高一数学函数的单调性-复习一

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：观察这三个图象，你能说出三个图象的变化趋势一样吗？同一个函数在定义域内，变化趋势一样吗？引入画出下列函数的图象，观察其变化规律：F（x）=xF（x）=x2•1、从左至右图象上升还是下降____?•2、在区间_____上，f(x)的值随着x的增大而______．•1、在区间____上，f(x)的值随着x的增大而______．•2、在区间_____上，f(x)的值随着x的增大而_____．上升(-∞,+∞)增大(-∞,0]减小(0,+∞)增大直观认识x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916…以二次函数f(x)=x2为例,如何利用函数解析式描述“随着X的增大，相应f(x)随着减小”;“随着X的增大，相应的f(x)也随着增大”?思考xyof(x1)x1f(x2)x2定量分析说一说在区间(0,+∞)上任取两个x1，x2得到f(x1)=x12,f(x2)=x22，当x1x2时,有f(x1)f(x2),这时我们就说函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上是增函数.你能仿照这样的描述，说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0)上是减函数吗？Oxy)x(fy=)x(f11x,,21xxD上任取在给定区间21xx)f(x)f(x21函数f(x)在给定区间D上为增函数.,,21xxD上任取在给定区间21xx函数f(x)在给定区间D上为减函数.)f(x)f(x21)x(fy=Oxy)x(f11x)x(f22x)x(f22x一般地,设函数f(x)的定义域为I,对于I内的某个区间D,定义1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；定义要点:2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)分别是增函数和减函数.如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.函数的单调性定义说出下列三类函数的单调性yoxyoxyoxyox在增函数在减函数⎟⎠⎞⎜⎝⎛∞ab2--，⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞−,2ab在增函数在减函数⎟⎠⎞⎜⎝⎛∞ab2--，⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞−,2ab在(-∞,+∞)是减函数在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数在(-∞,+∞)是增函数在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数yoxoxy例1如图定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数?解：函数y=f(x)的单调区间有[-5，-2），[-2，1），[1，3），[3，5]。其中y=f(x)在区间[-5，-2），[1，3）上是减函数，在[-2，1），[3，5]是增函数。练习注意：函数y=f(x)在[-5，-2）∪[1，3）上不是减函数。可以说：函数y=f(x)在[-5，-2）和[1，3）上是减函数若函数在两个区间上都是减函数，则在它们的并集上不一定是减函数.xoy12345-1-2-3-4-5-1-212物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。)(为正常数kVkp=证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1V2，则21121212()()VVkkpVpVkVVVV−−=−=由V1，V2∈(0，+∞)且V1V2，得V1V20,V2-V10又k0,于是0)()(21−VpVp)()(12VpVp即所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.),0(,+∞∈=VVkp取值定号结论作差变形例２练习1.课本P32练习第4题.判断函数单调性的方法步骤1、任取x1，x2∈D，且x1x2；2、作差f(x1)－f(x2)；3、变形（通常是因式分解和配方）；4、定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5、下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：思考？画出反比例函数的图象．1、这个函数的定义域是什么？2、它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．定义域：(-∞,0)υ(0,+∞)of(x2)X１思考：xy●x2f(x1)●解:证明：函数证明：函数f(x)=1/xf(x)=1/x在在(0(0，，++∞∞))上是减上是减函数。函数。证明：设x1,x2是(0(0，，++∞∞))上任意两个实数，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=21122111xxxxxx−=−由于x1,x2得x1x20,又由x1x2得x2-x10所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2)()+∞∈,0因此f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。取值作差变形定号判断有以上证明可知：函数在定义域上不具有单调性•增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？•怎样用定义证明函数的单调性？课堂小结1、书面作业：课本P３9习题1．2\3（A组）作业谢谢再见1)1(+=xy1)2(+−=xyxyoxyo111-1y=x+1y=-x+11)1(+=xy1)2(+−=xyxyoxyo111-1y=x+1y=-x+1y随x的增大而增大y随x的增大而减小xyoxyoy=x2y=x3y随x的增大而增大[0，+∞）上y随x的增大而增大（-∞，0]上y随x的增大而减小)3()4(xyoxyo)(xfy=mn)(xfy=mn[m，n]上，函数y随x的增大而减小在[m，n]上，函数y随x的增大而增大——单调递增性——单调递减性通俗定义xyo)(xfy=mnf（x1）x1x2f（x2）y随x的增大而增大即是：当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）()[][]()()()[][][]叫函数的单调增区间，上的增函数，区间，此时，函数叫做上单调递增，，在区间成立，则函数总有时，，若当，，对任意的，，对于函数nmnmnmxfyxfxfxxnmxxnmxxfy=∈∈=212121pp()[][]()[][][].,21区间叫函数的单调，区间函数，上的，此时，函数叫做，上单调递，在区间则称函数成立，时，有若当，，，对，，对于函数nmnmnmxfynmxxnmxxfy=∈∈=x1＜x2f（x1）＜f（x2）任意增增增()[][]()[][][].,21区间叫函数的单调，区间函数，上的，此时，函数叫做，上单调递，在区间则称函数成立，时，有若当，，，对，，对于函数nmnmnmxfynmxxnmxxfy=∈∈=x1＜x2f（x1）＞f（x2）任意减减减（1）y=|x|（2）y=sinx，x∈[0，2]π（3）y=1（4）y=x+1，（x≠0）（5）y=1，x∈Q-1，x∈CRQxyo12534-1-2-5-4-3增区间减区间[-2，2][3，5][-5，-2][2，3]∪∪增区间减区间（-2，0）（0，2][-5，-2）[2，3]∪∪[3，5）∪xyo12534-1-2-5-4-31、函数单调性的判断方法图象法定义法①、②2、函数单调区间的求解（1）y=|x|xyo在（－∞，0]上单调递减，但，函数在定义域（－∞，＋∞）上并无单调性在[0，＋∞）上单调递增更多资源xiti123.taobao.com（2）y=sinx，x∈[0，2]πxyo1-12ππ23ππ2在[0，]∪[，]上单调递增，2π23ππ2但，函数在定义域[0，2]上并无单调性π2π23π在[，]上单调递减（3）y=1xyo1函数在定义域（－∞，＋∞）上无单调性（4）y=x+1，（x≠0）xyo1-1在（－∞，0）和（0，＋∞）上都单调递增，因此函数在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上单调递增（5）y=1，x∈Q-1，x∈CRQ函数在Q上无单调性，在CRQ上也无单调性因此，函数在R内无单调性