等比数列的定义

2.4等比数列如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折，再对折，再对折‥‥‥依次对折50次，你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥？情境一:折纸问题情境:对折一次对折二次对折三次对折四次…...对折次n对折纸的次数n纸的层数24816…...…...情境二:《庄子·天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。设木棰长度为1木棰长度第一天取半第二天取半第三天取半第四天取半............121418116......第天取半n观察上述情境中得到的这几个数列，看有何共同特点?2,4,8,16,…;;81,41,21,1①②共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数．1,20,202,203,…；③-2,2,-2,2,….④讲授新课1.等比数列的定义:一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示.(q≠0)2.等比数列定义的符号语言:qaann1(q为常数，且q≠0；n≥2且n∈N*)[或]1nnaqa(q为常数，且q≠0；n∈N*)(1)1，3，9，27，…(3)5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，…(2),161,81,41,21(5)1，0，1，0，…练习判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公比q,如果不是，说明理由。是是是是a1=1,q=3a1=5,q=1a1=1,q=-1不是11122aq，(6)0，0，0，0，…(7)1,a,a2,a3,…(8)x0,x,x2,x3,…(9)1，2，6，18，…不是不是小结：判断一个数列是不是等比数列，主要是由定义进行判断：a1=x0,q=x是不是1nnaa看是不是同一个常数？注意：(2)公比q一定是由后项比前项所得，而不能用前项比后项来求，且q≠0；(1)等比数列｛an｝中,an≠0；(3)若q＝1，则该数列为常数列．(4)常数列a,a,a,a,…0a时,既是等差数列，又是等比数列;0a时,只是等差数列，而不是等比数列.思考：如果在a与b的中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G应该满足什么条件？2反之，若即a,G,b成等比数列.∴a,G,b成等比数列,2abG则,GbaGabG(ab0)分析：由a,G,b成等比数列得：abGabGGbaG2(ab0)如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.3.等比中项：2(0)(0)GabGababGabab是、的等比中项即：注意：若a，b异号则无等比中项,若a，b同号则有两个等比中项.湖南省长沙市一中卫星远程学校14580（）求与的等比中项babccab求的等比中项，且与是）已知（,272603b练习：湖南省长沙市一中卫星远程学校一、等比数列的通项公式:递推法qaaqaa1212212323qaqaaqaa313434qaqaaqaa……1n1nqaa湖南省长沙市一中卫星远程学校等比数列的通项公式：叠乘法11145342312......nnnnqaaaaaaaaaaaa11nnqaa等比数列注：（1）等比数列的首项不为0；（2）等比数列的每一项都不为0，即（3）q=1时，{an}为常数列；0na以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通项公式为：4.等比数列的通项公式：5.等比数列通项公式的推广：7.等比数列通项公式的应用：知三求一111nnmnnnnmaaaqqqaaa，，6.等比数列的公比公式：1*11(,0)nnaaqaqnN；*(,0,)nmnmmaaqaqmnN；湖南省长沙市一中卫星远程学校例、一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.解：设这个等比数列的第1项是,公比是q，那么82331612qaa3161a23q解得，，因此316答：这个数列的第1项与第2项分别是与8.1a1831qa1221qa湖南省长沙市一中卫星远程学校课堂互动（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.(1)一个等比数列的第5项是,公比是，求它的第1项；943151114()39a136a解得，答：它的第一项是36.解：设它的第一项是，则由题意得1a解：设它的第一项是，公比是q，则由题意得1a答：它的第一项是5，第4项是40.101qa2021qa，51a2q解得，，40314qaa因此练习：求下列各等比数列的通项公式：(1)a1＝5,且2an＋1＝－3an.35(2)1,9aa课堂小结等比数列名称等差数列概念常数通项公式1通项公式2中项()nmaanmd*(,)nmN从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数公差(d)d可正、可负、可零从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数公比(q)q可正、可负、不可零1(1)naand*()nN11nnaaq*(0)qnN，nmnmaaq*(0,)qnmN，A2Aabab是、的等差中项2(0)GabGabab是、的等比中项精讲精练、创新课后作业已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,求a2=？湖南省长沙市一中卫星远程学校练习．在等比数列{an}中，12166,128,nnaaaa且q=2，求a1和n.湖南省长沙市一中卫星远程学校2()A.0.1.2.02bacfxaxbxcxBCD如果实数是，的等比中项，则的图象与轴交点的个数是（）.或A练习:湖南省长沙市一中卫星远程学校若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是：＿＿＿＿＿＿an=2n－1上式还可以写成nna221可见，表示这个等比数列的各点都在函数的图象上，如右图所示。01234nan87654321····的点函数的图象上一些孤立的图象是其对应的等比数列结论na：xy221通项公式法:an=b·cn湖南省长沙市一中卫星远程学校判断等比数列的方法:1、(定义法)利用an/an-1是否是一个与n无关的常数2、(通项公式法)判断an=b·cn(bc≠0为常数)湖南省长沙市一中卫星远程学校例、有三个数成等比数列，若它们的积等于64，和等于14，求此三个数？注意：等比数列中若三个数成等比数列，可以设为2,,aaqaq或,,aaqaq练习：已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的立方和为81，求这三个数。湖南省长沙市一中卫星远程学校例、有四个数，若其中前三个数成等比数列，它们的积等于216，后三个数成等差数列，它们的和等于12，求此四个数？注意：等比数列中若四个数成等比数列，不能设为33,,,aaaqaqqq因为这种设法表示公比大于零！练习：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。可以设这四个数为a,b,c,d15,9,3,1或0,4,8,16某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期.nnnaa解:设这种物质最初的质量为1，经过年，剩留量是由条件可得，数列是一个等比数列，其中lg0.84lg0.54nn两边取对数，得得0.840.5n1110.840.840.84nnnnaaq又10.840.840.5naqa，，，4.答：这种物质的半衰期大约为年湖南省长沙市一中卫星远程学校1.等差数列：银行利息按单利计算（利息没有利息）本利和=本金×（1+利率×存期）例如：存入10000元，利率为0.72%存期年初本金年末本利和（元）结果第一年1000010000×（1+0.725×1）10072第二年1000010000×（1+0.725×2）10144第三年1000010000×（1+0.725×3）10216第四年1000010000×（1+0.725×4）10288特点：每一项与前一项的差是同一个常数湖南省长沙市一中卫星远程学校2.等比数列：银行利息按复利计算（利滚利）本金和=本金×（1+利率）存期存期年初本金年末本利和（元）第一年1000010000×（1+1.98%）1第二年10000×1.019810000×（1+1.98%）2第三年10000×1.0198210000×（1+1.98%）3第四年10000×1.0198310000×（1+1.98%）4例如：存入10000元，利率为1.98%特点：后一顶与前一项的比是同一个常数湖南省长沙市一中卫星远程学校n2n3n6是n）21(n)31(n)61(是湖南省长沙市一中卫星远程学校结论：如果是项数相同的等比数列，那么也是等比数列．nanbnnba证明：设数列的公比为p，的公比为q，那么数列的第n项与第n+1项分别为与，即与．因为它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq为公比的等比数列．nanbnnba1n11n1qbpan1n1qbpa1n11)pq(ban11)pq(ba,pq)pq(ba)pq(bababa1n11n11nn1n1n特别地，如果是等比数列，c是不等于０的常数，那么数列也是等比数列．nanac湖南省长沙市一中卫星远程学校探究对于例４中的等比数列与，数列也一定是等比数列吗？nanbnnba是湖南省长沙市一中卫星远程学校a．若{an}{bn}是项数相同的等比数列，}{nnba都是等比数列则{anbn}和b．若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，那么{can}也是等比数列等比数列的性质湖南省长沙市一中卫星远程学校性质:在等比数列中，为公比，若且naq*,,,Nqpnmqpnm那么：等比数列的性质nmpqaaaa推论:在等比数列中，为公比，若且nad*,,Npnmpnm2那么：2nmsaaa特殊地:211()(2)nnnaaan湖南省长沙市一中卫星远程学校小组展示任务分配表典型例题：32415na,6,15}{a1求为等比数列，、数列例aaaa6)(151-314111qqaqaqaann）（解：除2q21q2512或解得得：qq4a1a2q4-a16-a21q3131，时，当，时，当湖南省长沙市一中卫星远程学校小组展示任务分配表典型例题：变式、在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列湖南省长沙市一中卫星远程学校小组展示任务分配表典型例题：变式、在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列10a20a40a80a21q3215,160a543251661，，，则解：设qaaa湖南省长沙市一中卫星远程学校小组展示任务分配表典型例题：例2、已知数列{}的通项公式为,试问这个数列是等比数列吗？为什么？nann3a湖南省长沙市一中卫星远程学校小组展示任务分配表典型例题：例2、已知数列{}的通项公式为,试问这个数列是等比数列吗？为什么？na为公比的等比数列为首项，是以所以数列则解：由33}{a333a33an1n1n11nnnnnnaann3a