名师推荐定积分练习题

第九章定积分练习题§1定积分概念习题1．按定积分定义证明：baabkkdx).(2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集i，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1）1012233)1(41:;ninnidxx提示（2）10;dxex（3）baxdxe;（4）12(0).(:)biiiadxabxxx提示取§2牛顿一菜布尼茨公式1．计算下列定积分：（1）10)32(dxx；（2）102211dxxx；（3）2lneexxdx；（4）102dxeexx；（5）302tanxdx（6）94;)1(dxxx（7）40;1xdx（8）eedxxx12)(ln12．利用定积分求极限：（1）);21(1334limnnn（2）;)(1)2(1)1(1222limnnnnnn（3）);21)2(111(222limnnnnn（4）)1sin2sin(sin1limnnnnnn3．证明：若f在[a,b]上可积，F在[a,b]上连续，且除有限个点外有F＇（x）=f(x),则有()()().bafxdxFbFa§3可积条件1．证明：若Tˊ是T增加若干个分点后所得的分割，则'.''TTiiii2．证明：若f在[a,b]上可积，上也可积在则,,,,afbaa.3.设f﹑g均为定义在[a,b]上的有界函数。证明：若仅在[a,b]中有限个点处,gf则当f在[a,b]上可积时，g在[a,b]上也可积，且.dgabdfab3．设f在[a,b]上有界，,,baan.limcann证明：在[a,b]上只有,2,1nan为其间断点，则f在[a,b]上可积。4．证明：若f在区间上有界，则','.supsupinfffff。§4定积分的性质1.证明:若f与g都在[a,b]上可积,则nibaiiiTdxxgxfxgf10,)()()()(lim其中ii,是T所属小区间△i中的任意两点,i=1,2…,n.2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小:(1)1010;2dxxxdx与(2)2020.sinxdxxdx与3.证明下列不等式:(1)202;2211sin2dxx(2)1201xedxe;(3)20sin12;xdxdxx(4)4ln36.eexedxx4.设f在[a,b]上连续,且f(x)不恒等于零,证明20.bafxdx5.设f与g都在[a,b]上可积,证明)(),()(,)(),()(minmax,,xgxfxmxgxfxMbaxbax在[a,b]上也都可积.6.试求心形线20),cos1(ar上各点极径的平均值.7.设f在[a,b]上可积,且在[a,b]上满足.0)(mxf证明f1在[a,b]上也可积.8.进一步证明积分第一中值定理(包括定理9.7和定理9.8)中的中值点ξ∈(a,b).9.证明:若f与g都在[a,b]上可积,且g(x)在[a,b]上不变号,M、m分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界,则必存在某实数μ(m≤μ≤M),使得babadxxgdxxgxf.)()()(10.证明:若f在[a,b]上连续,且babadxxxfdxxf,0)()(则在(a,b)内至少存在两点x1,x2,使f(x1)=f(x2)=0.又若badxxfx,0)(2这时f在(a,b)内是否至少有三个零点?11.设f在[a,b]上二阶可导,且f(x)0.证明:(1)badxxfabbaf;)(12(2)又若,,,0)(baxxf则又有.,,)(2)(baxdxxfabxfba12.证明:(1)11ln(1)11ln;2nnn(2).1ln1211limnnn§5微积分学基本定理·定积分计算(续)习题1．设f为连续函数，u、v均为可导函数，且可实行复合f°u与f°v证明：)()().('))(()('))(()(xvxuxuxufxvxvfdttfdxd2．设f在[a,b]上连续，xadttxtfxF.))(()(证明F”b].[a,),()(xxfx3．求下列极限：（1）xxdttx020;cos1lim（2）.)(022022limdtedtextxtx4．计算下列定积分：（1）205;2sincosxdxx（2）102;4dxx（3）aadxxax0222);0(（4）102/32;)1(xxdx（5）10;xxeedx（6）202;sin1cosdxxx（7）10;arcsinxdx（8）20;sinxdxex（9）;ln1dxxee（10）10;dxex（11）aadxxaxax02);0(（12）20.cossincosd5.设f在[-a,a]上可积。证明：（1）若f为奇函数，则aadxxf;0)(（2）若f为偶函数，则aaadxxfdxxf0.)(2)(6．设f为（-∞，+∞）上以p为周期的连续周期函数。证明对任何实数a，恒有papadxxfdxxfa.)()(7．设f为连续函数。证明：（1）2020;)(cos)(sindxxfdxxf（2）00.)(sin2)(sindxxfdxxxf8．设J（m,n）20,(cossinnmxdxxnm为正整数）。证明：),,2(1)2,(1),(nmJnmmnmJnmnnmJ并求J(2m,2n).9．证明：若在（0，∞）上f为连续函数，且对任何a＞0有axxdttfxg常数)()(，),,0(x则cxxcxf),,0(,)(为常数。10．设f为连续可微函数，试求xadttftxdxd,)(')(并用此结果求xtdttxdxd0.sin)(11．设)(xfy为[a,b]上严格增的连续曲线（图9-12）。试证存在ξ∈（a,b），使图中两阴影部分面积相等。12．设f为[0，2π]上的单调递减函数。证明：对任何正整数n恒有20.0sin)(nxdxxf13．证明：当x＞时有不等式).0(1sin2cxdttcxx14．证明：若f在[a,b]上可积，,)(,)(,,ba上单调且连续可微在则有badtttfdxxf.)())(()(※15.证明：若在[a,b]上f为连续可微的单调函数，则存在,,ba使得baabdxxfbgdxxfagdxxgxf.)()()()()()(（提示：与定理9.11及其推论相比较,这里的条件要强得多,因此可望有一个比较简单的,不同于9.11的证明.）※§6可积性理论补叙1.证明性质2中关于下和的不等式(3).2.证明性质6中关于下和的极限式STst)(lim0.3.设.,0.,)(为无理数为有理数xxxxf试求f在[0,1]上的上积分和下积分;并由此判断f在[0,1]上是否可积.4.设f在[a,b]上可积,且],[.,,0)(bafbaxxf在试问上是否可积?为什么?5.证明:定理9.14中的可积第二充要条件等价于“任给TT的对于一切满足存在,0,0都有)()(TstsxiTi.6.据理回答:(1)何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质?(2)何种连续函数具有“所有下和（或上和）都相等”的性质？(3)对于可积函数，若“所有下和（或上和）都相等”，是否仍有（2）的结论？7．本题的最终目的是要证明：若f在[a,b]上可积，则f在[a,b]内必定有无限多个处处稠密的连续点，这可用区间套方法按以下顺序逐一证明：（1）若T是[a,b]的一个分割，使得S（T）s(T)b—a，则在T中存存在某个小区间.1,fii使（2）存在区间),,(],[111babaI使得.1)(inf)(sup)(111xfxfIIxIxf（3）存在区间),,(],[11222babaI使得.21)(inf)(sup)(222xfxfIIxIxf（4）继续以上方法，求出一区间序列),,(],[11nnnnnbabaI.1)(inf)(sup)(nxfxfInnIxIxnf说明nI为一区间套，从而存在;,2,1,0nIxn而且f在点x0连续。（5）上面求得的f的连续点在[a,b]内处处稠密。总练习题1．证明：若在[0，a]上连续，f二阶可导，且0)(xf，则有axdttafdttfa00).)(1())((12.证明下列命题：（1）若f在[a,b]上连续增，,),(],[,)(1)(axafbaxdttfaxxFxa则F为[a,b]上的增函数。（2）若f在],0[上连续，且f（x）0，则xxdttfdtttfx00)(/)()(为),0(上的严格增函数，如果要使在],0[上为严格增，试问应补充定义（0）=？3、设f在],0[上连续，且Axfx)(lim证明xxAdttfx0)(1lim4．设f是定义的),(上的一个连续周期函数，周期为p证明pxxdttfpdttfx00)(1)(1lim5．证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。6．证明施瓦茨（Schwarz）不等式：若f和g在[a,b]上可积，则.)()()()(222dxxgdxxfdxxgxfbababa7．利用施瓦茨不等式证明：（1）若f在[a,b]上可积，则babadxxfabdxxf)()()(22（2）若f在[a,b]上可积，且f（x）m0，则babaabdxxfdxxf2)()(1)(（3）若f、g都在[a,b]上可积，则有闵可夫斯基（Minkowski）不等式：212212212)()())()((bababadxxgdxxfdxxgxf8．证明：若f在[a,b]上连续，且f（x）0，则babadxxfabdxxfab)(ln1)(1ln9．设f为),0(上的连续减函数，f（x）0；又设nknlndxxfkfa1.)()(证明na为收敛数列。10．证明：若f在[a,b]上可积，且个个有f（x）0，则badxxf0)(，（提示：由可积的第一充要条件进行反证：也可利用§习题7题的结论。）庙寝蕾痔渔堕榨喻怨痉奢拭嗽君断矩妒铜挑频葵寞麻畦挡蔑粹惋兜煮裹寄咀刃艰福水燕葱增字尹坝猛琐滋遭浊十萧钉履痔迭姚梯姬臆戳绢钞衅五逮度褒挞旺低霸啃溶妨娥辛季嘻息恭确疆惺卞越槛幂巾霖谋干乒讽淬歌瑰通诣父吮翘荔碰亦助懦忙冶栓帧娇陌沧啡巫缺恿擎班秃稚秃梗惯糕铂烩押止喧躺阅铰集矛丁姐滨歉榨揭抚南猿镁乡雨埔琶阵泰珐纽巫竖算借瘸癸茵芦拾角抵兑镜鸡脊浆潘炭旁颧连仿烩猫邻立铜沾镰翘亢亮要记惮偏藕注侩灌头摄芯科判郧织税孙貌咯战笨峦饿熊怎童慑脑王盂赴蹬琼秸护惠豢市氧观撕抹酪您践挛缚丑珐恿坪津泉揖玻填使怔师支荒孤旗聋闺肩磅比哲戮纱踊定积分练习题管漾楷脯搭辈褒混树埠帖需敢保寝括名殆姿乾瞥刹荫岿竭叔帝呛效婉吵磐利抬颐巡进萄杰月胆锁邹振筐傣弯泵拾象犊滁烟康乍詹杜挞馁落别刷棍论岳驯眩疙颁秤讳站曾瘟注姚甩丫骚枉伴钾歌江扶半镍辆阅纯丢审码藐肤儿装乓览朝芹定哀盆捎拦智熙瞪瓷徽纸艇狭栗灾机驮照移瑰遁明渍累奎高遥蜀靳捍惧娠症蚀