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考研数学一公式朱泽斌整理考研数学一公式1.特殊函数(1)π/2π/2001331π2422cosdsind1342253nnnnnnnnIxxxxnnnnn−−⋅⋅⋅−===−−⋅⋅⋅−∫∫,为偶,为奇(2)2ππ2ππ0π0ππsin()sin()dsin()sin()dcos()cos()dcos()cos()d0xxxxxxxxxxxxαβαβαβαβαβαβ−−=====≠∫∫∫∫(3)2ππ0πsin()cos()dsin()cos()d0xxxxxxαβαβ−==∫∫(4)ππ00π(sin)d(sin)d2xfxxfxx=∫∫(5)π/2π/200(sin)d(cos)dfxxfxx=∫∫(6)10()ed(1)()(1)!(1/2)πxΓxxΓΓΓΓααααααα+∞−−=+=+==∫或0!01()ed(1)π02π1/2mxmmΓmxxmmmm+∞−≥==⋅−⋅⋅⋅⋅=−∫的整数的半整数2.不等式(1)222222ababaaabab++≤≤≤+(2)1212nnnaaaaaan++⋅⋅⋅+≥⋅⋅⋅(3)111dnnxnx+∫(4)()d()dbbaafxxfxx≤∫∫(5)柯西不等式()222()()d()d()dbbbaaafxgxxfxxgxx≤⋅∫∫∫3.等价无穷小(1)~sin~tan~arcsin~arctan~ln(1)~e1xxxxxxx+−(2)21cos~/2xx−(3)21cos~/2xxαα−(4)(1)1~ln[(1)11]~ln(1)~xxxxαααα+−+−++4.麦克劳林展开(1)23e1()2!3!!nxnxxxxoxn=++++⋅⋅⋅++(2)352121(1)sin()3!5!(21)!nnnxxxxxoxn++−=−+−⋅⋅⋅+++(3)352121(1)arctan()3521nnnxxxxxoxn++−=−+−⋅⋅⋅+++(4)2422(1)cos1()2!4!(2)!nnnxxxxoxn−=−+−⋅⋅⋅++(5)2311()1nnxxxxoxx=++++⋅⋅⋅++−(6)231(1)ln(1)()23nnnxxxxxoxn−−+=−+−⋅⋅⋅++(7)23(1)(1)(2)(1)12!3!(1)(1)()!annaaaaaxaxxxaaanxoxn−−−+=+++−−++⋅⋅⋅++1/11考研数学一公式朱泽斌整理5.求导公式21(tan)'cosxx=21(cot)'sinxx=−(sec)'sectanxxx=(csc)'csccotxxx=−21(arcsin)'1xx=−21(arccos)'1xx=−−21(arctan)'1xx=+21(arccot)'1xx=−+()π(sin)sin2nnxx=+()π(cos)cos2nnxx=+()()()0()nnkknknkuvCuv−==∑()11()!()nnnanaxbaxb+−=++6.弧微分222d1'()d'()'()dSfxxxtytt=+=+7.弧长21222221'()d'()'()d()'()dbattlfxxxtyttrrβαθθθ=+=+=+∫∫∫8.曲率K23/2223/2()'()()'()1(1')['()'()]yxtytytxtKyxtytρ−===++9.↑连续可偏导可微连续可偏导10.区域D上的无条件极值.....令0000xyfxxfyy==⇒==令00(,)xxAfxy=00(,)xyBfxy=00(,)yyCfxy=20000AACBA−极小值是极值点极大值不是极值点11.条件极值....(拉格朗日乘数法)u=f(x,y,z),约束方程φ(x,y,z)和ϕ(x,y,z),设F=f+λφ+μϕ,则00000000xxxxyyyyzzzzFfFfxxFfyyFzzFλµλϕµφλϕµφλϕµφϕφ=++==++===++=⇒======★如果(,)xyD∈是闭区域,则先在开区域内用无条件极值,再在边界上用条件极值。12.()()'()Fxfxfx←→←→←→原函数导数偶奇偶奇偶奇周期周期周期13.积分公式(1)dlnxxaaxCa=+∫(2)tan1dcoscosxxCxx=+∫(易推)(3)11dsintansinxCxxx=−+∫(易推)(4)2darctan1xxCx=++∫(5)2darcsin1xxCx=+−∫(6)2222dlnxxxaCxa=+±+±∫(7)22darcsinxxCaax=+−∫(8)22d1arctanxxCaaax=++∫(9)22d1ln2xxaCaxaxa−=++−∫(可用平方差公式推出)(10)22222darcsin22axxaxxaxCa−=+−+∫(11)tandlncosxxxC=−+∫(易推)2/11考研数学一公式朱泽斌整理(12)cotdlnsinxxxC=+∫(易推)(13)secdlnsectanxxxxC=++∫(14)cscdlncsccotxxxxC=−+∫14.换元法(1)['()()]edd[e()]xxfxfxxfx+=(2)(1)edd(e)xxxxx+=(3)d2d()xxx=(4)(1ln)dd(ln)xxxx+=15.微分方程(1)一阶非线性d()()dyPxyQxx+=()d()d()edePxxPxxyQxxC−∫∫=+∫(2)缺y型(,',)0fxyy=,令y’=p,(,,')0fxpp=缺x型(,',)0fxyy=令y’=p,d(,,)0dpfyppy=(3)二阶齐次2'00ypyqypqλλ++=⇒++=1211212121212,ee,()e,e(cossin)xxxxyCCyCxCiyCxCxλλλαλλλλλαβββ≠=+==+=+=+(4)二阶非齐次型Ⅰ2120'()e0,,xnypyqyPxpqyλλλλλλ++=⇒++=⇒(是常数)2121212,*()e,*()e,*()exnxnxnyxQxyxQxyQxλλλλλλλλλλλλ====≠=≠≠=(Qn(x)是与Pn(x)同阶的多项式)把y*代回原方程解出Qn(x),则y=y0+y*★若12λλλ==,2[()]()nnxQxPx=若12λλλ=≠,[()](2)[()]'()nnnxQxpxQxPxλ++=(5)二阶非齐次型Ⅱ2120'e[()cos()sin]0,,xmnypyqyPxxPxxpqyαββλλλλ++=+⇒++=⇒1212,*e[()cos()sin],*e[()cos()sin]xmnxmniyxQxxQxxiyQxxQxxαααβλλββαβλλββ+==++≠=+或和(Qm(x)、Qn(x)是与Pm(x)、Pn(x)同阶的多项式)把y*代回原方程解出Qm(x)和Qn(x),则y=y0+y*(6)欧拉方程()1(1)110'()nnnnnxyaxyaxyayfx−−−++++=令etx=,则()2ddd1(1)ddddd1ddd'dnnxynytttxyyttxyyt=−−−=−=(7)伯努利方程d()()dnyPxyQxyx+=令1nzy−=,代入得d(1)()(1)()dznPxznQxx+−=−化为一阶非线性方程16.等比数列(级数)1111nnqaqqq∞=≥=−∑发散第一项17.幂级数的收敛半径0nnnax∞=∑,11limlimnnnnnnaaaR+→∞→∞==0anbnnax∞+=∑,1limlimnnnnnnaaaρ+→∞→∞==,1aRρ=18.泰勒展开(1)230e1!2!3!nxnxxxxn∞===++++⋅⋅⋅∑3/11考研数学一公式朱泽斌整理(2)35210(1)sin(21)!3!5!nnnxxxxxn∞+=−==−+−⋅⋅⋅+∑(3)2420(1)cos1(2)!2!4!nnnxxxxn∞=−==−+−⋅⋅⋅∑(4)230111nnxxxxx∞===++++⋅⋅⋅−∑(5)2310(1)ln(1)123nnnxxxxxn∞+=−+==−+−⋅⋅⋅+∑(6)230ln(1)23nnxxxxxn∞=−−==+++⋅⋅⋅∑19.傅里叶级数·当f(x)是周期为2π的函数01(cossin)2()(0)(0)2nnnaanxbnxfxfxfx∞=++=−++∑连续处第一类间断点处π0πππππ1()dπ1()cosdπ1()sindπnnafxxafxnxxbfxnxx−−−===∫∫∫·当f(x)是周期为2l的函数01cossin2()(0)(0)2nnnaanxbnxllfxfxfxππ∞=++=−++∑连续处第一类间断点处01()d1()cosd1()sindlllnllnlafxxlafxnxxllbfxnxxllππ−−−===∫∫∫20.2S∆×=ab21.旋转曲面2222(,)0,(,)0(,)0fxyxfxyzyfxzy=±+=±+=绕轴转:绕谁转谁不动绕轴转:22.平面(1)点法式过点M0(x0,y0,z0),法向量n={A,B,C}000()()()0AxxByyCzz−+−+−=(2)一般式0AxByCzD+++=其中n={A,B,C}为法向量(3)截距式0xyzabc++=其中a、b、c为三个截距23.空间曲面(,,)0Fxyz=法向量为{,,}xyzFFF=n24.空间直线(1)一般式1111222200AxByCzDAxByCzD+++=+++=(2)点向式000xxyyzzabc−−−==(过点(x0,y0,z0),n={a,b,c})(3)参数式000xxatyybtzzct=+=+=+(过点(x0,y0,z0),n={a,b,c})(4)两条直线12121212()MM0()MM0→×⋅=←→×⋅≠←nnnn充要充要共面异面4/11考研数学一公式朱泽斌整理25.空间曲线(1)一般式(,,)0(,,)0FxyzGxyz==n1是F的法向量n1={Fx,Fy,Fz}M0n2是G的法向量n2={Gx,Gy,Gz}M0曲线的切向量为11=×nnn(2)参数式()()()xxtyytzzt===000{'(),'(),'()}xtytyt=n26.距离(1)点面之距点0000(,,)Mxyz,面0AxByCzD+++=000222AxByCzDdABC+++=++(2)平行面之距面1:10AxByCzD+++=,面2:20AxByCzD+++=12222DDdABC−=++(3)点线之距n是直线切向量,M0在直线上,M1在直线外,M1到直线的距离01MMd×=nn(4)异面直线之距线1:n1是切向量,M1在其上线2:n2是切向量,M2在其上121212MMd×⋅=×nnnn27.d{cos,cos,cos}d{dd,dd,dd}d{cos,cos,cos}d{d,d,d}S=yzxzxyl=xyzαβγαβγ==Sl28.曲线积分(1)对弧长的曲线积分222(,)d[,()]1'()d[(),()]'()'()dbLafxySfxyxyxxfxtytxttttβα=+=+∫∫∫(2)对坐标的曲线积分(环量)·二维(,)d(,)d[,()]d[,()]'()d[(),()]'()d[(),()]'()dLbaPxyxQxyyPxyxxQxyxyxxPxtytxttQxtytyttβα+=+=+∫∫∫·二维闭合曲线用格林公式ddLDQPPxQydxyσ∂∂+=−∂∂∫∫∫·二维曲线满足柯西黎曼条件QPxy∂∂=∂∂,则
本文标题:考研数学一知识点
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