随机信号分析(常建平+李海林)习题答案

1-9已知随机变量X的分布函数为20,0(),011,1XxFxkxxx求：①系数k；②X落在区间(0.3,0.7)内的概率；③随机变量X的概率密度。解：第①问利用()XFx右连续的性质k＝1第②问0.30.70.30.70.70.30.7PXPXFPXF第③问201()()0XXxxdFxfxelsedx1-10已知随机变量X的概率密度为()()xXfxkex（拉普拉斯分布），求：①系数k②X落在区间(0,1)内的概率③随机变量X的分布函数解：第①问112fxdxk第②问211221xxPxXxFxFxfxdx随机变量X落在区间12(,]xx的概率12{}PxXx就是曲线yfx下的曲边梯形的面积。1010101112PXPXfxdxe第③问102102xxexfxex00()110022111010222xxxxxxxxFxfxdxedxxexedxedxxex1-11某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)pqn=1n,p0,np=n成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率P(2)101kPkPk答案0.1P(2)11.1ke100.1np实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布np!kePXkk＝＝1-12已知随机变量(,)XY的概率密度为(34)0,0(,)0xyXYkexyfxy,,其它求：①系数k？②(,)XY的分布函数？③{01,02}PXX？第③问方法一：联合分布函数(,)XYFxy性质：若任意四个实数1212,,,aabb，满足1212,aabb，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XYXYXYXYPaXabYbFabFabFabFab{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XYXYXYXYPXYFFFF方法二：利用{(,)},XYDPxyDfuvdudv2100{01,02},XYPXYfxydxdy1-13已知随机变量(,)XY的概率密度为101,(,)0xyxfxy,,其它①求条件概率密度(|)Xfxy和(|)Yfyx？②判断X和Y是否独立？给出理由。先求边缘概率密度()Xfx、()Yfy注意上下限的选取X2,01,01(),00,xxXYxxdyxfxfxydyelseelse，11,011||(),,100011,yYXYydxyyfyfxydxdxyelseyelse1-14已知离散型随机变量X的分布律为X367P0.20.10.7求：①X的分布函数②随机变量31YX的分布律1-15已知随机变量X服从标准高斯分布。求：①随机变量XYe的概率密度？②随机变量ZX的概率密度？分析:①()'()()YXfyhyfhy②1122()|'()|[()]|'()|[()]YXXfyhyfhyhyfhy答案:22ln221200()()200yzYZeyezfyfzyelseelse1-16已知随机变量1X和2X相互独立，概率密度分别为11121111,0()20,0xXexfxx，22132221,0()30,0xXexfxx求随机变量12YXX的概率密度？解：设11221()YYXXYX任意的求反函数，求雅克比J＝－112121136121210,60yyYYeyyfyyelse11111321100yyYeeyfyelse1-17已知随机变量,XY的联合分布律为532m,,,0,1,2,!!mnePXYnmnmn求：①边缘分布律m(0,1,2,)PXm和(0,1,2,)PYnn？②条件分布律m|PXYn和|mPYnX？分析：32532m,,,0,1,2,!!32!!mnmnePXYnmnmneemn泊松分布,0,1,2,!kePXkkk0001!!kkkkkPXkeeekekP19（1－48）解：①121332m!m,!nmnnePXPXYnenm21nm2,!nnPYPXYnen同理②m,nPXYnPXmPY＝即X、Y相互独立1-18已知随机变量12,,,nXXX相互独立，概率密度分别为1122(),(),,()nnfxfxfx。又随机变量1121212nnYXYXXYXXX证明：随机变量12,,,nYYY的联合概率密度为12112211(,,,)()()()Ynnnnfyyyfyfyyfyy11212121212323211211121nnnnnnnnYXYXXXYYYXXXXYYYXXXXYYYXXXX10000110001001000011000011J因为|J|＝1,故已知随机变量12,,,nXXX相互独立，概率密度分别为1122(),(),,()nnfxfxfxX121211(,,,)(,,,)nYnnfyyyfyyyyy12121111221X1(,,,)(,,,)()()()nnnnnnYfyyyfyyyyyfyfyyfyy1-19已知随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为1(),2xXfxex求其数学期望与方差？解:222222000000121(022222)()XxxxXxxxxxEXxdxxdxEXxdxxdxxdxxeedxexdxxeefxedfxxee奇函数偶函数1-20已知随机变量X可能取值为{4,1,2,3,4}，且每个值出现的概率均为15。求：①随机变量X的数学期望和方差？②随机变量23YX的概率密度？③Y的数学期望和方差？①③答案:②Y3122748P1/51/51/52/5离散型随机变量的概率密度表达式P12，1-25式1kkkfxpxx其中,00,0xxx为冲激函数1312272485Yfyyyyy21212[][()]()[]D[][]kkkkkkEXxpEgXgxpEXXEXEX22446214[][]D55251388406[][]1098D525EXEXXEYEYY1-22已知两个随机变量,XY的数学期望为1,2XYmm，方差为224,1XY，相关系数0.4XY。现定义新随机变量,VW为23VXYWXY求,VW的期望，方差以及它们的相关系数？22374.817.82XYEVEWDVDWEaXbYaEXbEYDaXbYaDXbDYabCXYXYXYC0.131-23已知随机变量,XY满足YaXb，,ab皆为常数。证明：①2XYXCa；②1010XYaa；③当0Xm且2[][]aEXbEX时，随机变量,XY正交。①XYXYXYCRmm22XYXCaXXEYEaXbambEXYEXaXbaEXbm＝②XYXYXYC222XaXbaDYDDXa222XYXXYXYXXCaaaa③0XYR正交＝22[][]XEXYaEXbmaEXbEX得证1-25已知随机变量,XY相互独立，分别服从参数为1和2的泊松分布。①求随机变量X的数学期望和方差？②证明ZXY服从参数为12的泊松分布。解：①泊松分布0!kkePXkk特征函数的定义00!!kjukjuXjukXkkeQuEeeeekk由0!kxkxek(1-17题用过)可得(1)jujueeXQueee100jueXuudQudeEXjjdudu12222222200jueXuudQudeEXjjdudu②根据特征函数的性质，XY相互独立，12()(1)jueZXYQuQuQue表明Z服从参数为12的泊松分布1-26已知随机变量,XY的联合特征函数为6(,)623XYQuvjujvuv求：①随机变量X的特征函数②随机变量Y的期望和方差解：①3()()30,XXYQuQuju②02()(),2YXYQvvQjv0()[]()kkkXkudQuEXjdu42222()()4822YYdQvdQjjvvdvvvjvdj222002()()11[]()[]2(2)YYvvdQvdQvEYjEYduujd1-28已知两个独立的随机变量,XY的特征函数分别是()XQu和()YQu，求随机变量3(1)2(4)ZXY特征函数()ZQu？解：特征函数的性质：相互独立随机变量和的特征函数等于它们特征函数之积X、Y独立，因此有3(1)X和2(1)Y独立独立的等价条件（充分必要条件）①(,)()()XYXYfxyfxfy②1,1()()()knknknEXYEXEY③12X12X1X2Q(u,u)=QuQu1-29已知二维高斯变量12(,)XX中，高斯变量12,XX的期望分别为12,mm，方差分别为2212,，相关系数为。令1122111221211,1XmXmXmYY①写出二维高斯变量12(,)XX的概率密度和特征函数的矩阵形式，并展开；②证明12(,)YY相互独立，皆服从标准高斯分布。解：11221212,XmXmXX1~(0,1)XN，2~(0,1)XN，12XX1122121,1YXYXX系数矩阵2210111AYAX，线性变换，故Y也服从高斯分布00YXMAM110101TTYXCACAAA0()ijCij，故1Y2Y不相关，高斯变量不相关和独立等价，1Y2Y独立1-30已知二维高斯变量12(,)XX的两个分量相互独立，期望皆为0，方差皆为2。令112212YXXYXX其中0,0为常数。①证明：12(,)YY服从二维高斯分布；②求12(,)YY的均值和协方差矩阵；③证明：12,YY相互独立的条件为。复习：n维高斯变量的性