四川大学线性代数教材第五章第一节

第一节矩阵的特征值与特征向量定义1特征值，特征向量。，使得列向量维和数阶复矩阵，如果存在复为设XnnAXAX的一个是则称A的特征值或对应于的属于是)(AX非零的注意：例是方阵。都的，因此本章中的矩阵特征值是针对方阵而言:nE，特征值是1XEn,1XX的特征向量。的属于维非零向量都是任何一个1nEn:0阶零矩阵n，特征值是000XX0的特征向量。其属于维非零向量都是任何一个0n例:2231A0aaaX，对于向量aaAX2231aa44,44Xaa的特征值，是A4的特征向量。的属于都是，向量对任意40AaaXa命题：的特征向量。的属于都是A维非零向量的形如的特征值，且任意一个就是，那么于的每一行元素之和都等阶方阵若naaaAAn。，，的特征向量的属于也是则且的特征向量的属于同一特征值是若AXXXXAXX2121210,性质1)(21XXA证明：21XX结论成立。21AXAX)(21XX性质2。，，的特征向量的属于特征值也是则非零常数为任意的特征向量的属于特征值是若AkXkAX。的特征向量特征值的属于仍是组合量，则其任意非零线性的特征向的属于同一特征值是AXkAXXXmiiim)0(,,,121性质3性质4的特征值，是设A的特征值；是为正整数，则若mmAm)1(的特征值；是，且可逆，则若110)2(AA。表示时，其中的特征值是为任意整数，则可逆，若))(0()3(1mmmmAAmAmA，，XAXX使得由已知，存在0)1(证明：XAm则)(1AXAm)(1XAmXAm1,Xm的特征值；是是正整数时，因此，当mmAm两边得左乘可逆，用若XAXAA1)2()()(1XAX，0XX是特征向量，有由，0可知，可得于是再由)(，XXA11结论成立。为正整数时结论成立；，当由m)1()3(，时，当EAmm0，则1m结论成立。，有1为负整数时，当m为正整数，m可知，，于是由)2()1(的特征值。就是mmA)()(11特征值。的是矩阵的特征值，则是矩阵多项式，次是设)()()(0111AAmkxkxkxkxmmmm性质5，，XAXX使得由已知，存在0证明：，，由性质XXAii4，有),,1(miXkXAkiiii，再由XkEXk00有XEkAkAkAkXAmmmm)()(0111EXkAXkXAkXAkmmmm0111XkXkXkXkmmmm0111Xkkkkmmmm)(0111,)(X结论成立。练习的一个特征值。是矩阵的特征值，则是___________732)1(0300AEAA7323。只能为的特征值，则满足若矩阵________082)2(2AEAAA的特征向量，则有为特征值令0XXEAA)82(02。或即24解：XXX822X)82(2,08202，所以因XEXAXXA82224或性质6的非零解。方程组是齐次线性的特征向量的属于是矩阵0)(0000XAEXAX00000XAXX，000000XAXX，00)(000XXAE，结论成立。证明：性质7立即可得以下结论：要条件，性方程组有非零解的充由此性质，以及齐次线。的特征值是000AEA定义2称矩阵为一个数阶矩阵为设，，naAnij)(AEf)(nnnnnnaaaaaaaaaAE212222111211的为A特征矩阵，的的行列式为称AAE特征多项式，记为.111nnnnbbb的特征多项式的根，的特征值必定是可知，由性质AA7的特征值。定是的特征多项式的根又必反过来，AA练习。的特征值为，多项式的特征阶上三角矩阵，则是设____________________________________)(00022211211AfAnaaaaaaAnnnn解：AEf)(nnnnaaaaaa00022211211)())((2211nnaaa)())((2211nnaaannaaa,,,2211定理，次多项式，由代数基本是又因为特征多项式nf)(，重根按重数计算个复数根次多项式方程有且仅有)(nn个复数特征值。阶矩阵恰有所以nn，计算特征多项式AEf)()1(的所有特征值求出A，)()2(njj对于每个不同的特征值；n,,,21。的任意常数是不全为其中的所有特征向量为)0,,,(212211tttjkkkXkXkXk求出齐次线性方程组，tjXXXXAE,,,0)(21的一个基础解系的属于则A由此可给出求n阶矩阵A的特征值和特征向量的一般步骤：向量。的特征值和对应的特征求201335212AAEf)(。三重的特征值为，即得令)(10)(1Af例解：2013352123)1(，，0)(11XAE解方程组时当,000110101101325213AE个向量，基础解系含，则方程组的秩为12，，111113Xx得基础解系令。向量为的全部特征的属于则)0(11kkXA338428001例解：向量。的特征值和对应的特征求338428001AAEf)(。二重的特征值为，即得令)(1,60)(21Af)6()1(2，，0)6(61XAE解方程组时当,0001100013384480076AE个向量，基础解系含，则方程组的秩为12，，111013Xx得基础解系令。向量为的全部特征的属于则)0(61kkXA，，0)(12XAE解方程组时当000000438438438000AE，32,xx取自由变量得基础解系和分别令，2,00,83232xxxx。不全为的全部特征向量为因此属于)0,(1323322kkXkXk个向量，含，则方程组的基础解系秩为21，201,08332XX满足：的特征向量，若有为某个矩阵设210,AX020010,XAXXAX,0201XX则有。于是21从特征值和特征向量的性质可以看出，矩阵A的一个特征值可对应若干个线性无关的特征向量；但反之，一个特征向量只能属于一个特征值。,0)(021X即是特征向量，又因0X,00X,021所以的特征向量。不是的特征向量，证明对应于分别是的两个不同的特征值，是矩阵设AXXXXA21212121:,,,，222111,XAXXAX20102211XXXX)1(0)()(220110XX即式两端，得左乘用)1(A)2(0)()(22201110XX例证明：，则用反证法，若)()(21021XXXXA式两端，得乘用)1(1)3(0)()(21201110XX，得)3()2(0))((21220X，是特征向量，由022XX，，又可得同理，由102)1()2(的特征向量。不再是故AXX21,0))((1220有,21而;20得，于是得到21矛盾，与假设21的特征值相同。与矩阵TAAAEA特征多项式矩阵的还可得出：由性质7性质8证明：TAE)(TAE结论成立。重要定理：关于特征值，还有如下定理1个特征值为在复数域内的阶矩阵设naAnnij)(,)2(;)1(22112121nnnnaaaA。，记为的主对角线元素之和称为niiiatrAtraceAA1)(，则有n,,,21迹推论。个特征值都不为的可逆阶矩阵0nAAn：下面就来证明定理1nnnnnnaaaaaaaaaAEf212222111211)(证明：nnnnbbb111，得多项式的常数项令0)0(fbnAAn)1(只在下面的乘积中次项由于多项式的11nn)())((2211nnaaa的系数因此可知1n)(22111nnaaabAaaafnnnnn)1()()(12211于是，个根在复数域内有可知特征多项式nnf,,,)(21，个特征值在复数域内有另一方面，矩阵nnA,,,21可表示为因此)(f)())(()(21nfnnnnn21121)1()(，可知，常数项nnnb21)1(，的系数次项)(12111nnbn即得与前面的结果作比较，。nnnnaaaA22112121)2(;)1(例解：。和求的特征值为阶矩阵设AEAAA2,2,1,132，记EAAAg2)(2，则12)(2xxxg,2,1,1的特征值为因A，的特征值为可知)2(),1(),1()(gggAg71222)2(21121)1(,21)1(2)1()1(222ggg则72)2(22EAA于是,28,221)1(A而1nAA又,2A.4)2(2A故。，求的特征值为阶矩阵设EAAA33,2,132，，则记3)(3)(22xxxgEAAAg。2251553)(AgEAA32于是练习解：，和，即的特征值为，可知的特征值为因155,3)3(),2(),1()(3,2,1gggAgA