1992考研数二真题及解析

Borntowin1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设3(),(1),txftyfe其中f可导,且(0)0f,则0tdydx＿＿＿＿＿＿.(2)函数2cosyxx在[0,]2上的最大值为＿＿＿＿＿＿.(3)2011limcosxxxex＿＿＿＿＿＿.(4)21(1)dxxx＿＿＿＿＿＿.(5)由曲线xyxe与直线yex所围成的图形的面积S＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当0x时,sinxx是2x的()(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但非等价的无穷小(2)设22,0(),0xxfxxxx,则()(A)22,0()(),0xxfxxxx(B)22(),0(),0xxxfxxx(C)22,0(),0xxfxxxx(D)22,0(),0xxxfxxx(3)当1x时,函数12111xxex的极限()(A)等于2(B)等于0(C)为(D)不存在但不为(4)设()fx连续,220()()xFxftdt,则()Fx等于()(A)4()fx(B)24()xfx(C)42()xfx(D)22()xfxBorntowin(5)若()fx的导函数是sinx,则()fx有一个原函数为()(A)1sinx(B)1sinx(C)1cosx(D)1cosx三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)求123lim()6xxxx.(2)设函数()yyx由方程1yyxe所确定,求220xdydx的值.(3)求321xdxx.(4)求01sinxdx.(5)求微分方程3()20yxdxxdy的通解.四、(本题满分9分)设21,0(),0xxxfxex,求31(2)fxdx.五、(本题满分9分)求微分方程32xyyyxe的通解.六、(本题满分9分)计算曲线2ln(1)yx上相应于102x的一段弧的长度.七、(本题满分9分)求曲线yx的一条切线l,使该曲线与切线l及直线0,2xx所围成的平面图形面积最小.八、(本题满分9分)已知()0,(0)0fxf,试证：对任意的二正数1x和2x,恒有1212()()()fxxfxfx成立.Borntowin1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】3【解析】由复合函数求导法则可得33/3(1)/()ttdydydtefedxdxdtft,于是03tdydx.【相关知识点】复合函数求导法则:如果()ugx在点x可导,而()yfx在点()ugx可导,则复合函数()yfgx在点x可导,且其导数为()()dyfugxdx或dydydudxdudx.(2)【答案】36【解析】令12sin0yx,得[0,]2内驻点6x.因为只有一个驻点,所以此驻点必为极大值点,与端点值进行比较,求出最大值.又(0)2y,()366y,()22y,可见最大值为()366y.(3)【答案】0【解析】由等价无穷小,有0x时,2221111()22xxx,故22001()112limlimcoscosxxxxxxexex,上式为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,由洛必达法则,有原式0lim0sinxxxex.(4)【答案】1ln22【解析】令b,原式2222111limlim(1)(1)bbbbdxxxdxxxxx211lim()1bbxdxxx(分项法)221111limlnlim21bbbbxdxx(凑微分法)2111limlnlimln(1)2bbbbxx21limlnln221bbbBorntowin221limlnln212bbb1ln1ln221ln22.(5)【答案】12e【解析】联立曲线和直线的方程,解得两曲线的交点为(0,0),(1,)e,则所围图形面积为10()xSexxedx,再利用分部积分法求解,得11200122xxeeSxxeedx.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定()uux与()vvx均具有连续的导函数,则,uvdxuvuvdx或者.udvuvvdu二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B)【解析】20sinlimxxxx为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有2000sin1cossinlimlimlim022xxxxxxxxx,故选(B).【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()xx为无穷小且存在极限()lim()xlx,(1)若0,l称(),()xx在该极限过程中为同阶无穷小；(2)若1,l称(),()xx在该极限过程中为等价无穷小,记为()()xx；(3)若0,l称在该极限过程中()x是()x的高阶无穷小,记为()()xox.若()lim()xx不存在(不为),称(),()xx不可比较.(2)【答案】(D)【解析】直接按复合函数的定义计算.22(),0()()(),0xxfxxxx22,0,,0.xxxxx所以应选(D).Borntowin(3)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点0x的极限是否存在,需要判定左极限0xx和右极限0xx是否存在且相等,若相等,则函数在点0x的极限是存在的.11211111limlim(1)01xxxxxexex,11211111limlim(1)1xxxxxexex.0,故当1x时函数没有极限,也不是.故应选(D).(4)【答案】(C)【解析】2222240()[()][()]()2()xFxftdtfxxxfx,故选(C).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttFtfxdx,()t,()t均一阶可导,则()()()()()Fttfttft.(5)【答案】(B)【解析】由()fx的导函数是sinx,即()sinfxx,得()()sincosfxfxdxxdxxC,其中C为任意常数.所以()fx的原函数12()()(cos)sinFxfxdxxCdxxCxC,其中12,CC为任意常数.令10C,21C得()1sinFxx.故选(B).三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)【答案】32e【解析】此题考查重要极限：1lim(1).xxex将函数式变形,有6311362233lim()lim(1)66xxxxxxxxx3131lim6262limxxxxxxee32e.Borntowin(2)【答案】22e【解析】函数()yyx是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式.方法1：在方程两边对x求导,将y看做x的函数,得0yyyexey,即1yyeyxe,把0,1xy代入可得(0)ye.两边再次求导,得2(1)()(1)yyyyyyeyxeeexeyyxe,把0,1xy,(0)ye代入得(0)y22202xdyedx.方法2：方程两边对x求导,得0yyyexey；再次求导可得2()0yyyyyeyeyxeyxey,把0,1xy代入上面两式,解得(0)ye,(0)y22202xdyedx.【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果()ugx在点x可导,而()yfx在点()ugx可导,则复合函数()yfgx在点x可导,且其导数为()()dyfugxdx或dydydudxdudx,2.两函数乘积的求导公式：()()()()()()fxgxfxgxfxgx.3.分式求导公式：2uuvuvvv.(3)【答案】3222(1)1xxC其中C为任意常数.【解析】方法1：积分的凑分法结合分项法,有3222222211(1)1(1)(1)22111xxxdxdxdxxxxBorntowin22211(1)(1)21xdxx22221111(1)(1)221xdxdxx32221(1)13xxC其中C为任意常数.方法2：令tanxt,则2secdxtdt,33222tansectan(sec)(sec1)(sec)1xdxttdttdttdtx3322211secsec(1)133ttCxxC,其中C为任意常数.方法3：令2tx,则1,2xtdxt,321211xtdxdttx此后方法同方法1,积分的凑分法结合分项法3222111(1)(1)1231tdtxxCt,其中C为任意常数.(4)【答案】4(21)【解析】注意2()()(),fxfxfx不要轻易丢掉绝对值符号；绝对值函数的积分实际上是分段函数的积分.由二倍角公式sin2sincos22,则有2221sinsincos2sincossincos222222.所以20001sinsincossincos2222xxxxxdxdxdx202cossinsincos2222xxxxdxdxBorntowin2022sincos2cossin2222xxxx4(21).(5)【答案】315yCxx,其中C为任意常数【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为21122yyxx.由一阶线性微分方程的通解公式,得1122212dxdxxxyexedxC315Cxx其中C为任意常数.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()yPxyQx的通解为()()()PxdxPxdxyeQxedxC,其中C为任意常数.四、(本题满分9分)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令2xt,则.dxdt当1x时,1t；当3x时,1t,于是310121110(2)()1tfxdxftdttdtedt分段01301171.33tttee五、(本题满分9分)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程2320rr有两个根为121,2rr,而非齐次项1,1xxer为单特征根,因而非齐次方程