2003-数二真题、标准答案及解析

梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第-1-页共20页2003年考研数学（二）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）若0x时，1)1(412ax与xxsin是等价无穷小，则a=.（2）设函数y=f(x)由方程4ln2yxxy所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是.（3）xy2的麦克劳林公式中nx项的系数是__________.（4）设曲线的极坐标方程为)0(aea，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5）设为3维列向量，T是的转置.若111111111T，则T=.（6）设三阶方阵A,B满足EBABA2，其中E为三阶单位矩阵，若102020101A，则B________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{nnncba均为非负数列，且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有(A)nnba对任意n成立.(B)nncb对任意n成立.(C)极限nnncalim不存在.(D)极限nnncblim不存在.[]（2）设dxxxannnnn123101,则极限nnnalim等于(A)1)1(23e.(B)1)1(231e.(C)1)1(231e.(D)1)1(23e.[]（3）已知xxyln是微分方程)(yxxyy的解，则)(yx的表达式为（A）.22xy(B).22xy梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第-2-页共20页(C).22yx(D).22yx[]（4）设函数f(x)在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[]yOx（5）设401tandxxxI,dxxxI402tan,则(A).121II(B).121II(C).112II(D).112II[]（6）设向量组I：r,,,21可由向量组II：s,,,21线性表示，则(A)当sr时，向量组II必线性相关.(B)当sr时，向量组II必线性相关.(C)当sr时，向量组I必线性相关.(D)当sr时，向量组I必线性相关.[]三、（本题满分10分）设函数,0,0,0,4sin1,6,arcsin)1ln()(23xxxxxaxxexxaxxfax问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln2112tduueytxtu所确定，求.922xdxyd五、（本题满分9分）梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第-3-页共20页计算不定积分.)1(232arctandxxxex六、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(内具有二阶导数，且)(,0yxxy是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin(322dydxxydyxd变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(yy的解.七、（本题满分12分）讨论曲线kxyln4与xxy4ln4的交点个数.八、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.(1)求曲线y=f(x)的方程；(2)已知曲线y=sinx在],0[上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s.九、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((yyx绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以min/33m的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min/2m的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1)根据t时刻液面的面积，写出t与)(y之间的关系式；(2)求曲线)(yx的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)十、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(xf若极限axaxfax)2(lim存在，证明：(1)在(a,b)内f(x)0;(2)在(a,b)内存在点，使)(2)(22fdxxfabba；(3)在(a,b)内存在与(2)中相异的点，使badxxfaabf.)(2))((22梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第-4-页共20页十一、（本题满分10分）若矩阵60028022aA相似于对角阵，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使.1APP十二、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l032cbyax，:2l032acybx，:3l032baycx.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0cba梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第-5-页共20页2003年考研数学（二）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）若0x时，1)1(412ax与xxsin是等价无穷小，则a=-4.【分析】根据等价无穷小量的定义，相当于已知1sin)1(lim4120xxaxx，反过来求a.注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】当0x时，241241~1)1(axax，2~sinxxx.于是，根据题设有14141limsin)1(lim2204120axaxxxaxxx，故a=-4.（2）设函数y=f(x)由方程4ln2yxxy所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是x-y=0.【分析】先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】等式4ln2yxxy两边直接对x求导，得yyxyxy342，将x=1,y=1代入上式，有.1)1(y故过点(1,1)处的切线方程为)1(11xy，即.0yx【评注】本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点.（3）xy2的麦克劳林公式中nx项的系数是!)2(lnnn.【分析】本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值)0()(nf，则麦克劳林公式中nx项的系数是.!)0()(nfn【详解】因为2ln2xy，2)2(ln2xy，nxxy)2(ln2,)(，于是有nny)2(ln)0()(，故麦克劳林公式中nx项的系数是.!)2(ln!)0()(nnynn【评注】本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案.（4）设曲线的极坐标方程为)0(aea，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第-6-页共20页围成的图形的面积为)1(414aea.【分析】利用极坐标下的面积计算公式dS)(212即可.【详解】所求面积为dedSa20220221)(21=20241aea)1(414aea.【评注】本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂.（5）设为3维列向量，T是的转置.若111111111T，则T=3.【分析】本题的关键是矩阵T的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】由111111111T=111111，知111，于是.3111111T【评注】一般地，若n阶矩阵A的秩为1，则必有.2121nnbbbaaaA（6）设三阶方阵A,B满足EBABA2，其中E为三阶单位矩阵，若102020101A，则B21.【分析】先化简分解出矩阵B，再取行列式即可.【详解】由EBABA2知，EABEA)(2，即EABEAEA))((，梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第-7-页共20页易知矩阵A+E可逆，于是有.)(EBEA再两边取行列式，得1BEA，因为2002010100EA,所以B21.【评注】本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{nnncba均为非负数列，且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有(A)nnba对任意n成立.(B)nncb对任意n成立.(C)极限nnncalim不存在.(D)极限nnncblim不存在.[D]【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限nnncalim是0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限nnncblim属1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取nan2，1nb，),2,1(21nncn，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（2）设dxxxannnnn123101,则极限nnnalim等于(A)1)1(23e.(B)1)1(231e.(C)1)1(231e.(D)1)1(23e.[B]【分析】先用换元法计算积分，再求极限.【详解】因为dxxxannnnn123101=)1(12310nnnnxdxn=}1])1(1{[1)1(1231023nnnnnnnxn，可见nnnalim=.1)1(}1])1(1{[lim23123ennnn梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第-8-页共20页【评注】本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法.（3）已知xxyln是微分方程)(yxxyy的解，则)(yx的表达式为（A）.22xy(B).22xy(C).22yx(D).22yx[A]【分析】将xxyln代入微分方程，再令的中间变量为u，求出)(u的表达式，进而可计算出)(yx.【详解】将xxyln代入微分方程)(yxxyy，得)(lnln1ln1ln2xxxx，即xx2ln1)(ln.令lnx=u，有21)(uu，故)(yx=.22xy应选(A).【评注】本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.（4）设函数f(x)在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(D)一个极小值点和两个极大值点.(E)两个极小值点和一个极大值点.(F)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx【分析】答案与极值点个数有关，而可能