2001年考研数学二试题及答案

超级狩猎者2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）213lim21xxxxx＝______．【答案】26【考点】洛必达法则【难易度】★★【详解】解析：方法一：211312(1)1limlim2(1)(2)31xxxxxxxxxxx111lim22xx2.6方法二：使用洛必达法则计算2131lim2xxxxx12121321lim1xxxx623221221.（2）设函数)(xfy由方程1)cos(2exyeyx所确定，则曲线)(xfy在点)1,0(处的法线方程为______．【答案】022yx【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线【难易度】★★【详解】解析：在等式2cos()1xyexye两边对x求导,得2(2')sin()(')0,xyeyxyyxy将1,0yx代入上式,得'(0)2.y故所求法线方程为11,2yx即x−2y+2=0.（3）xxxxdcos)sin(22π2π23＝_______．超级狩猎者【答案】8【考点】定积分的换元法【难易度】★★【详解】解析：由题干可知，积分区间是对称区间，利用被积函数的奇偶性可以简化计算.在区间[,]22上,32cosxx是奇函数,22sincosxx是偶函数,故322322222222221sincoscossincossin24xxxdxxxxxdxxdx221(1cos4)8xdx.8（4）过点)0,21(且满足关系式11inarcs2xyxy的曲线方程为______．【答案】1arcsin2yxx【考点】一阶线性微分方程【难易度】★★【详解】解析：方法一:原方程2'arcsin11yyxx可改写为'arcsin1,yx两边直接积分,得arcsinyxxC又由1()0,2y解得1.2C故所求曲线方程为：1arcsin.2yxx方法二:将原方程写成一阶线性方程的标准形式211'.arcsin1arcsinyyxxx解得超级狩猎者22111arcsin1arcsinlnarcsinlnarcsin1arcsin1arcsin1(),arcsindxdxxxxxxxyeCedxxeCedxxCxx又由1()0,2y解得1.2C故曲线方程为：1arcsin.2yxx（5）设方程211111111321xxxaaa有无穷多个解，则a＝______．【答案】2【考点】非齐次线性方程组解的判定【难易度】★★【详解】解析：方法一:利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有2111112111011311201112aaAaaaaaaa1120113,001222aaaaaa可见,只有当a=−2时才有秩()()23,rArA对应方程组有无穷多个解.方法二:当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a一定使系数行列式为零,即有21111(2)(1)0,11aaaaa解得2a或1a.由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当1a时,原方程无解,因此只能是2a.二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一超级狩猎者项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设,1||,0,1||,1)(xxxf则)]}([{xfff等于（）（A）0．（B）1．（C）.1||,0,1||,1xx（D）.1||,1,1||,0xx【答案】B【考点】复合函数【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点：复合函数中，内层函数的值域是包含于外层函数的定义域。解析：由题易知1)(xf，所以1)]([xff，1)1()]}([{fxfff，选B.（2）设当0x时，)1ln()cos1(2xx是比nxxsin高阶的无穷小，而nxxsin是比)1(2xe高阶的无穷小，则正整数n等于（）（A）1．（B）2．（C）3．（D）4．【答案】B【考点】无穷小量的比较【难易度】★★【详解】解析：由题易知:341021lim21lim0sin)1ln()cos1(lim14022020nnxxxxxxxxxxnxnxnx（3）曲线22)3()1(xxy的拐点个数为（）（A）0．（B）1．（C）2．（D）3．【答案】C【考点】函数图形的拐点1210limlim01sinlim2102002nnxxxxxexxnxnxxnx超级狩猎者【难易度】★★【详解】解析：)2(24)1(4)1(8)3(8)3(4)1(2)3)(1(8)3(2)1(2)1)(3(4)3)(1(4)3(2)1)(3(2)3)(1(2222222xxxxxyxxxxxxxxxxyxxxxy由0y得，1x或3x，带入0y，故)(xf有两个拐点.（4）已知函数)(xf在区间)1,1(内具有二阶导数，)(xf严格单调减少，且1)1()1(ff，则（）（A）在)1,1(和)1,1(内均有xxf)(．（B）在)1,1(和)1,1(内均有xxf)(．（C）在)1,1(内，xxf)(，在)1,1(内，xxf)(．（D）在)1,1(内，()fxx，在)1,1(内，()fxx．【答案】A【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】解析：令xxfxF)()(，则1)()(xfxF，因为在区间)1,1(上，)(xf严格单调减少，所以当)1,1(x时，01)1()(fxF，)(xF单调递增，01)1()1()(fFxF；当)1,1(x时，01)1()(fxF，)(xF单调递减，01)1()1()(fFxF；故在)1,1(和)1,1(内均有0)(xF，即xxf)(.（5）设函数()fx在定义域内可导，它的图形如下图所示，则其导函数)(xfy的图形为（）超级狩猎者【答案】D【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】解析：由图可知)(xf有两个极值点，横坐标分别记作)(,2121xxxx，故)(xf在且仅在这两处的值为0，故选D。其中，当0x时，)(xf先增后减再增，故)(xf先正再负再正，进一步排除B.三、（本题满分6分）求1)12(d22xxx【考点】不定积分的第二类换元法【难易度】★★★【详解】解析：设tan,xu则2sec,dxudu原式222cos(2tan1)cos2sincosduuduuuuu2sinsin1duuarctan(sin)uC2arctan()1xCx超级狩猎者四、（本题满分7分）求极限xtxxtxtsinsin)sinsin(lim，记此极限为)(xf，求函数)(xf的间断点并指出其类型．【考点】两个重要极限、函数间断点的类型【难易度】★★★【详解】解析：)(xfxxxtxxxtxtxxtxtxxtextxtsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin)1sinsin1(lim)sinsin(lim由此表达式知x＝0及x＝k（k＝±1，±2，…）都是f（x）的间断点．由于eelim)(limsin00xxxxxf，所以x＝0是f（x）的可去（或第一类）间断点；而x＝k（k＝±1，±2，…）均为第二类（或无穷）间断点．五、（本题满分7分）设)(x是抛物线xy上任一点)1)(,(xyxM处的曲率半径，)(xss是该抛物线上介于点)1,1(A与M之间的弧长，计算222)dd(dd3ss的值．（在直角坐标系下曲率公式为))1(||232yyK【考点】曲率半径、定积分的几何应用—平面曲线的弧长、由参数方程所确定的函数的导数【难易度】★★★【详解】解析：311',,24yyxx抛物线在点(,)Mxy处的曲率半径332221(1')1()(41).2yxxKy抛物线上AM的弧长2111()1'1.4xxssxydxdxx故3213(41)4226.114dxddxxdsdsdxx超级狩猎者221616().211414ddddsdsdxdsxxdxx因此23222163()314369.214ddxxdsdsx六、（本题满分7分）设函数)(xf在),0[上可导，0)0(f，且其反函数为)(xg．若,ed)(2)(0xxfxttg求)(xf．【考点】积分上限的函数及其导数、一阶线性微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：)())((d)()(0xfxfgttgxf解析：等式两边对x求导得：xxexxexfxfg22)())((，又因为)(xg是)(xf的反函数，故xxfg))((，所以有xxxeexf2)(Cxeedxxeeedxxeexfxxxxxxx])([)2()(又因为)(xf在0x处连续，由0)0(1)(lim0fCxfx得1C故1)(xxxeexf.七、（本题满分7分）设函数)(xf，)(xg满足)(e2)(),()(xfxgxgxfx，且0)0(f，2)0(g，求.d))1()(1)((π02xxxfxxg【考点】自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程、定积分的分部积分法【难易度】★★★★【详解】解析：因为)(e2)(),()(xfxgxgxfx，所以)(e2)(xfxfx超级狩猎者其对应的齐次微分方程为0)()(xfxf特征方程为012r，ir所以齐次微分方程的通解为xCxCxfsincos)(21设非齐次微分方程的特解为xCexf)(*，则,)(,)(**xxCexfCexf代入微分方程得1C，所以非齐次微分方程的通解为xexCxCxfsincos)(21，又0)0()0(,0)0(fgf,xexCxCxfcossin)(21,得1,121CC,故xexxxfsincos)(求积分：xxfxxfxfxxxxfxxg1)(d)11(d)()(d11d)1()(1)(00π0π02π1e101)0(π1)π(1)(π0πffxxf.八、（本题满分9分）设L是一条平面曲线，其上任意一点)0)(,(xyxP到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点).0,21(（1）试求曲线L的方程；（2）求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．【考点】齐次微分方程、平面曲线的切线、函数的最大值与最小值【难易度】★★★【详解】解析：（1）设曲线L过点),(yxP的切线方程为)(xXyyY，令0X,得切线在y轴上的截距yxyY．由题设知yxyyx22，超级狩猎者令yux,则此方程可化为.12uxu分离变量得,d1d2xxuu积分得Cxu