正弦定理课件.ppt

第二章:解三角形1.问题的引入:.(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢？(2)设A,B两点在河的两岸,只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?AB我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具.回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcbasinacA两等式间有联系吗？sinsinabcABsin1CsinsinsinabccABC思考:对一般的三角形,这个结论还能成立吗?2.定理的推导1.1正弦定理sinbcB(1)当是锐角三角形时,结论是否还成立呢?ABCD如图:作AB上的高是CD,根椐三角形的定义,得到.sinsinbcAEBCBC同理,作有sinsinsinabcABC1.1正弦定理sin,sinCDaBCDbAsinsinaBbA所以sinsinabAB得到BACabcE(2)当是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?ABCBACbca1.1.1正弦定理D（1）文字叙述正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.（2）结构特点（3）方程的观点正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?和谐美、对称美.正弦定理:CcBbAasinsinsinO(A)yxCBC′因为向量与在y轴上的射影均为，BCACOC如图所示，以A为原点，以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系，C点在y轴上的射影为C′，sinsin,OCBCBaBAcos(90)sin,OCCAbA即sin=sin.aBbA所以即.sinsinabAB所以.sinsinsinabcABC若A为锐角或直角，也可以得到同样的结论..sinsinacAC同理，.sinsinsinabcABC变式:1;;.sinsinsinsinsinsinabbccaABBCCA2sin:sin:sin::.ABCabc正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即剖析定理、加深理解sinsinsinabcABC1、A+B+C=π2、大角对大边，大边对大角正弦定理：剖析定理、加深理解3、正弦定理可以解决三角形中的问题：①已知两角和一边，求其他角和边②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角sinsinsinabcABC正弦定理：剖析定理、加深理解4、一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形sinsinsinabcABC正弦定理：剖析定理、加深理解5、正弦定理的变形形式6、正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化sinsinsinabcABC正弦定理：例1在已知,解三角形.ABC0030,135,2ABa通过例题你发现了什么一般性结论吗?小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。1.1正弦定理3.定理的应用举例变式：若将a=2改为c=2，结果如何？例2已知a=16，b=，A=30°.解三角形。已知两边和其中一边的对角,求其他边和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°当时Ｂ＝60°C=90°.32cC=30°.16sinsinACac316当Ｂ＝120°时B16300ABC1631683(1)604510,;(2)3,4,30,sin;(3)3,1,60,.ABCABababABbcBaAC跟踪练习：中，已知，，求已知求已知求和、4.基础练习题1.1正弦定理00(1)45,2,2,103(2)60,4,,3ABCAabBABCAabB在中，已知求在中，已知求B=300无解BCDEA分析：如图所示，将BD,CE分别延长相交于一点A，在△ABC中，已知BC的长及角B与C，可以通过正弦定理求AB，AC的长.例3.某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如图所示)，其一角已破损.现测得如下数据：BC=2.57cm，CE=3.57cm，BD=4.38cm,.为了复原,请计算原玉佩两边的长（结果精确到0.01cm）.45,120BC解：将BD,CE分别延长相交于一点A，在△ABC中，BC=2.57cm,B=45°,C=120°,A=180°-(B+C)=180°-(45°+120°)=15°.因为,所以利用计算器算得AC≈7.02(cm),同理,AB≈8.60(cm).sin2.57sin45.sinsin15BCBACA答：原玉佩两边的长分别约为7.02cm,8.60cm.sinsinBCACAB例4.台风中心位于某市正东方向300km处，正以40km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250km范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间（结果精确到0.1h）?分析：如图所示，台风沿着BD运动时，由于|AB|=300km250km，所以开始台风影响不了城市A，由点A到台风移动路径BD最小距离|AE|=|AB|·sin45°所以台风在运动过程中肯定要影响城市A.这就要在BD上求影响A的始点C1和终点C2，然后根据台风的速度计算台风从C1到C2持续的时间.23001501.41211.5(km)250km.2A北DC2EC1B解：设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动，该市位于点B正西方向300km处的点A.假设经过th，台风中心到达点C，则在△ABC中,AB=300km，AC=250km,BC=40tkm,B=45°.由正弦定理sinsinsinACABBCBCA知sin300sin4532sin0.84852505ABBCAC.利用计算器算得角C有两个解12121.95,58.05CC.1180()180(45121.95)13.05.ABC当1121.95C时所以11sin250sin13.0579.83(km)sinsin45ACABCB,1179.832.0(h)4040BCt.同理，当258.05C时，2BC344.4km,2t8.6h.21tt8.62.06.6(h).答：约2h后将要遭受台风影响，持续约6.6h.•正弦定理•主要应用sinsinsinabcABC(1)已知两角及任意一边，可以求出其他两边和另一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、无解）1.1正弦定理小结:作业5212-12b30,120,AABCAB、P习题组第7题；、在中，已知=14,解三角形。正弦定理（第二课时）1、复习回顾正弦定理的内容sinsinsinabcABC2(1)6010,.(2)10,56,60.(3)23,6,30.(4)4,560.ABCABabbcCAabABabAB、练习：在中，=45，，求，求，求，求问题1由例2我们发现，已知两边和其中一边的对角，解三角形时会出现两解的情况.还会出现其他情况吗？你能从代数或几何角度给出解释吗？提示：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：探究点2正弦定理解三角形1.Ａ为锐角absinA无解a=bsinA一解bsinAab两解一解a≥bＡＢＣabB1ＡB2ＣabＡＣabＡＢＣab2.Ａ为钝角ab一解a≤b无解ＡＢＣbaＡＣbaＡ为直角时，与Ａ为钝角相同，ab时，一解；a≤b时，无解.问题2如图①所示，在Rt△ABC中，斜边AB是△ABC外接圆的直径（设Rt△ABC外接圆的半径为R），因此2.sinsinsinabcRABC这个结论对于任意三角形(图②，图③)是否成立？提示：成立，证明如下.①②③BB2,sinBsinBbbR22,sinCsincaRRA：，同理ACBB′acbO如图:2.sinsinsinabcRRABC为即：外接圆半径得当△ABC为锐角三角形时，,:BB2,sinBsin:2,2,sinsin:2().sinsinsinABCbbRBacRRAabcRRABCC当为钝角三角形时为外接圆如图即得半径同理abc当△ABC为直角三角形时，容易得证.在RtABC△中，90C,则ABC△的面积12Sab.对于任意ABC△，已知,ab及C，则ABC△的面积1sin2SabC.你能证明这一结论吗？问题3BACDabcha证明:因为,12ABCaSah而sinsin,ahADcBbC所以1sin.2ABCSabC111sinsinsin.222ABCSabCbcAacB小结：例3.如图，在ABC△中，(,),(,)ABxyACuv.求证：ABC△的面积1||2Sxvyu.证明：1||||sin2SABACA2221||||sin2ABACA2221||||(1cos)2ABACA2221||||(||||cos)2ABACABACA221(||||)()2ABACABAC.因为(,),(,)ABxyACuv，所以222221()()()2Sxyuvxuyv21()2xvyu1||2xvyu.2、在中，若，则是()A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等边三角形1、在中，一定成立的等式是（）A.asinAbsinBB.acosAbcosBC.asinBbsinAD.acosBbcosACcoscoscos222abcABCDABC△ABC△ABC△3.（2013·北京高考）在△ABC中，a=3,b=5,sinA=1,3则sinB=()155953A.B.C.D.1B4.（2013·新课标全国卷Ⅱ）ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知2b，6B，4C，则ABC的面积为（）A.232B.31C.232D.31B6.在中，c=4,a=2,C=,则=______.45sinA5.若A,B,C是△ABC的三个内角，则sinA+sinB__________sinC.24ABC△通过本节课的学习:1.掌握正弦定理的表示形式及证明正弦定理的向量方法.2.学会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题.（1）已知两角及一边；（2）已知两边和其中一边的对角.°······在例2中，将已知条件改为以下几种情况，不计算判断有几组解？60°ABCb（3）b＝20，A＝60°，a＝15.（1）b＝20，A＝60°，a＝;320（2）b＝20，A＝60°，a＝;310（3）b＝20，A＝60°，a＝15.60°20AC（1）b＝20，A＝60°，a＝;32060°20√3A20BC（2）b＝20，A＝60°，a＝;310BC60°A20一解一解无解900A90AabsinAa=bsinAbsinAabababab无解一解两解一解无解一解AC条件图形解的个数总结ACBBCAACDB2B1CADABCD