRy．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使PQR△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．ABCDERPHQ88二次函数中的存在性问题(直角三角形)8.如图16，在平面直角坐标系中，直线33yx与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线223(0)3yaxxca经过ABC，，三点．（1）求过ABC，，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP△为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF△的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．AOxyBFC图16