“捆绑”、“瓜豆”模型

勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第1页共10页《广猛说题系列之将“捆绑”、“瓜豆（朋成）”进行到底》高邮市赞化学校段广猛本人作品《广猛说题系列之瓜豆原理（又名朋成原理）》及《广猛说题系列之大玩“捆绑”、惊现“瓜豆”——一道小题说起》曾提及到了“捆绑变换”及“瓜豆原理”，本文拟以《广猛说题系列之几道所谓压轴题的共通之处（旋转那些事）》中涉及的一道2016年河南中考题为例，誓将“捆绑”、“瓜豆（朋成）”进行到底！原题重现：（来源：高邮市赞化学校《全品作业听课手册》，2016年河南中考倒二题）（1）发现：如图1-1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图1-2所示，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD、BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图1-3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．前文《广猛说题系列之几道所谓压轴题的共通之处（旋转那些事）》中利用基本图形，构造“共顶点的双等腰直角三角形模型”，“手拉手全等”搞定最后一问，今天我们换个“眼光”，重新审视，借助轨迹思想，看看本题是否还有其他的通解通法！本人作品中已经多次强调“轨迹意识”在解决动态型问题中的重要作用，同学们首先树立要有找轨迹、想轨迹、思轨迹的意识，这种前瞻性地解题意识可能比解决一两道题目本身重要千万倍啊！简析最后一问：第一步：先以“抓不变量”的审题策略，想一想本题最后一问中有哪些量是不变的，即动点问题的不变背景（框架）是什么；勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第2页共10页很明显平面直角坐标系、点A（2，0）与点B（5，0）是本题中的不变元素；第二步：再以“因果法”分析这里的动点的逻辑关系，想一想谁先动，谁后动，谁被谁牵制着动；很明显题目中共涉及两个动点P和M，其中点P是第一个动点，可称之为“主动点”；而第二个动点M是“从动点”，随着动点P的运动而运动、确定而确定；“从动点”M与“主动点”P存在着明确的因果关系，若是融入“轨迹意识”，“从动点”M的轨迹与“主动点”P的轨迹之间也应该存在着明确的因果关系，这就是本文所想表达的核心思想，会在后续几步中重点提及；第三步：以“轨迹思想”考虑“主动点”P的轨迹；由题知PA=2及点A是定点，因而动点P始终被“绑在”以定点A为圆心，2为半径的⊙A上，即动点P的轨迹是一个整圆⊙A，如图1-4所示；第四步：以“图形变换”的新眼光重新审视“从动点”M的由来；图形的常见变换包括：平移、翻折、旋转及位似等，有时还可能是上述几种变换的结合体，比如旋转位似、平移位似等；题目条件中明确指出的是：PM=PB且∠BPM=90°，即锁定到一个等腰Rt△BPM，如图1-5所示，这样就得出一个重要而简单的结论∠MBP=45°且BM=2BP；若是用旋转变换的眼光重新审视动点M的由来，它可以看成是由动点P经过两步变换得到，即先是由“主动点”P绕着定点B按顺时针方向旋转45°得到点P1，再将得到的点P1，以定点B为位似中心，按位似比2：1进行放大得到目标“从动点”M；这个过程不妨称之为“旋转位似”，用旋转的眼光、位似的角度重新审视“从动点”M与“主动点”P之间的逻辑关系，是解决本题的关键所在！同学们可以停下来好好反思下，看看能不能悟透，这个想通了，后续过程就简单了！第五步：以“捆绑思想”，即“瓜豆原理”（又名“朋成原理”）分析“从动点”M的轨迹；本题终极目标是求线段AM长的最大值，其中点A是定点，点M是动点，关键肯定还是在动点M上，若能找到动点M运动的轨迹，答案也就“水落石出”了吧！这就是解题中重要的“轨迹意识”；勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第3页共10页要想找到动点M的运动轨迹，很自然地就要看看动点M是怎么来的，一般情况下，一个动点怎么来，其轨迹肯定也是相应地得来，这是极其自然的道理；由第四步知动点M可以看成是先由“主动点”P绕着定点B按顺时针方向旋转45°得到点P1，再将得到的点P1，以定点B为位似中心，按位似比2：1进行放大得到；那么此时可以下结论动点M的轨迹应该也是相应地得到，即动点M的轨迹可以看成是先由“主动点”P的轨迹圆（即⊙A）绕着定点B按顺时针方向旋转45°得到点P1的轨迹圆（此圆与⊙A是全等图形，就是⊙A旋转而来），再将得到点P1的轨迹圆以定点B为位似中心，按位似比2：1进行放大得到；即目标动点M的轨迹可以看成由“主动点”P的轨迹圆⊙A经过两步得到：先旋转后位似！因为旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，而位似也只是改变图形的位置及大小，不改变图形的形状，在这样的理论支撑下，很容易理解动点M的轨迹依然是一个圆，这就是传说中的“瓜豆原理”（又名“朋成原理”），也可称之为“捆绑变换”，即“捆绑旋转位似”，还可以趣称为“捆绑瓜豆”或“捆绑朋成”！名称都不是回事，把握了实质，就掌握了方法，名称也仅仅是便于理解罢了！第六步：先利用旋转画出图1-6中点P1的轨迹；点P1是由“主动点”P绕着定点B按顺时针方向旋转45°得到的，那么点P1的轨迹也是由“主动点”P的轨迹绕着定点B按顺时针方向旋转45°得到的，如图1-7所示；需要特别提醒大家的是，要想确定一个圆，应该先找其圆心从而确定其位置，再找半径从而确定其大小：想要画出点P1的轨迹圆，只需将“主动点P”的轨迹圆⊙A的圆心A作相应地旋转即可得到要找的圆心，即把⊙A的圆心A绕着定点B按顺时针方向旋转45°得到的点A1即为要找的动点P1的轨迹圆的圆心，则∠A1BA=45°且A1B=AB=3，且由旋转不变性知动点P1的轨迹圆⊙A1的半径不变，等于⊙A的半径2，这样我们就确定了点P1的轨迹圆⊙A1，易知点A1的坐标为（3522，322）；勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第4页共10页第七步：再利用位似画出目标动点M的轨迹；第六步中我们得到了动点P1的轨迹圆⊙A1，又由第四步知目标动点M可以看成将点P1以定点B为位似中心，按位似比2：1进行放大得到，从而目标动点M的轨迹圆可以看成将点P1的轨迹圆⊙A1以定点B为位似中心，按位似比2：1进行放大得到，如图1-8所示；值得一提的是目标动点M的轨迹圆依然可以像第六步那样，先找圆心再找半径确定：先将动点P1的轨迹圆⊙A1的圆心A1以定点B为位似中心，按位似比2：1进行放大得到点A2，即为所要找的目标动点M的轨迹圆的圆心，且易知A2B=2A1B=32，从而圆心A2的坐标为（2，3）；而又由“位似放大原理”易知目标动点M的轨迹圆⊙A2的半径为⊙A1半径的2倍，即⊙A2的半径为22，最终锁定目标动点M的轨迹圆，将之单独抽离出来，如图1-9所示；第八步：最后利用“两点之间，线段最短”求出终极目标线段AM长的最大值；终极目标要求线段AM长的最大值，就被转化为定点A（2，0）到定圆⊙A2的最长距离，这是同学们的拿手好戏啊；如图1-10所示，即可轻松搞定AM最大值为3+22，且此时M（2，3+22）；勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第5页共10页第九步：根据第八步确定的点M及点B，回归最开始题目给定的图1-3去画点P并求出点P的坐标；由最初题目给定的图1-3知△BPM为等腰直角三角形，且B、P、M按顺时针方向排序，从而只要依托确定的线段BM为斜边作等腰直角三角形，并注意B、P、M的顺序即可，如图1-11所示，接下来想办法求点P的坐标；“见等腰直角三角形，造K字型全等”，这个基本的解题策略应该深入“脑髓”！如图1-12所示，过直角三角形的三个顶点作“水平-竖直”辅助线，构造出K字型全等，即Rt△BHP≌Rt△PGM；因为这里的等腰直角三角形的直角顶点P是未知的，因而求其坐标稍显麻烦，需要设元列方程组进行求解，这一点在本人作品《玩转45度》及《广猛说题系列之由一道月考题谈通性通法与特事特办、由玩转45度到玩转任意角》中曾有介绍；设PH=MG=x，BH=PG=y，则由题可得3223xyyx，解之得232xy，故点P的坐标为（5-y，x），即为P（2-2，2）.勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第6页共10页上面采取了“见等腰直角三角形，造K字型全等”这个基本策略，但因为直角顶点未知，故计算上稍显麻烦，需要列二元一次方程组进行求解，下面再提供两种有趣的处理，几乎实现口算，主要是基于将等腰直角三角形的直角顶点作成已知顶点：趣法一（通过“倍长直角边”的方式实现直角顶点已知的处理）：如图1-13所示，延长MP至N，使PN=MP，则易知△BMN为等腰直角三角形；依托等腰Rt△BMN构造K字型全等，则NH=BG=3+22，BH=MG=3，利用平移思想知点N的坐标为（2-22，-3），再结合“中点坐标公式”知目标点P的坐标为（2-2，2）；趣法二（通过“三线合一”的方式实现直角顶点已知的处理）：如图1-14所示，作PN⊥BM于点N，则由“三线合一”易知△PNM为等腰直角三角形，依托此等腰Rt△PNM构造K字型全等，先利用中点坐标公式得出等腰直角定点N的坐标，再口算出点P的坐标，不再赘述；上述两种有趣的构造转化，实现了等腰直角顶点已知化的处理，极其有趣同学们可自行比较，尤其是与前面的未知直角顶点计算类比，你会喜欢上我们后面的两个趣法的！勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第7页共10页解题后反思：相比较于前文《广猛说题系列之几道所谓压轴题的共通之处（旋转那些事）》中构造基本图形“共顶点的双等腰直角三角形—手拉手全等”转化模型，我们这里所谓的“捆绑—瓜豆（朋成）”原理，表面上看去确实复杂了些，但后面这种涉及“轨迹思想”的“捆绑变换”方法应用更加广泛，在很大范围内它都是普适的通解通法，所以建议同学们还是尽量去理解本文的做法，从中吸取一些有趣的解题经验，你一定会不禁有“数学有趣、数学好玩”之感慨！应用“捆绑—瓜豆原理”的关键是，想通动点之间的逻辑关系，即其中的“从动点”是由“主动点”如何来，一般都是借助图形三大变换（平移、翻折和旋转）及位似的眼光来审视动点，有时候还可以是上述几种变换的结合，如“旋转位似”或“平移旋转位似”等，然后利用“捆绑思想”（本质就是“整体思想”）来思考“从动点”的轨迹，一般情况下，从动点怎么由主动点而来，则从动点的轨迹也是相应地由主动点的轨迹而来，再结合“确定性思想”的分析方法，一般问题都可得到解决！最后求点P的坐标时，首先分析原图中的点P满足怎样的限制条件，然后以来确定的斜边BM画出点P，这种画图意识也应当引起同学们的重视，画图是一种本领，画图是一种技能，画图在一定的程度上也能体现出同学们掌握基本知识与技能的熟练程度，甚至还包含一些分析问题的能力与方法，这样说来，想要画出一张符合题意的图还真不轻松啊！下面来一道有趣的“轨迹长骗人题”来强化大家对于所谓“瓜豆原理”的理解，其本质就是“捆绑变换”或者说“整体思想”，体现了整体与局部之间相统一的辩证关系！题目（来源：QQ教研群）：如图2，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上的一动点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当动点D由点A运动到点C时，求动点E运动的轨迹长.这题被大神“于特”真正秒杀，真的连一秒都不到，他是如何做到的？其实很简单，一是巧妙借助“捆绑旋转”，即所谓“瓜豆原理”；二是结合“旋转不变性”直接口算，具体如下：由等边△BDE可将“从动点”E看成是由“主动点”D绕着定点B按顺时针方向旋转60度得到，因而“从动点”E的轨迹也可看成是由“主动点”D的轨迹绕着定点B按顺时勤奋是一种品质，优秀是一种习惯第8页共10页针方向旋转60度而来，即所求目标动点E的轨迹就是斜边AC绕着定点B按顺时针方向旋转60度而来；题目要求的就是动点E的轨迹长，难道还要采取“极限法”找到此轨迹的起点和终点？NO！根据“旋转不变性”，即旋转之后的图形