§-4-不定积分习题与答案

1第四章不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）2xdx２）xxdx2３）dxx2)2(４）dxxx221５）dxxxx32532６）dxxxx22sincos2cos７）dxxex)32(８）dxxxx)11(2２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx3)23(２）332xdx３）dtttsin４）)ln(lnlnxxxdx2５）xxdxsincos６）xxeedx７）dxxx)cos(2８）dxxx4313９）dxxx3cossin10）dxxx249111）122xdx12）dxx3cos13)xdxx3cos2sin14)xdxxsectan315)dxxx23916)dxxx22sin4cos3117)dxxx2arccos211018)dxxxx)1(arctan33、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx211２）dxxsin３）dxxx42４）)0(,222adxxax５）32)1(xdx６）xdx21７）21xxdx８）211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs２）xdxarcsin３）xdxxln2４）dxxex2sin24５）xdxxarctan2６）xdxxcos2７）xdx2ln８）dxxx2cos22５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dxxx33２）dxxxx1033223）)1(2xxdx（Ｂ）１、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。２、已知一个函数)(xF的导函数为211x，且当1x时函数值为23，试求此函数。5３、证明：若cxFdxxf)()(，则)0(,)(1)(acbaxFadxbaxf。４、设)(xf的一个原函数为xxsin，求dxxfx)(。５、求下列不定积分１）dxx2cos2２）dxx2sin1３）dxxx211arctan４）dxxxx11５）))((2222bxaxdx６）dxxaxx267）dxxxxln1ln8）dxxxex232arctan)1(（Ｃ）１、求以下积分１）dxexexx12)xxdxsin2)2sin(３）dxeexx2arctan４）dxxx4351５）dxxxx185６）dxxxxxcossincossin第四章不定积分习题答案（Ａ）7１、（１）cx1（２）cx2332（３）cxxx423123（４）cxxarctan（５）cxx3ln2ln)32(52（６）cxx)tan(cot（７）cxexln32（８）cxx427)7(4２、（１）cx4)23(81（２）cx32)32(21（３）ctcos2（４）cxlnlnln（５）cxtanln（６）cexarctan（7）cx)sin(212（８）cx41ln43（9）cx2cos21(10)cxx2494132arcsin21(11)cxx1212ln221(12)cxx3sinsin3(13)cxx5cos101cos21(14)cxxsecsec313(15)cxx)9ln(292122(16)c32arctan321(17)cx10ln210arccos2(18)cx2)(arctan3、(1)cttcotcscln（2）cxxx)sincos(2（3）cxx)2arccos24(tan22(4)cxaaxaxa)(arcsin22222(5)cxx21(6)cxx)21ln(28(7)cxxx)1ln(arcsin212(8)cxxx211arcsin4、(1)cxxxsincos(2)cxxx21arcsin(3)cxxx3391ln31(4)cxxex)2sin42(cos1722(5)cxxxx)1ln(6161arctan31223(6)cxxxxxsin2cos2sin2（7）cxxxxx2ln2ln2(8)cxxxxxxsincossin2161235、(1)cxxxx3ln279233123(2)cxx5ln2ln(3)cxx)1ln(21ln2(4)cxxxxarctan21)1ln(411ln21ln2(5)cxxxx312arctan3311ln2122(B)1、设曲线)(xfy，由导数的几何意义：xy1，cxdxxln1，点)3,(2e代入即可。2、设函数为)(xF，由211)()(xxfxF，得CxdxxfxFarcsin)()(，代入)23,1(即可解出C。3、由假设得)()(),()(baxfbaxFxfxF，故cbaxFadxbaxfbaxFbaxFa)(1)(),(])(1[。４、把)(xf凑微分后用分部积分法。５、（１）用倍角公式：2cos12cos2xx（２）注意0sincosxx或0sincosxx两种情况。（３）利用)cot(11,cot1arctan2xarcddxxxarcx。（４）先分子有理化，在分开作三角代换。9（５）化为部分分式之和后积分。（６）可令tax2sin2。（７）可令,sin)(2tabax则tabxb2cos)(。（８）令txln1。（９）分部积分后移项，整理。（１０）凑xearctan后分部积分，再移项，整理。（１１）令tx2tan。（１２）变形为4)2(23xxxdx后，令txx23，再由2211tx，两端微分得tdtdxx2)2(12。（Ｃ）1）解：令1xeu，则duuudxux2212),1ln(所以原式duuuuuduu222214)1ln(2)1ln(2cuuuuarctan44)1ln(22ceeexxxx1arctan414122）解：方法一：原式2cos2tan)2(tan412cos2sin)2(41)cos1(sin223xxxdxxxdxxdxcxxxdxx2tanln412tan81)2(tan2tan2tan14122方法二：令tx2tan方法三：变形为)cos1)(cos1(2sin2xxxdx，然后令uxcos10再化成部分分式积分。3）解：原式)(arctan212xxede])1()(arctan[21222xxxxxeeedee（令uex）])1(arctan[21222uudueexx]1arctan[21222uduudueexxceeeexxxxarctanarctan2124）解：原式)](11)(11[31)(13134334333433xdxxdxxxdxx)]1()1()1()1([3134133433xdxxdxcxx433473)1(94)1(2145）解：原式2)()(2122222443xxxxddxxxxx，令22xxucuuudu22ln2412212cxxxx1212ln24124246）解：原式dxxxxxcossin11cossin221dxxxdxxxxxcossin121cossin)cos(sin212)4sin()4(221)cos(sin21xxdxx11)4(cos1)4cos(221)cos(sin212xxdxx)4cos(])4cos(11)4cos(11[241)cos(sin21xdxxxxcxxxx)4cos(1)4cos(1ln241)cos(sin21