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不等式专题一.不等式的基本性质1.不等式的基本概念(1)不等(等)号的定义:.0;0;0babababababa(2)不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式.(3)同向不等式与异向不等式.(4)同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质(1)abba(对称性)(2)cacbba,(传递性)(3)cbcaba(加法单调性)(4)dbcadcba,(同向不等式相加)(5)dbcadcba,(异向不等式相减)(6)bcaccba0,.(7)bcaccba0,(乘法单调性)(8)bdacdcba0,0(同向不等式相乘)(9)0,0ababcdcd(异向不等式相除)11(10),0ababab(倒数关系)(11))1,(0nZnbabann且(平方法则)(12))1,(0nZnbabann且(开方法则)二.一元二次不等式1.不等式的解法(1)整式不等式的解法(根轴法).步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解.特例①一元一次不等式axb解的讨论;一元一次不等式)0(0abax的解法与解集形式当0a时,abx,即解集为abxx|当0a时abx,即解集为abxx|②一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)解的讨论.一元二次不等式的解集000二次函数cbxaxy2(0a)的图象cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx(2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则xgxf>00xgxf0xgxfxgxf0000xgxgxfxgxf000xgxgxfxgxf切忌去分母(3)无理不等式:转化为有理不等式求解○1()0()()()0()()fxfxgxgxfxgx定义域○20)(0)()]([)(0)(0)()()(2xgxfxgxfxgxfxgxf或○32)]([)(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf(4).指数不等式:转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lglgfxgxfxgxfxaaafxgxaaafxgxababfxab(5)对数不等式:转化为代数不等式()0()0log()log()(1)()0;log()log()(01)()0()()()()aaaafxfxfxgxagxfxgxagxfxgxfxgx(6)含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值;○2应用数形思想;○3应用化归思想等价转化)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|xgxfxgxfxgxgxfxgxgxfxgxfxgxgxgxf或或不同时为2:典型例题例1.求下列不等式的解集(1)02532xx,(2)2232xx(3)5321x的解集例2解下列不等式.(1)0)4)(23()7()12(632xxxx,(2)232532xxx例3.解不等式833xx变式练习:1325xx例4:解关于x的不等式(1)2(3)30xaxa,(2)22ax变式练习:1、0)(322axaax2、0222axx3、0)2)(2(axx4、ax32例5.已知不等式052bxax的解集是2,3,则不等式052axbx的解集变式练习:若不等式20xaxb的解集为{|23}xx,则不等式210bxax的解集为__________.例6.若一元二次不等式042axax的解集是R则a的取值范围是变式练习:1已知关于x的不等式012422xaxa的解集为空集,求a的取值范围。2、若不等式axx12对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围。三.基本不等式及其应用1.几个重要不等式(1)0,0||,2aaRa则若(2))2||2(2,2222ababbaabbaRba或则、若(当仅当a=b时取等号)(3)如果a,b都是正数,那么.2abab(当仅当a=b时取等号)极值定理:若,,,,xyRxySxyP则:○1如果P是定值,那么当x=y时,S的值最小;○2如果S是定值,那么当x=y时,P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件:一正、二定、三相等.3,3abcabcRabc(4)若、、则(当仅当a=b=c时取等号)0,2baabab(5)若则(当仅当a=b时取等号)2222(6)0||;||axaxaxaxaxaxaaxa时,或(7)||||||||||||,bababaRba则、若2.几个著名不等式(1)平均不等式:如果a,b都是正数,那么222.1122abababab(当仅当a=b时取等号)即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数(a、b为正数):特别地,222()22ababab(当a=b时,222()22ababab)),,,(332222时取等cbaRcbacbacba幂平均不等式:22122221)...(1...nnaaanaaa注:例如:22222()()()acbdabcd.常用不等式的放缩法:①21111111(2)1(1)(1)1nnnnnnnnnn②11111(1)121nnnnnnnnnn(2)柯西不等式:时取等号当且仅当(则若nnnnnnnnbababababbbbaaaababababaRbbbbRaaaa332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,(3)不等式(特例)与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),xxxx有12121212()()()()()().2222xxfxfxxxfxfxff或则称f(x)为凸(或凹)函数.3.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.注:常用不等式的解法举例(x为正数):①231124(1)2(1)(1)()22327xxxxx②2222232(1)(1)12423(1)()223279xxxyxxyy类似于22sincossin(1sin)yxxxx,③111||||||()2xxxxxx与同号,故取等应用一:求最值例1:求下列函数的值域(1)y=3x2+12x2(2)y=x+1x解题技巧:技巧一:凑项例1:已知54x,求函数14245yxx的最大值。技巧二:凑系数例1.当时,求(82)yxx的最大值。技巧三:分离例3.求2710(1)1xxyxx的值域。。技巧四:换元技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()afxxx的单调性。例:求函数2254xyx的值域。练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x的值.(1)231,(0)xxyxx(2)12,33yxxx(3)12sin,(0,)sinyxxx2.已知01x,求函数(1)yxx的最大值.;3.203x,求函数(23)yxx的最大值.条件求最值1.若实数满足2ba,则ba33的最小值是.变式:若44loglog2xy,求11xy的最小值.并求x,y的值技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。2:已知0,0xy,且191xy,求xy的最小值。变式:(1)若Ryx,且12yx,求yx11的最小值(2)已知Ryxba,,,且1ybxa,求yx的最小值技巧七、已知x,y为正实数,且x2+y22=1,求x1+y2的最大值.技巧八:已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=1ab的最小值.变式:1.已知a0,b0,ab-(a+b)=1,求a+b的最小值。2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x,y为正实数,3x+2y=10,求函数W=3x+2y的最值.变式:求函数152152()22yxxx的最大值。应用二:利用基本不等式证明不等式1.已知cba,,为两两不相等的实数,求证:cabcabcba2221)正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc2)已知a、b、cR,且1abc。求证:1111118abc应用三:基本不等式与恒成立问题例:已知0,0xy且191xy,求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。应用四:均值定理在比较大小中的应用:例:若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba,则RQP,,的大小关系是.四.简单的线性规划1、已知线性约束条件,探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式,斜率——商的形式)目标关系最值问题(重点)例、设变量x、y满足约束条件1122yxyxyx,则①yx32的最大值为②则22xy的最小值是.③1yx的取值范围是.2含参问题:(较难)①约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题。例、在约束条件0024xyyxsyx下,当35s时,目标函数32zxy的最大值的变化范围是()A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]②已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题。例已知变量x,y满足约束条件1422xyxy。若目标函数zaxy(其中0a)仅在点(3,1)处取得最大值,则a的取值范围为。3、已知平面区域,逆向考查约束条件。例、已知双曲线224xy的两条渐近线与直线3x围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是()(A)0003xyxyx(B)0003xyxyx(C)0003xyxyx(D)0003xyxyx4、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题。例已知变量x,y满足约束条件1422xyxy。若目标函数zaxy(其中0a)仅在点(3,1)处取得最大值,则a的取值范围为。5、设计线性规划,探求平面区域的面积问题例在平面直角坐标系中,不等式组20200xyxyy表示的平面区域的面积是6、研究线性规划中的整点最优解问题例某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y须满足约束条件.112,932,22115xyxyx则1010zxy的最大值是综合检测一.选择题1.已知,0,0bba那么baba,,,的大小关系是()Ababa
本文标题:高中数学不等式综合复习
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