2.3.3-2.3.4线面垂直与面面垂直性质定理

2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质1.直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言ab⇒a∥b图形语言思考1:直线与平面垂直的性质定理有什么作用?(直线与平面垂直的性质定理的作用是:线面垂直⇒线线平行,它揭示了平行与垂直之间的相互转化)拓展提升:(1)直线与平面垂直的几个常见结论①垂直于同一条直线的两个平面平行,即l⊥α,l⊥β⇒α∥β.②两条平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面,即l∥m,l⊥α⇒m⊥α.③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面,即l⊥α,α∥β⇒l⊥β.(2)平面与平面垂直的几个常见结论①如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面,即α⊥β,γ∥β⇒γ⊥α.②如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内,即α⊥β,b⊥β⇒b∥α或b⊂α.直线与平面垂直的性质定理的应用【例1】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1.导引:要证EF∥BD1,借助线面垂直的性质定理,应如何操作?(要寻找EF和BD1共同垂直的平面,所以需要作出辅助平面)证明:如图所示,连接AB1、B1D1、B1C、BD,∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴DD1⊥AC.又AC⊥BD,DD1∩BD=D,∴AC⊥平面BDD1B1,又BD1⊂平面BDD1B1,∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C,∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC,EF⊥A1D,又A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.题后反思线面垂直的性质定理提供了证明两直线平行的重要依据,也是由垂直关系转化为平行关系的重要方法.跟踪训练1-1:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:(1)MN∥AD1;(2)M是AB的中点.证明:(1)∵四边形ADD1A1为正方形,∴AD1⊥A1D.又CD⊥平面ADD1A1,∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD=D,∴AD1⊥平面A1DC.又MN⊥平面A1DC,∴MN∥AD1.(2)连接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC,∴ON12CD12AB,∴ON∥AM,又MN∥OA,∴四边形AMNO为平行四边形,∴ON=AM.∵ON=12AB,∴AM=12AB,∴M是AB的中点.2.平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言laal⇒a⊥β图形语言思考2:如果两个平面互相垂直,则一个平面内的一条直线一定垂直于另一个平面吗?(不一定.只有和交线垂直的直线才垂直于另一个平面)【例】(2014陕西榆林实验中学高一期末)已知a、b为不重合的直线,α为平面,则下面四个命题:①a∥b,a⊥α,则b⊥α;②若a⊥α,b⊥α,则a∥b;③若a⊥α,a⊥b,则b∥α;④若a∥α,a⊥b,则b⊥α;其中正确的命题是()(A)①②(B)①②③(C)②③④(D)①②④解析:①②显然正确;③中b可能在α内;④中b与α关系不确定.故选A,1.已知平面α⊥平面β,则下列命题正确的个数是()①α内的直线必垂直于β内的无数条直线②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线③α内的任何一条直线必垂直于β④过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂直于α(A)4(B)3(C)2(D)1解析:β内一定存在无数条平行直线都垂直于α,也即垂直于α内的直线,①正确;②符合两平面垂直性质定理,②正确;α内的直线与β位置关系不确定,③错;如果过α、β交线上一点,作交线的垂线,且垂线不在β内,则这条直线不一定垂直于α,④错,故选C.C2.设a、b是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题:①若a⊥b,a⊥α,则b∥α;②若a∥α,β⊥α,则a⊥β;③若a⊥β,β⊥α,则a∥α;④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则β⊥α.其中,正确的命题的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3解析:①中也可能b⊂α;②中a与β的位置关系不确定;③中也可能a⊂α;④正确.应选B.3.如图所示,在三棱锥P-ABC内,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,求证:PA⊥AB.证明:∵∠PAC=90°,∴PA⊥AC.∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,∴PA⊥平面ABC.∵AB⊂平面ABC,∴PA⊥AB.B平面与平面垂直性质定理的应用【例2】(2013年高考江苏卷)如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.证明:(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF⊂平面SAB,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.题后反思利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.跟踪训练2-1:四棱锥V-ABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面ABCD,又VB⊥平面VAD.求证:平面VBC⊥平面VAC.证明:∵平面VAB⊥平面ABCD,AB为交线且BC⊥AB.∴BC⊥平面VAB,∴BC⊥VA,又VB⊥平面VAD,∴VB⊥VA,又VB∩BC=B,∴VA⊥平面VBC,∵VA⊂平面VAC.∴平面VBC⊥平面VAC.线面、面面垂直的综合问题【例3】(2013年高考北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别为CD和PC的中点,求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.导引:(1)对题中的条件“平面PAD⊥底面ABCD”怎样进行转化?(利用性质定理,由PA⊥AD,AD为交线,可得PA⊥底面ABCD)(2)BE与平面PAD内哪条直线平行?(与直线AD平行)(3)能在平面PCD内找到与平面BEF垂直的直线吗?(能.CD⊥平面BEF)证明:(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,所以AB∥DE,且AB=DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形.所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.又AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又EF∩BE=E,所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.题后反思直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系,当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化,要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证.跟踪训练3-1:(2014南安一中高一期末)如图,在三棱锥P-ABC中,E、F分别为AC、BC的中点.(1)求证:EF∥平面PAB;(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°,求证:平面PEF⊥平面PBC.证明:(1)∵E,F分别是AC,BC的中点,∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB.(2)在三角形PAC中,∵PA=PC,E为AC中点,∴PE⊥AC.∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,∴PE⊥平面ABC.∴PE⊥BC.又EF∥AB,∠ABC=90°,∴EF⊥BC,又EF∩PE=E,∴BC⊥平面PEF.又BC⊂平面PBC,∴平面PEF⊥平面PBC.【例】如图所示,在矩形ABCD中,AB=2AD,E是AB的中点,沿DE将△ADE折起.(1)如果二面角A-DE-C是直二面角,求证:AB=AC;(2)如果AB=AC,求证:平面ADE⊥平面BCDE.证明:(1)过点A作AM⊥DE于点M,则AM⊥平面BCDE,∴AM⊥BC.又AD=AE,∴M是DE的中点.取BC中点N,连接MN,AN,则MN⊥BC.又AM⊥BC,AM∩MN=M,∴BC⊥平面AMN,∴AN⊥BC.又∵N是BC中点,∴AB=AC.(2)取BC的中点N,连接AN,∵AB=AC,∴AN⊥BC.取DE的中点M,连接MN,AM,则MN⊥BC.又AN∩MN=N,∴BC⊥平面AMN,∴AM⊥BC.又M是DE的中点,AD=AE,∴AM⊥DE.又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线,∴AM⊥平面BCDE.∵AM⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面BCDE.【例】如图所示,A、B、C、D为空间四点.在△ABC中,AB=2,AC=BC=2,等边三角形ADB以AB为轴运动.(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD的长;(2)当△ADB以AB为轴转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.解:(1)取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE.由已知可得DE=3,EC=1,在Rt△DEC中,CD=22DEEC=2.(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.证明如下:①当D在平面ABC内时,因为AC=BC,AD=BD,所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时,由(1)知AB⊥DE.又因为AC=BC,所以AB⊥CE.又DE,CE为相交直线,所以AB⊥平面CDE,由CD⊂平面CDE,得AB⊥CD.综上所述,总有AB⊥CD.课堂小结1.空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的垂直关系可以相互转化,其转化关系如下:线线垂直线面垂直面面垂直2.由面面垂直证明线线垂直,一般是先由面面垂直得线面垂直,再由线面垂直得线线垂直.3.直线与平面垂直的性质定理是垂直关系向平行关系的转化,由平行关系也可转化为垂直关系,如a∥b,a⊥α⇒b⊥α;α∥β,a⊥α⇒a⊥β.