2019年上海新知杯初中数学竞赛试题解析-共27页

2019年上海市“新知杯”初中数学竞赛解：∵﹣1＜2x﹣1＜1，∴，解得：0＜x＜1，∴当x=1时，原式最小，∴﹣1的取值范围是：﹣1＞1．故答案为：大于1．一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）考点：函数最值问题；解一元一次不等式组．分析：根据﹣1＜2x﹣1＜1，可以得出x的取值范围，进而求出﹣1的取值范围即可．一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）2、在面积为1的△ABC中，P为边BC的中点，点Q在边AC上，且AQ=2QC．连接AP、BQ交于点R，则△ABR的面积是_________．考点：面积及等积变换．分析：连接PQ，利用已知条件条件分别求出△ABP的面积，△BQC的面积，△ABQ的面积，△BQC的面积，以及△ABR和△BRP的面积和为△ABP面积的这一关系，即可求出△ABR的面积，在解题时时刻注意同底等高的两三角形面积相等．解：如图，连接PQ，∵P为BC中点，∴S△ABP=S△APC=×S△ABC=×1=，∴同理由题可知△BQC面积为，△ABQ面积，∴S△BPQ=S△BQC=，∵△ABQ与△BPQ为共底三角形，∵面积比等于高的比=4：1，又∵△ABR和△BRP分别与△ABQ和△BPQ同高，且共用底边BR，∴△ABR和△BRP的面积比为4：1∵S△ABR+S△BRP=S△ABP，∴S△ABR=×=，故答案为：．本题考查了求三角形的面积，对于此类题目最常见的是利用三角形的面积公式，也可直接求解也可分割作和或作差；还可以转化为等底等高的两三角形或同底等高的两三角形面积相等．一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）考点：三角形边角关系；根与系数的关系．分析：将原方程整理为一元二次方程的一般形式，设方程两根为x1，x2，再根据两根平方和为10，列出等式并变形，将两根关系整体代入即可．解：原方程整理为（c﹣a）x2﹣bx+（c+a）=0，设x1，x2是方程的两个根，则x12+x22=10，即（x1+x2）2﹣2x1x2=10，把方程根公式代入，得（）2﹣2×=10，即4b2﹣（c2﹣a2）=5（c﹣a）2，由勾股定理得：c2﹣a2=b2，代入以上方程整理后有3b2=5（c﹣a）2．∵c是斜边，∴c＞a，两边开平方，得b+a=c，两边同时平方得，3b2+5a2+2ab=5c2，再次将勾股定理代入得，3b2+5a2+2ab=5a2+5b2，2b2=2ab，∴=．故答案为：．本题考查了三角形的边角关系，根与系数关系，勾股定理的运用．关键是根据题意得出x12+x22=10，将等式变形，将根与系数关系代入，结合勾股定理求解．一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）4、数x1，x2，…，x100满足如下条件：对于k=1，2，…，100，xk比其余99个数的和小k，则x25的值为_________．考点：整数问题的综合运用．分析：根据已知对于k=1，2，…，100，xk比其余99个数的和小k，得出x2+…+x100=x1+1，x1+x3+…+x100=x2+2…进而得出x1+x2+…+x100的值，即可求出答案．解：∵数x1，x2，…，x100满足如下条件：对于k=1，2，…，100，xk比其余99个数的和小k，∴x2+…+x100=x1+1，x1+x3+…+x100=x2+2，…x1+x2+…+x99=x100+100将以上所有式子相加即可，∴99（x1+x2+…+x100）=（x1+x2+…+x100）+1+2+…+100，∴98（x1+x2+…+x100）=1+2+…+100，∴98（x1+x2+…+x100）=5050，∴x1+x2+…+x100=，∴x1+x2+…+x100=2x25+25，∴2x25+25=，∴x25=，故答案为：．此题主要考查了整数的综合应用，根据已知得出x1+x2+…+x100=进而得出是解题关键．一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）5、已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为_________．考点：对称式和轮换对称式．分析：∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．首先将第②、③组合成一个方程组，变形把x1、x2表示出来，在讲将x1、x2的值代入①，通过化简就可以求出结论．解：∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．由②，得④，把④代入③，得⑤把⑤代入③，得⑥把⑤、⑥代入①，得+=b∴，∴（a3+c2）（y12+ay22）=b（y12+ay22）2∴y12+ay22=．故答案为：本题是一道代数式的转化问题，考查了对称式和轮换对称式在代数式求值过程中的运用．一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）6、如图，设P是凸四边形ABCD内的一点，过P分别作AB、BC、CD、DA的垂线，垂足分别为E、F、G、H．已知AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE﹣AE=1．则四边形ABCD的周长为_________．考点：勾股定理．分析：根据勾股定理分别求出AP2、BP2、CP2、DP2，再把四式后一等号两边分别相加，并代入已知数值，最后进行化简，即可得出答案．解：由勾股定理可得：AP2=AH2+PH2=AE2+PE2BP2=BE2+PE2=BF2+PF2CP2=CF2+PF2=CG2+PG2DP2=DG2+PG2=DH2+PH2以上四式后一等号两边分别相加，并代入已知数值可得：9+BE2+36+1=AE2+16+25+16化简得：BE2﹣AE2=11，即（BE+AE）（BE﹣AE）=11，又已知：BE﹣AE=1，解得：BE=6，AE=5，故周长为34一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）7、如图，△ABC的面积为1，点D、G、E和F分别在边AB、AC、BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB．则梯形DEFG面积的最大可能值为_________．解：设=x，则=1﹣x，∵DG∥BC，∴=1﹣x，∵DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB，∴△ADG∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CFG∽△CBA，∴=x2，=（1﹣x）2，=（1﹣x）2，∴S梯形DEFG=1﹣x2﹣2（1﹣x）2=﹣3x2+4x﹣1=﹣3（x﹣）2+，∴当x=时，即=，此时BD＜DA，梯形DEFG面积的最大值为．故答案为：．此题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质以及平行线分线段成比例定理．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是利用相似三角形的性质求得二次函数，注意数形结合思想的应用．一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）8、不超过1000的正整数x，使得x和x+1两者的数字和都是奇数，则满足条件的正整数x有_________个．考点：奇数与偶数．分析：满足条件的一位数只有9，满足条件的两位数，要使x的数字之和为奇数，则两位数必满足一奇一偶，再由x+1的数字和也为奇数，那么可得十位数字为偶数，个位数字为奇数，且个位一定为9，三位数则需要前两位的和为偶数，尾数为9，从而可得出符合条件的正整数．解：①满足条件的一位数只有9；②对于两位数，要使x和x+1的数字之和都为奇数，则十位数字为偶数，个位数字为9，故满足条件的两位数有：29，49，69，89；③对于三位数，要使x和x+1的数字之和都为奇数，则需要前两位的和为偶数，尾数为9：故满足条件的数有：119，139，159，179，209，229，249，269，289…共4×5+5×4=40个．④999和1000综上可得满足条件的数有：1+4+40+1=46个一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）9、已知k为不超过50的正整数，使得对任意正整数n，2×36n+k×23n+1﹣1都能被7整除，则这样的正整数k有_________个．考点：数的整除性．分析：首先把2×36n+k×23n+1﹣1整理成2×272n+2k×8n﹣1=2×（﹣1）2n+2k﹣1=2k+1，然后根据原式能被7整除可得2k+1=7m（m是奇数），于是求出k的个数．解：2×36n+k×23n+1﹣1=2×272n+2k×8n﹣1=2×（28﹣1）2n+2k×（7+1）2n=2×（﹣1）2n+2k﹣1=2k+1（mod7），但2×36n+k×23n+1﹣1=0（mod7），2k+1=0（mod7），即2k+1=7m（m为奇数），因为1≤k≤50，所以3≤7m≤101，故m=1、3、…13，相应的k=3、10、…、45共7个．故答案为7一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）解：设=a2，所以p（p+1）=2a2﹣2=2（a+1）（a﹣1），因为p为质数，所以①p=a﹣1或者②p=a+1或者③p=2，①当p=a﹣1时，设a﹣1=kp，（k为≥1的正整数）所以a=kp+1，所以p（p+1）=2kp（kp+2），所以p+1=2k（kp+2），所以（2k2﹣1）p=1﹣4k，因为（2k2﹣1）＞0，所以（2k2﹣1）p，又因为1﹣4k＜0，所以（2k2﹣1）p=1﹣4k不可能成立．②当p=a+1时，设a+1=kp，（k为≥1的正整数）所以a=kp﹣1．所以p（p+1）=2kp（kp﹣2），所以p+1=2k（kp﹣2），所以（2k2﹣1）p=1+4k，所以2k2﹣1＜1+4k．因为当k≥3时，2k2﹣1≥6k﹣1=4k+1+2（k﹣1）＞1+4k所以k=1或者2，当k=1时，（2k2﹣1）p=1+4k≥p=5，当k=2时，（2k2﹣1）p=1+4k≥7p=9，所以不存在质数p．③当p=2时，因为p是质数．所以p=2，综上所述，p=2或者p=5，验算：当p=2时，=4=22当p=5时，=16=42．故答案为2或5．二、解答题（共3小题，共60分）11、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=x，点F在边AB上，点G、H在边BC上，四边形EFGH是一个边长为y的正方形，且AE=AC．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x为何值时，y取得最大值？并求出y的最大值．考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；正方形的性质分析：延长FE，交AC于D，显然DF∥BC，则Rt△ADF∽Rt△ACB，利用AE=AC=x，求得DE，于是可得方程，然后解方程即可解：（1）如图，延长FE，交AC于D，∵DF∥BC，∴Rt△ADF∽Rt△ACB，∴，∴，两边平方，并整理得（x2+2x+2）y2﹣（x3+2x2+4x）y+2x2=0，解得：（另一解y=x舍去）．答：y关于x的函数解析式为．（2）由第（1）题得，当，即时，，答：当时，y最大值为．二、解答题（共3小题，共60分）12、求满足下列条件的正整数n的所有可能值：对这样的n，能找到实数a、b，使得函数f（x）=x2+ax+b对任意整数x，f（x）都是整数．考点：含字母系数的二次函数由题意函数f（x）=x2+ax+b对任意整数x，f（x）都是整数，则可令g（x）=f（x+1）﹣f（x），化简后得x++a，为整数；同理，g（x+1）﹣g（x）=也是整数，所以，n=1或2时，f（x）都是整数解：设函数f（x）=x2+ax+b对任意整数x，f（x）都是整数，则g（x）=f（x+1）﹣f（x），=[（x+1）2+a（x+1）+b]﹣[x2+ax+b]，=x++a，也为整数，则，g（x+1）﹣g（x）=也是整数，所以，n=1或2，当n=1时，取整数a、b，则f（x）=x2+ax+b对任意整数x，f（x）都是整数，当n=2时，取a=，b为整数，则f（x）=x2+x+b=x（x+1）+b