微积分基本定理练习基础版

第1页（共22页）微积分基本定理练习基础版一．选择题（共8小题）1．用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设，那么由函数y=f（x）的图象、x轴、直线和直线x=2所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．2．=（）A．4ln2B．4ln2+1C．4ln2+3D．3ln2+33．下列4个不等式：（1）dx＜；（2）sinxdx＜cosxdx；（3）e﹣xdx＜edx；（4）sinxdx＜xdx．能够成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为cm的圆面，中间有边长为cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴整体（油滴是直径为0.2cm的球）正好落入孔中的概率是（）A．B．C．D．5．若函数f（x）=x2+2x+m的最小值为0，则=（）A．2B．C．D．6．已知f（x）=，则的值为（）第2页（共22页）A．B．﹣C．﹣D．7．已知定义在[1，+∞）上的函数当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S=（）A．1B．2C．3D．48．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）A．2B．4C．5D．8二．填空题（共12小题）9．设函数f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在[0，]上的面积为（n∈N*），（i）y=sin3x在[0，]上的面积为；（ii）y=sin（3x﹣π）+1在[，]上的面积为．10．若y=f（x）的图象如图所示，定义F（x）=，x∈[0，1]，则下列对F（x）的性质描述正确的有．（1）F（x）是[0，1]上的增函数；（2）F′（x）=f（x）；（3）F（x）是[0，1]上的减函数；（4）∃x0∈[0，1]使得F（1）=f（x0）．第3页（共22页）11．A、B两地相距1千米，B、C两地相距3千米，甲从A地出发，经过B前往C地，乙同时从B地出发，前往C地，甲、乙的速度关于时间的关系式分别为v1（t）=和v2（t）=t（单位：千米/小时）．甲、乙从起点到终点的过程中，给出下列描述：①出发后1小时，甲还没追上乙；②出发后1小时，甲乙相距最远；③甲追上乙后，又被乙追上，乙先到达C地；④甲追上乙后，先到达C地．其中正确的是．（请填上所有描述正确的序号）12．给定可导函数y=f（x），如果存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=成立，则称x0为函数f（x）在区间[a，b]上的“平均值点”．（1）函数f（x）=x3﹣3x在区间[﹣2，2]上的平均值点为；（2）如果函数g（x）=+mx在区间[﹣1，1]上有两个“平均值点”，则实数m的取值范围是．13．已知an=（2x+1）dx，数列{}的前n项和为Sn，bn=n﹣33，n∈N*，则bnSn的最小值为．14．已知x∈（0，1]，，则f（x）的值域是．15．由曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=t2，t∈（0，1）所围成的图形的面积的最小值是．16．当θ取遍所有值时，直线所围成的图形面积为．17．已知在区间（a，b）上，f（x）＞0，f′（x）＞0，对x轴上任意两点（x1，0），（x2，0），（a＜x1＜x2＜b）都有f（）＞．若S1=f（x）dx，S2=（b﹣a），S3=f（a）（b﹣a），则S1，S2，S3的大小关系为．18．设曲线y=2cos2x与x轴、y轴、直线围成的面积为b，若g（x）=2lnx﹣2bx2﹣kx在[1，+∞）上单调递减，则实数k的取值范围是．第4页（共22页）19．已知函数f（x）=x3++2+在[1，+∞）上单调递增，当实数m取得最小值时，若存在点Q，使得过点Q的直线与曲线y=f（x）围成两个封闭图形时，这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为．20．在区间[0，1]上给定曲线y=x2，如图所示，0＜t＜1，S1，S2是t的函数，则函数g（t）=S1+S2的单调递增区间为．三．解答题（共1小题）21．已知函数f（x）=x3﹣x2+ax+b．（1）若a=1，b=0，求积分dx；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，且函数f（x）只有一个零点，求b的取值范围．（3）若函数f（x）在区间（﹣2，2）上不是单调函数，求a的取值范围．第5页（共22页）微积分基本定理不难参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2012•海珠区模拟）用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设，那么由函数y=f（x）的图象、x轴、直线和直线x=2所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．【考点】定积分．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】先给出，再由题意用定积分分成两类求封闭图形的面积即可，由于两段函数的解析式不一样，故分成两段积分．【解答】解：由题设知：，∴，故选A【点评】本题考查定积分的运用，运用定积分求面积，求解本题的关键是确定出积分区间以及被积函数．2．（2010•赫山区校级一模）=（）A．4ln2B．4ln2+1C．4ln2+3D．3ln2+3【考点】定积分．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】直接求出函数2xlnx+x的原函数，根据积分的定义计算即可．第6页（共22页）【解答】解：=（x2lnx）|12=4ln2﹣ln1=4ln2；故答案为A．【点评】本题考查定积分的计算，关键是找出被积函数的原函数，属于基础题．3．（2016•衡阳校级一模）下列4个不等式：（1）dx＜；（2）sinxdx＜cosxdx；（3）e﹣xdx＜edx；（4）sinxdx＜xdx．能够成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】微积分基本定理．菁优网版权所有【专题】导数的综合应用．【分析】利用函数的单调性、定积分的性质即可判断得出．【解答】解：（1）由于x∈（0，1），∴，∴dx＜；（2）∵，∴sinx＜cosx，∴sinxdx＜cosxdx；（3）∵，∴e﹣xdx＜edx；（4）令f（x）=x﹣sinx，x∈[0，2]，则f′（x）=1﹣cosx≥0，∴sinxdx＜xdx．综上可得：正确的命题有4个．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、定积分的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（2013春•株洲校级月考）欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，第7页（共22页）卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为cm的圆面，中间有边长为cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴整体（油滴是直径为0.2cm的球）正好落入孔中的概率是（）A．B．C．D．【考点】微积分基本定理；几何概型．菁优网版权所有【专题】导数的综合应用；概率与统计．【分析】利用微积分基本定理即可得出圆的直径、正方形的边长，再利用几何概型的计算公式即可得出．【解答】解：∵直径为==4，中间有边长为==1．∴P===．故选A．【点评】熟练掌握微积分基本定理、几何概型的计算公式等是解题的关键．5．（2012秋•安徽月考）若函数f（x）=x2+2x+m的最小值为0，则=（）A．2B．C．D．【考点】微积分基本定理；二次函数的性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】经配方，由题意可得m=1，下面由求定积分可得答案．【解答】解：因为函数f（x）=x2+2x+m=（x+1）2+m﹣1的最小值为0，所以m=1，f（x）=（x+1）2，则．故选C【点评】本题为定积分的求解，由题意得出m的值是解决问题的关键，属基础题．第8页（共22页）6．（2016春•松原期末）已知f（x）=，则的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】微积分基本定理．菁优网版权所有【专题】导数的综合应用．【分析】利用分段函数的意义和微积分基本定理即可得出．【解答】解：==+=．故选D．【点评】熟练掌握分段函数的意义和微积分基本定理是解题的关键．7．（2011•上饶二模）已知定义在[1，+∞）上的函数当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S=（）A．1B．2C．3D．4【考点】定积分在求面积中的应用；函数的图象与图象变化；函数的周期性．菁优网版权所有【专题】压轴题；数形结合．【分析】本选项题利用特殊值法解决．取n=1，由题意可知当x∈[1，2]时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形是一个三角形，然后根据三角形的面积的运算公式进行求解即可．【解答】解：令n=1得，[2n﹣1，2n]=[1，2]，当x∈[1，2]时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形是一个三角形，如图所示，其面积为：S=×1×4=2，故选：B．第9页（共22页）【点评】本题考查函数的图象与图象变化、分段函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．8．（2012•沈阳校级模拟）已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）A．2B．4C．5D．8【考点】定积分的简单应用．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出a、b满足的条件，画出平面区域，即可求解．【解答】解：由图可知[﹣2，0）上f′（x）＜0，∴函数f（x）在[﹣2，0）上单调递减，（0，4]上f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，4]上单调递增，故在[﹣2，4]上，f（x）的最大值为f（4）=f（﹣2）=1，∴f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）⇒表示的平面区域如图所示：故选B．第10页（共22页）【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题．解决时要注意数形结合思想应用．二．填空题（共12小题）9．（2005•湖南）设函数f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在[0，]上的面积为（n∈N*），（i）y=sin3x在[0，]上的面积为；（ii）y=sin（3x﹣π）+1在[，]上的面积为．【考点】定积分．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】（i）函数y=sinnx与函数y=sin3x类比，可以得出函数y=sin3x在[0，]上的面积，得出函数y=sin3x在[0，]上的面积是函数y=sin3x在[0，]上的面积的两倍，从而得出函数y=sin3x在[0，]上的面积．（ii）设t=x﹣，t∈[0，π]，则y=sin3t+1，同理可求．【解答】解：（i）∵函数y=sinnx在[0，]上的面积为（（n∈N+），∴对于函数y=sin3x而言，n=3，∴函数y=sin3x在[0，]上的面积为：，则函数y=sin3x在[0，]上的面积第11页（共22页）为（ii）设t=x﹣，t∈[0，π]，则y=sin3t+1，∴y=sin（3x﹣π）+1在[，]上的面积为故答案为：，【点评】在解题过程中，寻找解题的突破口，往往离不开类比联想，我们在解题中，要进一步通过概念类比、性质类比、结构类比以及方法类比等思维训练途径，来提高类比推理的能力，培养探究创新精神．10．（2011•哈尔滨模拟）若y=f（x）的图象如图所示，定义F（x）=，x∈[0，1]，则下列对F（x）的性质描述正确的有（1）（2）（4）．（1）F（x）是[0，1]上的增函数；（2）F′（x）=f（x）；（3）F（x）是[0，1]上的减函数；（4）∃x0∈[0，1]使得F（1）=f（x0）．【考点】定积分；导数的概念．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】根据定积分的几何意义，连续曲线y=f（