人教版高中数学选修4-4课件1.2-极坐标系-(共38张PPT)

1.2极坐标系1650年，斯德哥尔摩的街头，52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。那时，落魄、一文不名的笛卡尔过着乞讨的生活，全部的财产只有身上穿的破破烂烂的衣服和随身所带的几本数学书籍。生性清高的笛卡尔从来不开口请求路人施舍，他只是默默地低头在纸上写写画画，潜心于他的数学世界。一个宁静的午后，笛卡尔照例坐在街头，沐浴在阳光中研究数学问题。他如此沉溺于数学世界，身边过往的人群，喧闹的车马队伍。都无法对他造成干扰。突然，有人来到他旁边，拍了拍他的肩膀，“你在干什么呢？”扭过头，笛卡尔看到一张年轻秀丽的脸庞，一双清澈的眼睛如湛蓝的湖水，楚楚动人，长长的睫毛一眨一眨的，期待着他的回应。她就是瑞典的小公主，国王最宠爱的女儿克里斯汀。她蹲下身，拿过笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。言谈中，他发现，这个小女孩思维敏捷，对数学有着浓厚的兴趣。和女孩道别后，笛卡尔渐渐忘却了这件事，依旧每天坐在街头写写画画。几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。满心疑惑的笛卡尔跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫，在会客厅等候的时候，他听到了从远处传来的银铃般的笑声。转过身，他看到了前儿天在街头偶遇的女孩子。慌忙中，他赶紧低头行礼。从此，他当上了公主的数学老师。公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，他们之间也开始变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直角坐标系。通过它，代数与几何可以结合起来，也就是日后笛卡尔创立的解析几何学的雏形。在笛卡尔的带领下，克里斯汀走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。每天的形影不离也使他们彼此产生了爱慕之心。在瑞典这个浪漫的国度里，一段纯粹、美好的爱情悄然萌发。然而，没过多久，他们的恋情传到了国王的耳朵里。国王大怒，下令马上将笛卡尔处死。在克里斯汀的苦苦哀求下，国王将他放逐回国，公主被软禁在宫中。当时，欧洲大陆正在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国后不久，便染上重病。在生命进入倒计时的那段日子，他日夜思念的还是街头偶遇的那张温暖的笑脸。他每天坚持给她写信，盼望着她的回音。然而，这些信都被国王拦截下来，公主一直没有收到他的任何消息。在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后，他永远地离开了这个世界。此时，被软禁在宫中的小公主依然徘徊在皇宫的走廊里，思念着远方的情人。这最后一封信上没有写一句话，只有一个方程：r=a(1-sinθ)。)sin1(ar国王看不懂，以为这个方程里隐藏着两个人不可告人的秘密，便把全城的数学家召集到皇宫，但是没有人能解开这个函数式。他不忍看着心爱的女儿每天闷闷不乐，便把这封信给了她。拿到信的克里斯汀欣喜若狂，她立即明白了恋人的意图，找来纸和笔，着手把方程图形画了出来，一颗心形图案出现在眼前，克里斯汀不禁流下感动的泪水，这条曲线就是著名的“心形线”。国王去世后，克里斯汀继承王位，登基后，她便立刻派人去法国寻找心上人的下落，收到的却是笛卡尔去世的消息，留下了一个永远的遗憾……这封享誉世界的另类情书，至今，还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里。xyoyzox●●●●oPP(x,y)P(x,y,z)（1）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应；（2）在平面直角坐标系上，平面上所有点的集合与全体有序实数对（x,y）的集合建立一一对应；（3）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对（x,y,z）的集合建立一一对应；复习回顾1.直角坐标系1.直角坐标系数轴空间直角坐标系平面直角坐标系R（x,y)（x,y,z)复习回顾建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:（1）若图形有对称中心，则可选对称中心为坐标原点；（2）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴；（3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系中，应满足：任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置；而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。复习回顾下图是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：(1)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？(2)他向东偏北60o方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？AEBCD60o45o办公楼实验楼图书馆体育馆120m60m教学楼50m情境分析请分析下面这句话，他告诉了问路人什么信息？从这东偏北走60米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。情境分析一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线Ox，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。xO建构数学二、极坐标系内一点的极坐标的规定:对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从Ox到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从Ox到OM的角度，即以Ox（极轴）为始边，OM为终边的角。xOM建构数学例1.如图，在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标，并标出点)35,5.3()43,4(FE，所在的位置？，)6,2(D6323265673423356112ACB数学运用例1.如图，在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标，并标出点)35,5.3()43,4(FE，所在的位置？，)6,2(D6323265673423356112ACBD6323265673423356112ACB数学运用例1.如图，在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标，并标出点所在的位置？，)6,2(D6323265673423356112ACBED6323265673423356112ACB数学运用例1.如图，在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标，并标出点)35,5.3()43,4(FE，所在的位置？，)6,2(D6323265673423356112ACBEDF6323265673423356112ACB数学运用[小结]由极坐标描点的步骤：(1)先按极角找到点所在射线；(2)在此射线上按极径描点.例2：下图是某校园的平面示意图，点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标。50mBDECA60m120m45o60oOX)0,0(A)0,60(B)3,120(C)2,360(D)43,50(E数学运用思考在极坐标系中，表示的点有什么关系？你能从中体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？(4,)(4,2)66，，(4,4)(4,2)66，思考:①平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？②不同的极坐标是否可以写出统一表达式？1、点的极坐标的表达式的研究XOM如图：OM的长度为4，4请说出点M的极坐标的表达式？思考：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。π4+2kπ4，极径相同，不同的是极角.2、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(ρ,θ)如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.21P5Q1PQ4452P5Q1PQ4,43,0M3例、在极坐标系中，（）已知两点（、），（，），求线段的长度。（）已知两点（、），（，），求线段的长度。（）说明满足条件的点（，）所组成的图形表示什么样的图形？，则）中的若（MR3数学运用例3、在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的情况下，也允许取负值(0):当0时如何规定(,)对应的点的位置？°Ox当0时，点M(,)的位置规定：•M(,)°OxM(-2,)5656点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||•M(-2,)563、关于负极径小结：从比较来看,负极径比正极径多了一个操作,将射线OP“反向延长”.。Ox425654531162332A(-4,0)C(-2,)2B(3,)56D(-1,)53E(3,-)6(-4,-)3F•A•B•C•D•E•F(,)(,2k+)(-,+)(-,+(2k+1))都是同一点的极坐标.13、一点的极坐标有否统一的表达式？1、建立一个极坐标系需要哪些要素?极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.2、极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极角有无数个.有。（ρ，2kπ+θ）阶段小结4、结论：极坐标(,)与(,＋2k)(k∈Z)表示同一个点.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定＞0，0≤＜2，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(,)表示；同时，极坐标表示的点(,)也是惟一确定的.特别规定:当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。问题探究平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示.那么，这两种坐标之间有什么关系呢？把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,).从下图可以得出它们之间的关系：NxxyMOycos,sin.xy222,tan(0)yxyxxNxxyMOy①由①又可得到下面的关系式：)0(tan,222xxyyx直化极：sin,cosyx极化直：三、极坐标与直角坐标的互化（非常重要）例4、(1)2(5,).3M将点的极坐标化成直角坐标(31).M将点的直角坐标，化成极坐标(2)练习：互化下列直角坐标与极坐标直角坐标极坐标)3,3()1,3()0,5(直角坐标极坐标)6,4()2,1(),3()2,32()1,0()0,3()65,32()67,2()0,5(2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是()A.(－ρ,θ)B.(－ρ,－θ)C.(－ρ,θ＋π)D.(－ρ,π－θ)CD练习：1.在极坐标系中，与点(－3,)重合的点是()6A.(3,)B.(－3,－)C.(3,－)D.(－3,－)6665653.在极坐标系中,与点(－8,)关于极点对称的点的一个坐标是()6A.(8,)B.(8,－)C.(－8,)D.(－8,－)656665A[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？[1]建立一个极坐标系需要哪些要素？极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数.极径有正有负；极角也有正负且无数个。有.（，2k）或（-，2kπ）课堂小结课堂小结1、极坐标（ρ，2kπ+θ）和（-ρ，2kπ+θ+π）其中表示同一个点（ρ，θ）；Zk2、点M（ρ，θ）关于极点的对称点的一个坐标为（-ρ，θ）或（ρ，π+θ）；3、点M（ρ，θ）关于极轴的对称点的一个坐标为（ρ，-θ）或（-ρ，π-θ）；4、点M（ρ，θ）关于直线的对称点的一个坐标为（-ρ，-θ）或（ρ，π-θ）；2极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点作旋转变动，则采用极坐标系。课外作业P121~5