高一数学必修一知识点

集合结构图集合集合含义与表示集合间关系集合基本运算列举法描述法图示法子集真子集补集并集交集(1)确定性：集合中的元素必须是确定的.1.集合中元素的性质:(2)互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.(3)无序性：集合中的元素是没有先后顺序的.自然数集（非负整数集）：记作N正整数集：记作N*或N+整数集：记作Z有理数集：记作Q实数集：记作R2.常用的数集及其记法（含0）（不含0）子集：AB任意x∈Ax∈B.真子集：ABx∈A，x∈B，但存在x0∈B且x0A.集合相等：A＝BAB且BA.空集：.性质：①A，若A非空，则A.3.集合间的关系:子集、真子集个数：一般地，集合A含有n个元素，A的非空真子集个.则A的子集共有个;A的真子集共有个;A的非空子集个;2n2n－12n-12n-24.并集:BA}|{BxAxxBA，或BA5.交集:}|{BxAxxBA，且BABA6.全集:一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.7.补集:UAUAUA={x|xU，且xA}UAUAU2:ABABA类比并集的相关性质1:ABABA{}211-，，M2.已知集合集合则M∩N是(){}421，，AB{1}C{1，2}DΦ{}，，MxxyyN2练习B变式：{}{}xyxNRxyyMx3log1|,,2|知全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x8}，B＝{x|2x≤6}，则(结果用区间表示)(1)求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)；(2)若集合C＝{x|xa}，AC，求a的取值范围．例1已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若，求m的取值范围.AB（1）B为空集（2）B不为空集2.{1,2,},02xxx2已知则或知识结构概念三要素图象性质指数函数应用大小比较方程解的个数不等式的解实际应用对数函数函数函数的概念函数的三要素：定义域，值域，对应法则A.B是两个非空的集合,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数。使函数有意义的x的取值范围。求定义域的主要依据1、分式的分母不为零.2、偶次方根的被开方数大于等于零.3、零次幂的底数不为零.4、对数函数的真数大于零.5、指、对数函数的底数大于零且不为1.6、实际问题中函数的定义域例1求函数的定义域。2lgxyx)12(log)3()23(22)2(121)1(20xyxxxyxxy求定义域求函数解析式的方法：待定系数法、换元法、配凑法1,已知求f(x).xxxf3)1(2,已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x+3求f(x).3，已知求f(x).21)1(22xxxxf求值域的一些方法：1、图像法，2、配方法，3、观察法，4、分离常数法，5、换元法，6单调性法。12,6xa)b)c)d))3(log3xy212yxx243,03yxxx21y1xx1、已知函数f(x)=x+2,(x≤－1)x2,(－1＜x＜2)2x,(x≥2)若f(x)=3,则x的值是()A.1B.1或32C.1,,332D.3D3log,0,f-31,03xxxfxfx已知求一个函数的三要素为：定义域、对应关系和值域，值域是由对应法则和定义域决定的判断两个函数相等的方法：1、定义域是否相等（定义域不同的函数，不是相等的函数）2、对应法则是否一致（对应关系不同，两个函数也不同）例、下列函数中哪个与函数y=x相等23322(1)(2)(3)(4)yxytxyxyx反比例函数kyx1、定义域.2、值域4、图象k0k0(,0）（0，+）(,0）（0，+）(,0)()递减，0，+3、单调性(,0)()递增，0，+二次函数yaxbxc21、定义域.2、值域.R3、单调性4、图象a0a0[,)442acba(,]442acba(,],,)ba2减增[-b2a(,],[,)baba22增减函数的性质：单调性如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.定义一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.xoyy=f(x)x1x2f(x2)f(x1)xoyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)3.(定义法)证明函数单调性的步骤:设值判断差符号作差变形下结论简单函数的单调性1、一次函数y=kx+b2、二次函数y=ax^2+bx+c3、反比例函数y=k/x4、指数函数y=a^x5、对数函数y=logax6、幂函数y=x^a证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则22111)(,1)(xxfxxf212111)()(xxxfxf2112xxxx0),0(,2121xxxx01221xxxx0)()(21xfxf)()(21xfxf.),0(1)(上是减函数在函数xxf1－1－1Oxy1f（x）在定义域上是减函数吗？例1：判断函数f(x)=1/x在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数？并证明你的结论。,12()4fxxax若二次函数在区间上单调递增，求a的取值范围。解：二次函数的对称轴为,由图象可知只要，即即可.2()4fxxax2ax12ax2aoxy1xy1o练习(二次函数)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数f(x)的最小值．【思路点拨】抛物线开口方向确定，对称轴不确定，需根据对称轴的不同情况分类讨论．可画出二次函数相关部分的简图，数形结合解决问题．【规范解答】f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2的图象开口向上，且对称轴为直线x＝a.(1)(2)(3)当a≥1时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；当－1a1时，函数图象如图(2)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为f(a)＝2－a2；当a≤－1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.单调性（复合函数）①当a1时，f(x)=ag(x)的单调性与g(x)相同;②当0a1时，f(x)=ag(x)的单调性与g(x)相反;254355.(,).(,)2255.(,).(,)22xxyABCD函数的单调增区间是（）D一、函数的奇偶性定义前提条件：定义域关于原点对称。1、奇函数f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=02、偶函数f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0二、奇函数、偶函数的图象特点1、奇函数的图象关于原点成中心对称图形。2、偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。奇函数里的定值：如果奇函数y=f(x)的定义域内有0，则f(0)=0.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(-x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.如果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，又不是偶函数。奇函数关于原点对称的两个区间上的单调性一致；偶函数则相反。利用函数的奇偶性求解析式已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求：(1)f(0)；(2)当x0时，f(x)的解析式；(3)f(x)在R上的解析式．【自主解答】(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.2分(2)当x0时，－x0，f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，x0.10分(3)函数f(x)在R上的解析式为f(x)＝－2x2＋3x＋1，x0，0，x＝0，2x2＋3x－1，x0.已知定义在[-4,4]上的奇函数f(x)为减函数，且f(1-2a)+f(-a)0,求实数a的取值范围一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的,都有；（2）存在，使得.那么，称M是函数的最大值.x∈If(x)≤My=f(x)x0∈If(x0)=My=f(x)最值：几何意义：函数的最大值是图象最高点的纵坐标.y=f(x)一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的,都有；（2）存在，使得.那么，称M是函数的最小值.x∈If(x)≥My=f(x)x0∈If(x0)=My=f(x)最值：几何意义：函数的最小值是图象最低点的纵坐标.y=f(x)解：设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)-f(x2)2=-x1-12x2-12[(x2-1)-(x1-1)](x1-1)(x2-1)=(x1-1)(x2-1)2(x2-x1)=例1.已知函数y=（x∈[2，6]），求函数的最大值和最小值。2x-1∵2≤x2x1≤6，∴x2-x10,(x1-1)(x2-1)0于是f(x1)-f(x2)0，即：f(x1)f(x2)所以函数y=在区间[2，6]上是减函数。2x-1因此函数在时取得最大值，最大值是▁在时取得最小值，最小值是。x=22x=60.4例题：基本初等函数基本初等函数指数函数对数函数幂函数⑴ar·as=ar+s(a0,r,s∈Q)；⑵(ar)s=ars(a0,r,s∈Q)；⑶(ab)r=arbr(a0,b0,r∈Q).(5)()(0,Z)nnnaabnbb指数幂的运算.__________,,3133221aaaaaa，则已知7181230182,3+-2327计算1.对数的运算性质:logloglogaaaMNMN（）⑴logloglogaaaMMNN(2)loglog()naaMnMnR(3)如果a0，a1，M0，N0有：log4loglogcacNNa5loglogmnaanNNmloglog10log1aaaNaaN对数的运算性质计算下列各式的值：(1)12lg3249－43lg8＋lg245；(2)lg25＋23lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.(1)原式＝lg427－lg4＋lg75＝lg42×757×4＝lg(2·5)＝lg10＝12.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.指数函数与对数函数函数y=ax(a＞0且a≠1)y=logax(a＞0且a≠1)图象a＞10＜a＜1a＞10＜a＜1性质定义域定义域值域值域定点定点xy01xy011xyo1xyo在R上是增函数在R上是减函数在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数RR(0,)(0,)(1,0)(0,1)指数函数与对数函数(1),(2),(3),(4),,,,1.xxxxyaybycydabcd如图是指数函数的图象则与的大小关系是（）.1.cdbaDdcbaA1.cdabB1.dbaC1.B(1)(2)(3)(4)OXy总结：在第一象限，越靠近y轴，底数就越大已知函