弹性力学—差分法

第五章用差分法和变分法解平面问题胡衡武汉大学土木建筑工程学院弹性力学及有限元二零零八年四月差分法简介12340567891011121314hhyxBA差分法是微分方程的一种近似数值解法。它不是去寻求函数式的解答，而是寻求函数在一些网格结点上的数值。差分法就是把微分用有限差分代替，把导数用有限差商代替，从而把基本方程和边界条件（一般均为微分方程）近似地改用差分方程（代数方程）来表示，从而把求解微分方程的问题转化成求解代数方程的问题。差分公式的推导（1）12340567891011121314hhyxBA设函数f为弹性体内的某一个连续函数（可以是应力函数，应力分量函数，位移函数…），将函数f在0点处沿3-0-1这条平行于x轴的直线展开：差分公式的推导（2）12340567891011121314hhyxBA网格间距h很小：联立求解：差分公式的推导（3）12340567891011121314hhyxBA差分公式的推导（4）12340567891011121314hhyxBA应力函数的差分解（1）12340567891011121314hhyxBA对于边界内距边界距离大于h的结点可建立如下方程：应力函数的差分解（2）12340567891011121314hhyxBA对于距边界内一行的结点建立的方程须用到边界上的结点以及边界外一行上的结点的应力函数值。因此首先我们要用边界条件确定边界上的点的应力函数值。应力函数的差分解（3）s-dxdyo(xB,yB)xydsnAB应力函数的差分解（4）s-dxdyo(xB,yB)xydsnAB从基点A到边界上任意点B对s积分应力函数的差分解（5）s-dxdyo(xB,yB)xydsnAB由于：对应力函数在s上利用分部积分做积分：联合下式：得到：应力函数的差分解（6）s-dxdyo(xB,yB)xydsnAB代入得到：（1）（2）（3）应力函数的差分解（7）s-dxdyo(xB,yB)xydsnAB由于在应力函数中加上一个线性函数不影响应力的解，因此我们可以假想通过在应力函数中加上一个特殊的线性函数使得应力函数在A点的值以及对x和y的一阶偏导都为零。从而使1-3式有如下简化形式：应力函数的差分解（8）s-dxdyo(xB,yB)xydsnAB第一式：表示A与B之间的x方向的面力之和。第二式：表示A与B之间的y方向的面力之和的负数。第三式：表示A与B之间的面力对B点的力矩之和，在如右图的坐标系中，顺时针为正。应力函数的差分解（9）s-dxdyo(xB,yB)xydsnAB对于多连体问题，在一条边界上可以采用以上三个公式，对另一条边界则需要通过位移单值条件求得边界上一个基点的应力函数及其对应的偏导值，然后再利用未简化的1-3式求解。应力函数的差分解（10）12340567891011121314hhyxBA对于边界外一行，利用下面的差分公式：可得到：应力函数的差分解（11）12340567891011121314hhyxBA1）在边界上任意选定一个结点作为基点使。2）然后由式计算面力的矩及面力之和计算边界上各结点的值及必需的一些，值。3）将边界外一行各虚结点的值用边界内相应的结点处的值表示。4）对边界内各结点建立差分方程，求解方程并计算应力分量。差分法解平面问题的步骤：应力函数的差分解（12）019B将应力函数在B点周围泰勒展开：将0，1以及9点的坐标代入上式：差分法实例（1）123413567891011122419hhyxA25262322202119181716qJKLMIHGFEBCD1415问题：正方形的深梁，上边受有均布向下的铅直载荷q，由下角点处的反力维持平衡，试求应力分量。解答：取坐标轴如图所示，并取网格间距为六分之一边长。利用对称性，只取左边一半做研究。1）取A点为基点，计算P90页表中各值。2）计算边界外一行各结点处的值。差分法实例（2）123413567891011122419hhyxA25262322202119181716qJKLMIHGFEBCD14153）对边界内各结点可列15个差分方程。如对结点1：4）解方程并计算边界外一行各结点值。5）计算应力。如对结点M：差分法实例（4）如果弹性体的形状对称于xz平面和yz平面，而且面力分布也对称于这两个面，如右图。为了减少未知数的个数，我们采用对称的网格，但是按照通常方法计算各结点的值不能保证其具有对称性。试以C点为基点计算G结点和H结点的应力函数值。654321yxCqEBDAqqqFFFFGH差分法实例（5）y654321xCEBDAFFFF654321yxCqEBDAqqq654321yxCqEBDAqqqFFFFGH分别以A点和C点作为基点计算下列两种情况的应力函数及其偏导值，然后再将两种情况的结果相加就可以利用对称性仅用6个未知数来求解该问题了。