高中数学不等式综合复习

不等式专题一．不等式的基本性质1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：.0;0;0babababababa（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）abba（对称性）（2）cacbba,（传递性）（3）cbcaba（加法单调性）（4）dbcadcba,（同向不等式相加）（5）dbcadcba,（异向不等式相减）（6）bcaccba0,.（7）bcaccba0,（乘法单调性）（8）bdacdcba0,0（同向不等式相乘）(9)0,0ababcdcd（异向不等式相除）11(10),0ababab（倒数关系）（11）)1,(0nZnbabann且（平方法则）（12）)1,(0nZnbabann且（开方法则）二．一元二次不等式1.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例①一元一次不等式axb解的讨论；一元一次不等式)0(0abax的解法与解集形式当0a时，abx,即解集为abxx|当0a时abx，即解集为abxx|②一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)解的讨论.一元二次不等式的解集000二次函数cbxaxy2（0a）的图象cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则xgxf＞00xgxf0xgxfxgxf0000xgxgxfxgxf000xgxgxfxgxf切忌去分母（3）无理不等式：转化为有理不等式求解○1()0()()()0()()fxfxgxgxfxgx定义域○20)(0)()]([)(0)(0)()()(2xgxfxgxfxgxfxgxf或○32)]([)(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf（4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lglgfxgxfxgxfxaaafxgxaaafxgxababfxab（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log()log()(1)()0;log()log()(01)()0()()()()aaaafxfxfxgxagxfxgxagxfxgxfxgx（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想；○3应用化归思想等价转化)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|xgxfxgxfxgxgxfxgxgxfxgxfxgxgxgxf或或不同时为2：典型例题例1.求下列不等式的解集（1）02532xx，（2）2232xx（3）5321x的解集例2解下列不等式.（1）0)4)(23()7()12(632xxxx，（2）232532xxx例3.解不等式833xx变式练习：1325xx例4：解关于x的不等式（1）2(3)30xaxa，（2）22ax变式练习：1、0)(322axaax2、0222axx3、0)2)(2(axx4、ax32例5.已知不等式052bxax的解集是2,3，则不等式052axbx的解集变式练习：若不等式20xaxb的解集为{|23}xx,则不等式210bxax的解集为__________.例6.若一元二次不等式042axax的解集是R则a的取值范围是变式练习：1已知关于x的不等式012422xaxa的解集为空集，求a的取值范围。2、若不等式axx12对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。三.基本不等式及其应用1.几个重要不等式（1）0,0||,2aaRa则若（2）)2||2(2,2222ababbaabbaRba或则、若（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么.2abab（当仅当a=b时取等号）极值定理：若,,,,xyRxySxyP则：○1如果P是定值,那么当x=y时，S的值最小；○2如果S是定值,那么当x=y时，P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.3,3abcabcRabc(4)若、、则（当仅当a=b=c时取等号）0,2baabab(5)若则（当仅当a=b时取等号）2222(6)0||;||axaxaxaxaxaxaaxa时，或（7）||||||||||||,bababaRba则、若2.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么222.1122abababab（当仅当a=b时取等号）即：平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数（a、b为正数）：特别地，222()22ababab（当a=b时，222()22ababab）),,,(332222时取等cbaRcbacbacba幂平均不等式：22122221)...(1...nnaaanaaa注：例如：22222()()()acbdabcd.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1nnnnnnnnnn②11111(1)121nnnnnnnnnn（2）柯西不等式：时取等号当且仅当（则若nnnnnnnnbababababbbbaaaababababaRbbbbRaaaa332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),xxxx有12121212()()()()()().2222xxfxfxxxfxfxff或则称f(x)为凸（或凹）函数.3.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.注：常用不等式的解法举例（x为正数）：①231124(1)2(1)(1)()22327xxxxx②2222232(1)(1)12423(1)()223279xxxyxxyy类似于22sincossin(1sin)yxxxx，③111||||||()2xxxxxx与同号，故取等应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋12x2（2）y＝x＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x，求函数14245yxx的最大值。技巧二：凑系数例1.当时，求(82)yxx的最大值。技巧三：分离例3.求2710(1)1xxyxx的值域。。技巧四：换元技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()afxxx的单调性。例：求函数2254xyx的值域。练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.（1）231,(0)xxyxx（2）12,33yxxx(3)12sin,(0,)sinyxxx2．已知01x，求函数(1)yxx的最大值.；3．203x，求函数(23)yxx的最大值.条件求最值1.若实数满足2ba，则ba33的最小值是.变式：若44loglog2xy，求11xy的最小值.并求x,y的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。变式：（1）若Ryx,且12yx，求yx11的最小值(2)已知Ryxba,,,且1ybxa，求yx的最小值技巧七、已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.变式：1.已知a0，b0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值.变式:求函数152152()22yxxx的最大值。应用二：利用基本不等式证明不等式1．已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba2221）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc2）已知a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知0,0xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,,的大小关系是.四．简单的线性规划1、已知线性约束条件，探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式，斜率——商的形式)目标关系最值问题（重点）例、设变量x、y满足约束条件1122yxyxyx，则①yx32的最大值为②则22xy的最小值是.③1yx的取值范围是.2含参问题：（较难）①约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。例、在约束条件0024xyyxsyx下，当35s时，目标函数32zxy的最大值的变化范围是（）A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]②已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。例已知变量x，y满足约束条件1422xyxy。若目标函数zaxy（其中0a）仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为。3、已知平面区域，逆向考查约束条件。例、已知双曲线224xy的两条渐近线与直线3x围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）(A)0003xyxyx(B)0003xyxyx(C)0003xyxyx(D)0003xyxyx4、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。例已知变量x，y满足约束条件1422xyxy。若目标函数zaxy（其中0a）仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为。5、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例在平面直角坐标系中，不等式组20200xyxyy表示的平面区域的面积是6、研究线性规划中的整点最优解问题例某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件.112,932,22115xyxyx则1010zxy的最大值是综合检测一．选择题1.已知,0,0bba那么baba,,,的大小关系是()Ababa