拉普拉斯变换讲义

拉普拉斯变换制作者：炯拉普拉斯拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827）法国著名的天文学家和数学家，天体力学的集大成者，被誉为法国的牛顿。拉普拉斯用数学方法证明了行星的轨道大小只有周期性变化，这就是著名拉普拉斯的定理。拉普拉斯的著名杰作《天体力学》，书中第一次提出了“天体力学”的学科名称，是经典天体力学的代表著作。《宇宙系统论》是拉普拉斯另一部名垂千古的杰作。拉普拉斯在数学和物理学方面也有重要贡献，以他的名字命名的拉普拉斯变换和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。拉普拉斯和当时的拉格朗日、勒让德并称为法国的３Ｌ，不愧为十九世纪初数学界的巨擘泰斗。一、拉普拉斯变换的历史背景拉普拉斯变换是先在实际中应用，然后才经过严格论证的一种方法。是由英国工程师赫维赛德19世纪末提出的，称为“算子法”。后来人们在拉普拉斯的著作中找到了可靠的数学依据，进行了严格的数学定义，取之名为拉普拉斯变换方法。二、拉普拉斯变换的发展在20世纪70年代以后，计算机辅助设计(CAD)技术迅速发展，人们借助于CAD程序(如SPICE程序)，可以很方便地求解电路分析问题，这样就导致拉氏变换在这方面的应用相对减少了。此外，随着技术的发展和实际的需要，离散的、非线性的、时变的等类型系统的研究与应用日益广泛，而拉氏变换在这些方面却无能为力，于是，它长期占据的传统重要地位正让位给一些新的方法。使用傅立叶变换时存在的问题1、傅立叶变换要求进行变换的函数在−∞，+∞上有定义，在任一有限区间上狄利克雷条件；2、∣FT∣ⅆT+∞−∞存在，该条件较苛刻，如跃阶函数UT以及T，SINT，COS𝑡等均不满足这些要求，其傅氏变换需要用𝛿函数来表示。3、在物理、线性控制等实际应用中，许多以时间T为自变量的函数，往往当T0时没有意义，因此需要改变傅氏变换。解决办法1：将F(T)乘上U(T)，这样小于0的部分的函数值就都等于零。2：再乘上ℯ−𝛽T（ℯ−𝛽T的下降速度最快），因此，几乎所有的实用函数F(T)乘上U(T)再乘上ℯ−𝛽T后，得到的函数的傅氏变换都存在。三、拉普拉斯变换的定义对函数GT=ℯ−𝛽TFT（𝛽0）施行傅立叶变换：G𝜔=12𝜋GTℯ−𝛽TⅆT+∞−∞=12𝜋FT∞0ℯ−𝛽+𝑗𝜔TⅆT将𝛽+𝑗𝜔记作P，并将G𝜔改记作FP/2𝜋，则有FP=FT∞0ℯ−PTⅆT1−1其中积分FT∞0ℯ−PTⅆT称为拉普拉斯积分，FP称为FT的拉普拉斯变换函数代表着从FT到FP的一种积分变换，称为拉普拉斯变换（简称拉氏变换），ℯ−PT称为拉普拉斯变换的核。条件是(1−1)式中等号右边的积分存在（收敛）。F(T)应满足下列条件：1、当T0时，FT=0；2、当T0时，FT分段连续；3、当T→∞时，FT上升较ℯ−PT慢。由于FT∞0ℯ−PTⅆT是一个定积分，T将在新函数中消失，因此，FP只取决于P，它是复变数P的函数。拉氏变换将原来的实变量函数FT转化为复变量函数FP。拉氏变换是一种单值变换，FT和FP之间具有一一对应关系。拉普拉斯反变换G𝜔的傅立叶逆变换是GT=G𝜔∞−∞ℯ−𝑗𝜔Tⅆ𝜔=12𝜋F𝛽+𝑗𝜔ℯ−𝑗𝜔Tⅆ+∞−∞𝜔由𝛽+𝑗𝜔=P，有ⅆ𝜔=1𝑗ⅆP，所以FT=12𝜋𝑗FPℯ𝑝𝑡(𝛽+𝑗∞)𝛽−𝑗∞ⅆPFP又称为像函数，而FT称为原函数。它们之间的关系可用下列形式表达：FP=ℒFTFT=ℒ−1FP或者FP≓FTFT≒FP拉氏变换存在定理若函数FT满足：1、在T≥0的任一有限区间上分段连续2、当T→+∞时，FT的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数M0及C≥0，使得∣FT∣≤𝑀𝑒𝛽𝑡，0≤T≤∞的拉氏变换FP=FT∞0ℯ−PTⅆT在半平面REPC上一定存在，且FP为解析函数𝐶称为FT的增长指数例子1、单位脉冲函数𝛿T的拉氏变换解：ℒ𝛿T=𝛿Tℯ−PTⅆT∞0=ℯ−PT｜∞0=1ℒ𝛿T−T0=𝛿T−T0ℯ−PTⅆT∞0=𝑒−PT02、单位跃阶函数𝒰T的拉氏变换解：ℒ𝒰T=𝒰Tℯ−PTⅆT∞0=1Pℯ−PT｜∞0=1P𝑅EP03、函数FT=ℯKT的拉氏变换（K∈𝑅）解：ℒFT=ℯKTℯ−PTⅆT∞0=ℯ−𝑝−𝑘TⅆT∞0=1𝑝−𝑘𝑅EP𝑘拉氏变换的性质叠加定理两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变幻的代数ℒ𝑓1T±𝑓2T=ℒ𝑓1T±ℒ𝑓2T证明：ℒF1T±F2T=F1T±F2Tℯ−PTⅆT∞0=F1Tℯ−PTⅆT±∞0F2Tℯ−PTⅆT∞0=ℒF1T±ℒF2T=F1P±F2P比例定理K倍函数𝑓T的拉氏变换等于函数𝑓T的拉斯变换的K倍即ℒ𝐾𝑓T=Kℒ𝑓T证明：ℒ𝐾𝑓T=𝐾𝑓T∞0ℯ−PTⅆT=K𝑓T∞0ℯ−PTⅆT=K𝑓P线性定理设𝛼，𝛽为常数，若ℒ𝑓1T=𝑓1P,ℒ𝑓2T=𝑓2P，则有ℒ𝛼𝑓1T±𝛽𝑓2T=𝛼𝑓1P±𝛽𝑓2Pℒ−1𝛼𝑓1P±𝛽𝑓2P=𝛼𝑓1T±𝛽𝑓2T此定理可有前面的叠加定理和比例定理得出，在此不再证明。例子：求余弦函数FT=COS𝜔𝑡的像函数COS𝜔𝑡=12𝑗𝑒𝑗𝜔𝑡+𝑒−𝑗𝜔𝑡则𝑓P=ℒCOS𝜔𝑡=COS𝜔𝑡∞0ℯ−PTⅆT=12𝑗𝑒𝑗𝜔𝑡+𝑒−𝑗𝜔𝑡∞0ℯ−PTⅆT=12𝑗ℯ−𝑝−𝑗𝜔T∞0ⅆT+ℯ−𝑝+𝑗𝜔𝑡∞0ⅆT=𝑝𝑝2+𝜔2同理，ℒSIN𝜔𝑡=𝜔𝑝2+𝜔2导数定理导数的像函数一阶导函数定理：𝑓′𝑡≒𝑝𝑓𝑝−𝑓0高阶导数定理：一般的，𝑓𝑛𝑡≒𝑝𝑛𝑓𝑝−𝑝𝑛−1𝑓0−𝑝𝑛−2𝑓′0−⋯−𝑝𝑓𝑛−20−𝑓𝑛−10特殊的，当𝑓0=𝑓′0=𝑓′′0=⋯=𝑓𝑛−10=0时，ℒ𝑓𝑛T=𝑝𝑛𝑓𝑝此性质可以将𝑓𝑡的微分方程转化为𝑓𝑝的代数方程。例子：求解幂函数𝑓𝑡=𝑡𝑚𝑚≥1且为正整数的拉氏变换解：ℒ𝑡𝑚=𝑡𝑚∞0ℯ−PTⅆT=−1𝑝𝑡𝑚𝑒−𝑝𝑡︱+∞0+𝑚𝑝𝑒−𝑝𝑡+∞0𝑡𝑚−1ⅆ𝑡可得递推关系ℒ𝑡𝑚=𝑚𝑝ℒ𝑡𝑚−1，又有ℒ1=1𝑝故有ℒ𝑡𝑚=𝑚!𝑝𝑚+1像函数的导数设ℒ𝑓T=𝑓𝑝则有𝑓′𝑝=−ℒ𝑡𝑓𝑡一般有𝑓𝑛𝑝=−1𝑛ℒ𝑡𝑓𝑡证明：𝑓𝑝=𝑓𝑡∞0ℯ−𝑝TⅆT𝑓′𝑝=𝑑𝑑𝑝FT∞0ℯ−PTⅆT=𝜕𝜕𝑝𝑓𝑡𝑒−𝑝𝑡∞0ⅆ𝑡=−𝑡𝑓𝑡𝑒−𝑝𝑡ⅆ𝑡∞0=−ℒ[𝑡𝑓(𝑡)]例子：1、求𝑓0=TSIN𝜔𝑡的拉氏变换解：∵ℒSIN𝜔𝑡=𝜔𝑝2+𝜔2∴ℒ𝑡SIN𝜔𝑡=−𝑑𝑑𝑝𝜔𝑝2+𝜔2=2𝜔𝑝𝑝2+𝜔222、求𝑓𝑡=𝑡2COS𝑡2的拉氏变换解：ℒ𝑡2COS𝑡2=ℒ𝑡21+COS2𝑡2=12ℒ𝑡21+COS2𝑡=2𝑝6+24𝑝2+32𝑝3𝑝2+43积分定理积分的像函数设ℒ𝑓T=𝑓𝑝，则有ℒ𝑓Tⅆ𝑡𝑡0=1𝑝𝑓𝑝一般的，有ℒⅆ𝑡𝑡0ⅆ𝑡𝑡0⋯𝑓Tⅆ𝑡𝑡0=1𝑝𝑛𝑓𝑝𝑛次积分像函数的积分设ℒ𝑓T=𝑓𝑝，则有𝑓𝑝∞𝑝ⅆ𝑝=ℒ𝑓T𝑡一般的，有ⅆ𝑝∞𝑝ⅆ𝑝∞𝑝⋯𝑓′𝑝ⅆ𝑝=ℒ𝑓T𝑡𝑛𝑛次积分∞𝑝例子：求ℒSIN𝑡𝑡𝑓𝑝∞𝑝ⅆ𝑝=ℒ𝑓T𝑡解：ℒSIN𝑡=1𝑝2+1ℒSIN𝑡𝑡=1𝑝2+1ⅆ𝑝=−COT−1𝑝︱∞𝑝=COT−1𝑝∞𝑝因此，ℒSIN𝑡𝑡=SIN𝑡𝑡𝑒−𝑝𝑡ⅆ𝑡=COT−1𝑝∞0令P=0可得SIN𝑡𝑡ⅆ𝑡=COT−10=𝜋2∞0在拉氏变换及其一些性质中取P为某些特定值，可以用来求一些函数的广义积分。𝑓𝑝=ℒ𝑓T=𝑓T∞0𝑒−𝑝𝑡ⅆ𝑡取P=0𝑓T∞0𝑒−𝑝𝑡ⅆ𝑡=𝑓0ℒ𝑡𝑓T=𝑡𝑓T∞0𝑒−𝑝𝑡ⅆ𝑡=−𝑓′𝑝取P=0𝑡𝑓T∞0𝑒−𝑝𝑡ⅆ𝑡=−𝑓′0ℒ𝑓T𝑡=𝑓T𝑡∞0𝑒−𝑝𝑡ⅆ𝑡=𝑓𝑝∞𝑝ⅆ𝑝取P=0𝑓T𝑡∞0ⅆ𝑡=𝑓𝑝∞𝑝ⅆ𝑝在使用这些公式时必须先确定广义积分的存在性。例子：１、计算积分COS2𝑡∞0𝑒−3𝑡ⅆ𝑡解：ℒCOS2𝑡=𝑝𝑝2+22COS2𝑡∞0𝑒−3𝑡ⅆ𝑡=332+4=313２、计算积分1−COS𝑡𝑡∞0𝑒−𝑡ⅆ𝑡解：ℒ1−COS𝑡𝑡=ℒ1−COS𝑡∞𝑝ⅆPℒCOS𝑡=𝑝𝑝2+1ℒ1=1𝑝ℒ1−COS𝑡𝑡=1𝑝𝑝2+1∞𝑝ⅆP=12LN𝑝2+1𝑝2即1−COS𝑡𝑡∞0𝑒−𝑡ⅆ𝑡=12LN2延迟定理设ℒ𝑓T=𝑓𝑝，当T0时𝑓T=0,则对任一非负实数𝜏有：ℒ𝑓T－𝜏=𝑒−𝑝𝑡𝑓𝑝证明：ℒ𝑓T－𝜏=𝑓T－𝜏∞0𝑒−𝑝𝑡ⅆ𝑡用𝜉=T－𝜏代替T作为积分变数，则ℒ𝑓T－𝜏=𝑓𝜉∞0𝑒−𝑝𝜉+𝜏𝑡ⅆ𝜉=𝑒−𝑝𝜏𝑓𝑝上式表明，当原函数𝑓T延迟𝜏时，即为𝑓T－𝜏，相应的像函数𝑓𝑝应乘以𝑒−𝑝𝑡。位移定理若ℒ𝑓T=𝑓𝑝，则有ℒ𝑒𝜆𝑡𝑓T=𝑓𝑝−𝜆证明：ℒ𝑒𝜆𝑡𝑓T=𝑒𝜆𝑡𝑓T∞0𝑒−𝑝𝑡ⅆ𝑡=𝑓T∞0𝑒−𝑝−𝜆𝑡ⅆ𝑡=𝑓𝑝−𝜆相似定理若ℒ𝑓T=𝑓𝑝，则对任一常数A0,有ℒ𝑓𝑎𝑡=1𝑎𝑓𝑝𝑎证明：ℒ𝑓𝑎𝑡=𝑓𝑎𝑡∞0𝑒−𝑝𝑡ⅆ𝑡令𝜑=ATℒ𝑓𝑎𝑡=1𝑎𝑓𝜑∞0𝑒−𝑝𝑎𝜑ⅆ𝜑=1𝑎𝑓𝑝𝑎初值定理LIM𝑡→0𝑓T=LIM𝑝→∞𝑝𝑓𝑝终值定理LIM𝑡→∞𝑓T=LIM𝑝→0𝑝𝑓𝑝条件是当𝑡→∞和𝑝→0时，两边的极限存在。卷积定理设ℒ𝑓1T=𝑓1P,ℒ𝑓2T=𝑓2P则有ℒ𝑓1T∗𝑓2T=𝑓1P∙𝑓2P或ℒ−1𝑓1P∙𝑓2P=𝑓1T∗𝑓2T卷积定理的推广：若𝑓𝑘T𝑘=1,2,⋯𝑛满足拉氏变换存在定理中的条件，且ℒ𝑓𝑘T=𝑓𝑘P𝑘=1,2,⋯𝑛,则有ℒ𝑓1T∗𝑓2T∗⋯∗𝑓𝑛T=𝑓1P∙𝑓2P∙⋯∙𝑓𝑛P常见函数的拉斯变换ℒ𝛿𝑡=1ℒ𝑒𝜆𝑡=1𝑝−𝜆ℒ𝑡𝑚=𝑚!𝑝𝑚+1ℒSIN𝜔𝑡=𝜔𝑝2+𝜔2ℒCOS𝜔𝑡=𝑝𝑝2+𝜔2拉普拉斯逆变换反演积分公式F𝑡=12𝜋𝑗FPℯ𝑝𝑡(𝛽+𝑗∞)𝛽−𝑗∞ⅆP上式为像函数𝑓𝑝求原函数𝑓T的一般公式，称为反演积分公式。利用留数计算拉氏反演积分设𝑓𝑝除在半平面RE𝑝≤𝑐内有限个孤立奇点𝑝1,𝑝2,⋯,𝑝𝑛外是解析的，且当S→∞时，𝑓𝑝→0,则有𝑓T=12𝜋𝑗FPℯ𝑝𝑡(𝛽+𝑗∞)𝛽−𝑗∞ⅆP=𝑅𝑒𝑠FPℯ𝑝𝑡,𝑝𝑘,𝑛𝑘=1T0(证明略)例子：求若𝑓𝑝=1𝑝𝑝−12的逆变换.解：P=0,P=1分别为𝑓𝑝=1𝑝𝑝−12的一阶极点，二阶极点；𝑓T=𝑅ES𝑓𝑝ℯ𝑝𝑡,0+𝑅𝑒𝑠𝑓𝑝ℯ𝑝𝑡,1=LIM𝑝→0𝑝1𝑝𝑝−12ℯ𝑝𝑡+12−1!LIM𝑝→1𝑑𝑑𝑝𝑝−121𝑝−12𝑝ℯ𝑝𝑡=1+LIM𝑝→1𝑡𝑝ℯ𝑝𝑡−1𝑝2ℯ𝑝𝑡=1+𝑡ℯ𝑡−ℯ𝑡=1+ℯ𝑡𝑡−1,𝑡0拉普拉斯逆变换的反演1、利用拉氏变换的性质2、有理分式反演法3、利用卷积4、使用留数5、查表法例子：已知𝑓𝑝=1𝑝−2𝑝−12,求𝑓T=ℒ−1𝑓𝑝.解法一：有理分式反演法对𝑓𝑝进行分解，得𝑓𝑝=1𝑝−2−1𝑝−1−