22.1.4-二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(二)-公开课获奖课件

第二十二章二次函数22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(二)九年级数学·上新课标[人]待定系数法求二次函数解析式(2015·齐齐哈尔一模)已知一个二次函数的图象经过A,B和C(1,-2)三点.(1)求出这个二次函数的解析式;解:(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,考查角度1设一般式求二次函数解析式例1〔解析〕题目给出抛物线上的三个点的坐标,可设一般式求抛物线解析式;225,30,25422322abccabc，，，12323.2acb，，根据题意得所以二次函数解析式为y=x2-x-.解得1232(2)若函数的图象与x轴相交于点E,F(E在F的左边),求△EFB的面积.〔解析〕先求出E,F两点的坐标,然后根据三角形面积公式求解.解：(2)当y=0时,x2-x-=0,解得x1=-1,x2=3,所以E点坐标为(-1,0),F点坐标为(3,0),所以△EFB的面积=×(3+1)×=3.12323212(3)填空:把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移个单位,使得该图象的顶点在原点.1.(2015·巴中模拟)二次函数的图象经过点A(0,-3),B(2,-3),C(-1,0).(1)求此二次函数的关系式;解:(1)由题意设二次函数解析式为y=ax2+bx-3,把(2,-3),(-1,0)代入得解得∴y=x2-2x-3.(2)求此二次函数图象的顶点坐标;(2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴函数图象的顶点坐标为(1,-4).54233,0,abab1,2,ab考查角度2设顶点式求二次函数解析式已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2),且图象过点(1,-3).(1)求这个二次函数的关系式;(2)写出它的开口方向、对称轴.例2〔解析〕已知抛物线的顶点,可设顶点式,再用待定系数法求二次函数的解析式.进而可根据函数的解析式求得抛物线的开口方向和对称轴.解:(1)∵抛物线的顶点坐标为(-1,2),54∴设函数解析式为y=a(x+1)2+2,把(1,-3)代入解析式,得-3=a(1+1)2+2,解得a=-,∴抛物线的解析式为y=-(x+1)2+2.(2)由(1)可得抛物线的开口向下,对称轴为直线x=-1.542.(2015·吴兴区一模)已知二次函数的图象经过(0,0),且它的顶点坐标是(1,-2).(1)求这个二次函数的关系式;(2)判断点P(3,5)是否在这条抛物线上.解:(1)设抛物线的顶点式为y=a(x-1)2-2，将点(0,0)代入得a-2=0,解得a=2，所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2-2。(2)当x=3时,y=2(3-1)2-2=6，所以点P(3,5)不在这条抛物线上.考查角度3设交点式求二次函数解析式如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)设该二次函数的图象与y轴交于点C,连接AC,BC,求△ABC的面积.例3〔解析〕(1)A,B两点是抛物线与x轴的交点,故可设交点式,再用待定系数法求二次函数的解析式.(2)根据三角形的面积公式即可求解.解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0),∴设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3),把C(0,3)代入,得3=a(0+1)(0-3),解得a=-1.∴这个二次函数的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.(2)∵A(-1,0),B(3,0),∴AB=4.∵C(0,3),∴△ABC的面积=×4×3=6.12【解题归纳】已知抛物线与x轴的两个交点的坐标,用待定系数法求二次函数解析式时,可设交点式,代入条件后得到一元一次方程,求解即可.3.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0)且过点C(0,-3).(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线的解析式.解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),∴可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3),把C(0,-3)代入得3a=-3,解得a=-1,故抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3,∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1，∴抛物线的顶点坐标为(2,1).(2)先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线的解析式为y=-x2,平移后抛物线的顶点为(0,0),在直线y=-x上.（答案不唯一）求抛物线解析式与几何问题的综合应用(2015·徐汇区一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的图象经过A,B,C,D四个点,其中横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:(1)求二次函数解析式;(2)求△ABD的面积.例4〔解析〕(1)把点A,B,C的坐标代入y=ax2+bx+c,即可求出二次函数解析式.(2)利用三角形的面积公式求解即可.考查角度1求抛物线解析式与求几何图形面积ABCDx-1013y-1353解:(1)把点A,B,C的坐标代入y=ax2+bx+c,得解得所以二次函数解析式为y=-x2+3x+3.(2)S△ABD=×3×4=6.135abccabc，，，=133acb，，，124.(2015·静安区一模)已知在直角坐标平面内,抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A,B,点B的坐标为(3,0),与y轴相交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)求△ABC的面积.解:(1)把点B的坐标(3,0)代入y=x2+bx+6，得0=9+3b+6,解得b=-5,∴抛物线的解析式为y=x2-5x+6.(2)由抛物线的解析式为y=x2-5x+6，易知A(2,0),B(3,0),C(0,6),∴S△ABC=×1×6=3.12考查角度2求抛物线解析式与求线段和的最小值如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点.(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.例5〔解析〕(1)已知抛物线上不同的三点坐标,利用待定系数法可求出该抛物线的解析式.(2)根据O,B点的坐标发现:抛物线上O,B两点正好关于抛物线的对称轴对称,那么只需连接AB,直线AB和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M点,而AM+OM的最小值正好是AB的长.解:(1)把A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c中,得所以解析式为y=-x2+x.解这个方程组,得4240420abccabc，，，1201acb，，，12(2)由y=-x2+x=-(x-1)2+，可得抛物线的对称轴为直线x=1,并且对称轴垂直平分线段OB,如图所示,连接OM,BM,则OM=BM,∴OM+AM=BM+AM,连接AB交直线x=1于M点,则此时OM+AM最小,过点A作AN⊥x轴于点N,在Rt△ABN中,AB=因此OM+AM的最小值为12121222224442ANNB，42.5.(鸡西中考)如图6所示,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.(1)求抛物线的解析式;(2)若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△BDP的周长最小?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.解:(1)∵OA=2,OC=3，12∴A(-2,0),C(0,3)，∴c=3,将A(-2,0)代入y=-x2+bx+3，得-×(-2)2-2b+3=0,解得b=,可得函数解析式为y=-x2+x+3.(2)如图6所示,连接AD,与对称轴相交于点P,由于点A和点B关于对称轴对称,所以BP+DP=AP+DP,当A,P,D共线时,BP+DP=AP+DP最小.设直线AD的解析式为y=kx+m,将A(-2,0),D(2,2)分别代入得1212121212解得故直线AD的解析式为y=x+1(-2≤x≤2).2022kmkm，，121km，，由于二次函数图象的对称轴为直线x=，则当x=时,y=×+1=，故P1211212221254125,4.1212考查角度3二次函数的探究问题如图所示,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标,若不存在,请说明理由.例6〔解析〕(1)由直线的解析式确定A,B两点的坐标,然后用两根式求抛物线解析式.(2)分AB=AQ,BA=BQ,QA=QB三种情况讨论.解:(1)∵直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,∴A点坐标为(-1,0),B点坐标为(0,3),又∵C(3,0),即A,B,C三点中有两点在x轴上,∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).把B(0,3)代入,得a(0+1)(0-3)=3,解得a=-1,∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.(2)存在∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴该抛物线的对称轴为直线x=1。设Q点坐标为(1,m),则AQ=,BQ=,AB=当AB=AQ时，解得m=∴Q点坐标为(1,)或(1,);当AB=BQ时,解得m=0或m=6,∴Q点坐标为(1,0)或(1,6);当AQ=BQ时,,解得m=1,∴Q点坐标为(1,1).∴抛物线的对称轴上存在着点Q1(1,),Q2(1,-),Q3(1,0),Q4(1,6),Q5(1,1),使△ABQ是等腰三角形.24m213m10，2410m，6，6621013m，22413mm66∴AB=3-(-1)=4,∴△ABD的面积为×4×4=8.(3)不在.理由如下:△AOC绕点C逆时针旋转90°,CO落在CE所在的直线上,由(2)可知OA=1,∴点A的对应点G的坐标为(3,2),当x=3时,y=-32+2×3+3=0≠2,∴点G不在该抛物线上.6.(连云港中考)如图所示,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3.(1)求抛物线所对应的函数解析式;(2)求△ABD的面积;(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°,点A的对应点为点G,则点G是否在该抛物线上?请说明理由.解:(1)∵四边形OCEF为矩形,OF=2,EF=3,03xy，1223xy，3342cbc，，23bc，，∴点C的坐标为(0,3),点E的坐标为(2,3).把和分别代入y=-x2+bx+c中，得∴抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3.(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线的顶点坐标为D(1,4),∴△ABD中AB边上的高为4.令y=0,得-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,解得