考研数学一知识点

考研数学一公式朱泽斌整理考研数学一公式1.特殊函数（1）π/2π/2001331π2422cosdsind1342253nnnnnnnnIxxxxnnnnn−−⋅⋅⋅−===−−⋅⋅⋅−∫∫,为偶,为奇（2）2ππ2ππ0π0ππsin()sin()dsin()sin()dcos()cos()dcos()cos()d0xxxxxxxxxxxxαβαβαβαβαβαβ−−=====≠∫∫∫∫（3）2ππ0πsin()cos()dsin()cos()d0xxxxxxαβαβ−==∫∫（4）ππ00π(sin)d(sin)d2xfxxfxx=∫∫（5）π/2π/200(sin)d(cos)dfxxfxx=∫∫（6）10()ed(1)()(1)!(1/2)πxΓxxΓΓΓΓααααααα+∞−−=+=+==∫或0!01()ed(1)π02π1/2mxmmΓmxxmmmm+∞−≥==⋅−⋅⋅⋅⋅=−∫的整数的半整数2.不等式（1）222222ababaaabab++≤≤≤+（2）1212nnnaaaaaan++⋅⋅⋅+≥⋅⋅⋅（3）111dnnxnx+∫（4）()d()dbbaafxxfxx≤∫∫（5）柯西不等式()222()()d()d()dbbbaaafxgxxfxxgxx≤⋅∫∫∫3.等价无穷小（1）~sin~tan~arcsin~arctan~ln(1)~e1xxxxxxx+−（2）21cos~/2xx−（3）21cos~/2xxαα−（4）(1)1~ln[(1)11]~ln(1)~xxxxαααα+−+−++4.麦克劳林展开（1）23e1()2!3!!nxnxxxxoxn=++++⋅⋅⋅++（2）352121(1)sin()3!5!(21)!nnnxxxxxoxn++−=−+−⋅⋅⋅+++（3）352121(1)arctan()3521nnnxxxxxoxn++−=−+−⋅⋅⋅+++（4）2422(1)cos1()2!4!(2)!nnnxxxxoxn−=−+−⋅⋅⋅++（5）2311()1nnxxxxoxx=++++⋅⋅⋅++−（6）231(1)ln(1)()23nnnxxxxxoxn−−+=−+−⋅⋅⋅++（7）23(1)(1)(2)(1)12!3!(1)(1)()!annaaaaaxaxxxaaanxoxn−−−+=+++−−++⋅⋅⋅++1/11考研数学一公式朱泽斌整理5.求导公式21(tan)'cosxx=21(cot)'sinxx=−(sec)'sectanxxx=(csc)'csccotxxx=−21(arcsin)'1xx=−21(arccos)'1xx=−−21(arctan)'1xx=+21(arccot)'1xx=−+()π(sin)sin2nnxx=+()π(cos)cos2nnxx=+()()()0()nnkknknkuvCuv−==∑()11()!()nnnanaxbaxb+−=++6.弧微分222d1'()d'()'()dSfxxxtytt=+=+7.弧长21222221'()d'()'()d()'()dbattlfxxxtyttrrβαθθθ=+=+=+∫∫∫8.曲率K23/2223/2()'()()'()1(1')['()'()]yxtytytxtKyxtytρ−===++9.↑连续可偏导可微连续可偏导10.区域D上的无条件极值．．．．．令0000xyfxxfyy==⇒==令00(,)xxAfxy=00(,)xyBfxy=00(,)yyCfxy=20000AACBA−极小值是极值点极大值不是极值点11.条件极值．．．．（拉格朗日乘数法）u=f(x,y,z)，约束方程φ(x,y,z)和ϕ(x,y,z)，设F=f+λφ+μϕ，则00000000xxxxyyyyzzzzFfFfxxFfyyFzzFλµλϕµφλϕµφλϕµφϕφ=++==++===++=⇒======★如果(,)xyD∈是闭区域，则先在开区域内用无条件极值，再在边界上用条件极值。12.()()'()Fxfxfx←→←→←→原函数导数偶奇偶奇偶奇周期周期周期13.积分公式（1）dlnxxaaxCa=+∫（2）tan1dcoscosxxCxx=+∫（易推）（3）11dsintansinxCxxx=−+∫（易推）（4）2darctan1xxCx=++∫（5）2darcsin1xxCx=+−∫（6）2222dlnxxxaCxa=+±+±∫（7）22darcsinxxCaax=+−∫（8）22d1arctanxxCaaax=++∫（9）22d1ln2xxaCaxaxa−=++−∫（可用平方差公式推出）（10）22222darcsin22axxaxxaxCa−=+−+∫（11）tandlncosxxxC=−+∫（易推）2/11考研数学一公式朱泽斌整理（12）cotdlnsinxxxC=+∫（易推）（13）secdlnsectanxxxxC=++∫（14）cscdlncsccotxxxxC=−+∫14.换元法（1）['()()]edd[e()]xxfxfxxfx+=（2）(1)edd(e)xxxxx+=（3）d2d()xxx=（4）(1ln)dd(ln)xxxx+=15.微分方程（1）一阶非线性d()()dyPxyQxx+=()d()d()edePxxPxxyQxxC−∫∫=+∫（2）缺y型(,',)0fxyy=，令y’=p，(,,')0fxpp=缺x型(,',)0fxyy=令y’=p，d(,,)0dpfyppy=（3）二阶齐次2'00ypyqypqλλ++=⇒++=1211212121212,ee,()e,e(cossin)xxxxyCCyCxCiyCxCxλλλαλλλλλαβββ≠=+==+=+=+（4）二阶非齐次型Ⅰ2120'()e0,,xnypyqyPxpqyλλλλλλ++=⇒++=⇒（是常数）2121212,*()e,*()e,*()exnxnxnyxQxyxQxyQxλλλλλλλλλλλλ====≠=≠≠=（Qn(x)是与Pn(x)同阶的多项式）把y*代回原方程解出Qn(x)，则y=y0+y*★若12λλλ==，2[()]()nnxQxPx=若12λλλ=≠，[()](2)[()]'()nnnxQxpxQxPxλ++=（5）二阶非齐次型Ⅱ2120'e[()cos()sin]0,,xmnypyqyPxxPxxpqyαββλλλλ++=+⇒++=⇒1212,*e[()cos()sin],*e[()cos()sin]xmnxmniyxQxxQxxiyQxxQxxαααβλλββαβλλββ+==++≠=+或和（Qm(x)、Qn(x)是与Pm(x)、Pn(x)同阶的多项式）把y*代回原方程解出Qm(x)和Qn(x)，则y=y0+y*（6）欧拉方程()1(1)110'()nnnnnxyaxyaxyayfx−−−++++=令etx=，则()2ddd1(1)ddddd1ddd'dnnxynytttxyyttxyyt=−−−=−=（7）伯努利方程d()()dnyPxyQxyx+=令1nzy−=，代入得d(1)()(1)()dznPxznQxx+−=−化为一阶非线性方程16.等比数列（级数）1111nnqaqqq∞=≥=−∑发散第一项17.幂级数的收敛半径0nnnax∞=∑，11limlimnnnnnnaaaR+→∞→∞==0anbnnax∞+=∑，1limlimnnnnnnaaaρ+→∞→∞==，1aRρ=18.泰勒展开（1）230e1!2!3!nxnxxxxn∞===++++⋅⋅⋅∑3/11考研数学一公式朱泽斌整理（2）35210(1)sin(21)!3!5!nnnxxxxxn∞+=−==−+−⋅⋅⋅+∑（3）2420(1)cos1(2)!2!4!nnnxxxxn∞=−==−+−⋅⋅⋅∑（4）230111nnxxxxx∞===++++⋅⋅⋅−∑（5）2310(1)ln(1)123nnnxxxxxn∞+=−+==−+−⋅⋅⋅+∑（6）230ln(1)23nnxxxxxn∞=−−==+++⋅⋅⋅∑19.傅里叶级数·当f(x)是周期为2π的函数01(cossin)2()(0)(0)2nnnaanxbnxfxfxfx∞=++=−++∑连续处第一类间断点处π0πππππ1()dπ1()cosdπ1()sindπnnafxxafxnxxbfxnxx−−−===∫∫∫·当f(x)是周期为2l的函数01cossin2()(0)(0)2nnnaanxbnxllfxfxfxππ∞=++=−++∑连续处第一类间断点处01()d1()cosd1()sindlllnllnlafxxlafxnxxllbfxnxxllππ−−−===∫∫∫20.2S∆×=ab21.旋转曲面2222(,)0,(,)0(,)0fxyxfxyzyfxzy=±+=±+=绕轴转：绕谁转谁不动绕轴转：22.平面（1）点法式过点M0(x0,y0,z0)，法向量n={A,B,C}000()()()0AxxByyCzz−+−+−=（2）一般式0AxByCzD+++=其中n={A,B,C}为法向量（3）截距式0xyzabc++=其中a、b、c为三个截距23.空间曲面(,,)0Fxyz=法向量为{,,}xyzFFF=n24.空间直线（1）一般式1111222200AxByCzDAxByCzD+++=+++=（2）点向式000xxyyzzabc−−−==（过点(x0,y0,z0)，n={a,b,c}）（3）参数式000xxatyybtzzct=+=+=+（过点(x0,y0,z0)，n={a,b,c}）（4）两条直线12121212()MM0()MM0→×⋅=←→×⋅≠←nnnn充要充要共面异面4/11考研数学一公式朱泽斌整理25.空间曲线（1）一般式(,,)0(,,)0FxyzGxyz==n1是F的法向量n1={Fx,Fy,Fz}M0n2是G的法向量n2={Gx,Gy,Gz}M0曲线的切向量为11=×nnn（2）参数式()()()xxtyytzzt===000{'(),'(),'()}xtytyt=n26.距离（1）点面之距点0000(,,)Mxyz，面0AxByCzD+++=000222AxByCzDdABC+++=++（2）平行面之距面1：10AxByCzD+++=，面2：20AxByCzD+++=12222DDdABC−=++（3）点线之距n是直线切向量，M0在直线上，M1在直线外，M1到直线的距离01MMd×=nn（4）异面直线之距线1：n1是切向量，M1在其上线2：n2是切向量，M2在其上121212MMd×⋅=×nnnn27.d{cos,cos,cos}d{dd,dd,dd}d{cos,cos,cos}d{d,d,d}S=yzxzxyl=xyzαβγαβγ==Sl28.曲线积分（1）对弧长的曲线积分222(,)d[,()]1'()d[(),()]'()'()dbLafxySfxyxyxxfxtytxttttβα=+=+∫∫∫（2）对坐标的曲线积分（环量）·二维(,)d(,)d[,()]d[,()]'()d[(),()]'()d[(),()]'()dLbaPxyxQxyyPxyxxQxyxyxxPxtytxttQxtytyttβα+=+=+∫∫∫·二维闭合曲线用格林公式ddLDQPPxQydxyσ∂∂+=−∂∂∫∫∫·二维曲线满足柯西黎曼条件QPxy∂∂=∂∂，则