1998考研数二真题及解析

1998年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)20112limxxxx→++−−=.(2)曲线322yxxx=−++与x轴所围成的图形的面积A=.(3)2lnsinsinxdxx=∫.(4)设()fx连续,则220()xdtfxtdtdx−=∫.(5)曲线1ln()(0)yxexx=+的渐近线方程为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设数列nx与ny满足lim0nnnxy→∞=,则下列断言正确的是()(A)若nx发散,则ny发散(B)若nx无界,则ny必有界(C)若nx有界,则ny必为无穷小(D)若1nx为无穷小,则ny必为无穷小(2)函数23()(2)fxxxxx=−−−的不可导点的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3(3)已知函数()yyx=在任意点x处的增量2,1yxyxα∆∆=++其中α是比(0)xx∆∆→高阶的无穷小,且(0),yπ=,则(1)y=()(A)4eππ(B)2π(C)π(D)4eπ(4)设函数()fx在xa=的某个邻域内连续,且()fa为其极大值,则存在0δ,当(,)xaaδδ∈−+时,必有()(A)()[()()]0xafxfa−−≥(B)()[()()]0xafxfa−−≤(C)2()()lim0()()taftfxxatx→−≥≠−(D)2()()lim0()()taftfxxatx→−≤≠−(5)设A是任一(3)nn≥阶方阵,A∗是其伴随矩阵,又k为常数,且0,1k≠±,则必有()kA∗=()(A)kA∗(B)1nkA−∗(C)nkA∗(D)1kA−∗三、(本题满分5分)求函数tan()4()(1)xxfxxπ−=+在区间(0,2)π内的间断点,并判断其类型.四、(本题满分5分)确定常数,,abc的值,使30sinlim(0).ln(1)xxbaxxcctdtt→−=≠+∫五、(本题满分5分)利用代换cosuyx=将方程cos2sin3cosxyxyxyxe′′′−+=化简,并求出原方程的通解.六、(本题满分6分)计算积分32122dxxx−∫.七、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0)kk.试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式()y=fv.八、(本题满分8分)设()yfx=是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在0(0,1)x∈,使得在区间0[0,]x上以0()fx为高的矩形面积,等于在0[,1]x上以()yfx=为曲边的梯形面积.(2)又设()fx在区间(0,1)内可导,且2()()fxfxx′−,证明(1)中的0x是唯一的.九、(本题满分8分)设有曲线1yx=−,过原点作其切线,求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.十、(本题满分8分)设()yyx=是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(,)xy处的曲率为211y′+,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为1yx=+,求该曲线的方程,并求函数()yyx=的极值.十一、(本题满分8分)设(0,1)x∈,证明：(1)22(1)ln(1);xxx++(2)11111.ln2ln(1)2xx−−+十二、(本题满分5分)设11(2)TECBAC−−−=,其中E是4阶单位矩阵,TA是4阶矩阵A的转置矩阵,1232120101230120,,0012001200010001BC−−−==求A.十三、(本题满分8分)已知123(1,4,0,2),(2,7,1,3),(0,1,1,),(3,10,,4)TTTTabαααβ===−=,问：(1),ab取何值时,β不能由123,,ααα线性表示？(2),ab取何值时,β可由123,,ααα线性表示？并写出此表达式.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】14−【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,原式()()()20112112lim112xxxxxxxx→++−−++−+=++−+()()220114lim112xxxxxx→++−−=++−+()220211lim4xxx→−−=222201112112lim24xxxxx→−−−−=−.方法2：采用洛必达法则.原式()()02112limxxxx→′++−−′洛0112121lim2xxxx→−+−=2011lim41xxxxx→−−+=−011lim4xxxx→−−+=0112121lim4xxx→−−−+洛011lim1212144xxx→−−−+==−.方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至2x项,1x+()22111128xxox=+−+,1x−()22211128xxox=−−+,从而原式()()2222122011111122828limxxxoxxxoxx→+−++−−+−=()()222122014limxxoxoxx→−++=14=−.(2)【答案】3712【分析】求曲线与x轴围成的图形的面积,应分清楚位于x轴上方还是下方,为此,要先求此曲线与x轴交点.【解析】322yxxx=−++与x轴的交点,即322(2)(1)0xxxxxx−++=−−+=的根为1,0,2.x=−当10x−时,0y；当02x时,0y,从而0202323210100243432210(2)(2)434311858370(1)(44).43312312Aydxydxxxxdxxxxdxxxxxxx−−−=−+=−−+−++=−−−−−=−+−−−−=+=∫∫∫∫(3)【答案】cotlnsincot.xxxxC−⋅−−+【解析】因为()2cotcscxx′=−21sinx=−,所以2lnsinsinxdxx∫()lnsincotxxdx′=−∫lnsincotxdx=−∫[cotlnsincotlnsin]xxxdx−⋅−∫分部coscotlnsincotsinxxxxdxx=−⋅+⋅∫22coscotlnsinsinxxxdxx=−⋅+∫221sincotlnsinsinxxxdxx−=−⋅+∫2cotlnsin1sindxxxdxx=−⋅+−∫∫()cotlnsincotxxxdxx′=−⋅+−−∫cotlnsincotxxxxC=−⋅−−+.(4)【答案】2()xfx【解析】作积分变量代换22,uxt=−2:0:0txux→⇒→,()222dudxttdt=−=−12dtdut⇒=−,220()xtfxtdt−∫22uxt=−201()2xtfudut=−∫220011()()22xxfudufudu=−=∫∫,222001()()2xxddtfxtdtfududxdx−=∫∫()221()2fxx′=⋅221()2()2fxxxfx=⋅=.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttFtfxdxβα=∫,()tα,()tβ均一阶可导,则[][]()()()()()Fttfttftββαα′′′=⋅−⋅.(5)【答案】1yxe=+【解析】题中未说什么渐近线,所以三类渐近线都要考虑.由曲线方程1ln()yxex=+知,铅直渐近线可能在两处：1xe+→−及0x→,但题设0x,所以1xe+→−不予考虑,考虑0x+→的情况.当0x+→时,01ln()1limln()1limlim0ttxetxextxtet+→+∞→+∞→++==≠∞+洛,所以无铅直渐近线；因1lim()limln()limln,xxxyxxexex→+∞→+∞→+∞=+==+∞故无水平渐近线.再考虑斜渐近线:1limlimln()1xxyexx→+∞→+∞=+=,()11limlimln()1limlnln(1)1111limln(1)lim,xxxxxyxxexexexxxexexe→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞−=+−=++−=+=⋅=(x→+∞时,11ln(1)exex+)所以有斜渐近线y1xe=+.【相关知识点】1.铅直渐近线：如函数()yfx=在其间断点0xx=处有0lim()xxfx→=∞,则0xx=是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim(),(xfxaa→∞=为常数）,则ya=为函数的水平渐近线.斜渐近线：若有()lim,lim[()]xxfxabfxaxx→∞→∞==−存在且不为∞,则yaxb=+为斜渐近线.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】方法1:直接利用无穷小量的性质可以证明(D)是正确的.由1()nnnnyxyx=⋅及1lim0,lim0nnnnnxyx→∞→∞==可知ny为两个无穷小之积,故ny亦为无穷小,应选(D).方法2:排除法.(A)的反例:22111,,limlimlim0nnnnnnnxnyxynnnn→∞→∞→∞===⋅==满足题设,但lim0nny→∞=不发散；(B)的反例:21,21,0,21,1,2,0,2,2,2,nnknknkxyknkknk−=−=−=====,满足lim0nnnxy→∞=,但ny不是有界数列；(C)的反例:111:1,,,,,23nxn有界数列,1(1,2,),nyn==满足1limlim0nnnnxyn→∞→∞==,但ny不是无穷小；排除掉(A)、(B)、(C),故选(D).(2)【答案】(B)【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是分段函数.22()(2)1fxxxxx=−−−,当0,1x≠±时()fx可导,因而只需在0,1x=±处考察()fx是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.由22222222(2)(1),1,(2)(1),10,()(2)(1),01,(2)(1),1,xxxxxxxxxxfxxxxxxxxxxx−−−−−−−−≤=−−−≤−−−≤⇒()()22111(2)(1)0(1)limlim011xxfxfxxxxfxx−−−→−→−−−−−−−′−===++,()()22111(2)(1)0(1)limlim011xxfxfxxxxfxx+++→−→−−−−−−−′−===++,即()fx在1x=−处可导.又()()22000(2)(1)0(0)limlim2xxfxfxxxxfxx−−−→→−−−−−′===,()()22000(2)(1)0(0)limlim2xxfxfxxxxfxx+++→→−−−−−′===−,所以()fx在0x=处不可导.类似,函数()fx在1x=处亦不可导.因此()fx只有2个不可导点,故应选(B).评注：本题也可利用下列结论进行判断：设函数()()fxxaxϕ=−,其中()xϕ在xa=处连续,则()fx在xa=处可导的充要条件是()0aϕ=.(3)【答案】(A)【解析】由2,1yxyxα∆∆=++有2.1yyxxxα∆=+∆+∆令0,x∆→得α是x∆的高阶无穷小,则0lim0xxα∆→=∆,0limxyx∆→∆∆20lim1xyxxα∆→=++∆200limlim1xxyxxα∆→∆→=++∆21yx=+即21dyydxx=+.分离变量,得2,1dydxyx=+两边积分,得lnarctanyxC=+,即arctan1.xyCe=