基于MATLAB的圆孔夫朗和费衍射现象

基于MATLAB的圆孔夫朗和费衍射现象(陈群20092301069华南师范大学物理与电信工程学院)摘要：本文首先回顾了单圆孔的夫朗和费衍射的特点，进而分析了双圆孔的夫朗和费衍射现象，双圆孔的夫朗和费衍射可以看成是两个单圆孔之和的夫朗和费衍射的叠加，所得结果对分析和理解圆孔夫朗和费衍射现象以及圆孔夫朗和费衍射演示实验的设计有参考价值。关键词：MATLAB，圆孔，双圆孔，夫朗和费衍射Abstract:ThepaperfirstreviewsthecharacteristicsoftheFraunhoferdiffractionofasingleholeandthenanalyzestheFraunhoferdiffractionphenomenonofthedouble-hole,thedoubleholesFraunhoferdiffractioncanbeseenasthesuperpositionoftwosingle-holeFraunhoferdiffraction.TheresultsisvaluabletoanalyzingandunderstandingtheholeFraunhoferdiffractionphenomenonanddesigningtheholeFraunhoferdiffractionKeyword:MATLAB,hole,doublehole,Fraunhoferdiffraction引言实际应用中许多光学元件的边缘都是圆形的，所以圆孔衍射是光学系统中常见的衍射现象。它也是基础光学的重要教学环节，而圆孔衍射现象的实验演示是重要的教学环节。由衍射理论知，当圆孔直径由大变小时，衍射条纹会由密变疏，同时衍射场强度会逐渐变弱，为了在接收屏上获得易于观察的条纹分布，条纹的疏密程度和衍射场的强度都需要达到适于肉眼观察的程度，这就对衍射屏提出了较高的要求。1、单圆孔夫朗和费衍射的数学模型1、1夫朗和费衍射的理论基础夫朗和费衍射装置的光路图如图1所示，其中分别在孔径平面和透镜焦平面建立坐标系11CYx和yxP0，两坐标原点C和P0在透镜光轴上。假设光在衍射屏上某某一波前点Q和观察屏P点的坐标分别是(x1,y1)和（x,y）。在远场条件下满足夫朗和费近似，即：，则：其中：r为QP的距离；z1为CP0的距离，k为波矢量。假设衍射孔受平面波垂直照射，即是常数，设为A'，则光强复振幅的分布满足以下夫朗和费衍射公式：式中：因此，观察屏上任意一点的光强为：对于不同情况的衍射屏，只要对衍射孔积分，理论上是可以求出观察屏上任意一点的光强的。1、2单圆孔夫朗和费衍射的数学模型如上图所示，当衍射孔是半径为a的圆孔时，圆孔的中心C位于光轴上，根据圆的对称性计算圆的光强分布的时候用极坐标比较方便。圆孔中任意点Q的位置，用直角坐标表示x1，y1；用极坐标表示为r1，1，两种坐标的关系为，根据夫朗和费衍射的光强公式，则积分域是圆孔面积，式中的面，而所以，P点的复振幅为其中因此，可以推出，其中，是的一阶贝塞尔公式。则有：，其中fyxaakaz2^2^2sin2，为轴上点处的光强，a为圆孔的半径，f为透镜L2焦距，为入射光的波长。1、3MATLAB仿真程序1、3、1建立了单圆孔夫朗和费衍射现象的数学模型后，依据所建立的数学模型很容易在MATLAB环境下编制可以直接执行的m文件。在程序中，输入圆孔的半径a=0.0005;光的波长lam=632.8e-9，透镜L2焦距f=1，I0=1单圆孔夫朗和费衍射现象的MATLAB仿真程序的m文件如下：%单圆孔的夫琅禾费衍射clearallcloseallclc%%lam=632.8e-9;a=0.0005;f=1;m=300;ym=4000*lam*f;ys=linspace(-ym,ym,m);xs=ys;n=200;fori=1:mr=xs(i)^2+ys.^2;sinth=sqrt(r./(r+f^2));x=2*pi*a*sinth./lam;hh=(2*BESSELJ(1,x)).^2./x.^2;b(:,i)=(hh)'.*5000;B=b/max(b);endimage(xs,ys,b)colormap(gray(n))figureplot(xs,B)colormap(green);1、3、2模拟结果改变圆孔半径a的大小，观察艾里斑的半径大小，由下面的计算机模拟结果可知：随着圆孔半径的增加，艾里斑的半径会逐渐变小，条纹密度变大，人的肉眼能分辨出的条纹越来越少。计算机模拟结果为：圆孔半径为a=0.0005圆孔半径a=0.0010圆孔半径为a=0.00202、双圆孔夫朗和费衍射2、1双圆孔夫朗和费衍射的数学模型对于单圆孔衍射屏，观察屏上的圆形衍射条纹的中心与透镜的焦点重合，与衍射屏上圆孔的位置无关，当圆孔在衍射屏上平移时，观察屏上的条纹半径和条纹位置均不发生变化。所以，当衍射屏上开两个直径相同的圆孔时，这两个圆孔在观察屏上分别产生的衍射条纹的中心均与透镜的焦点重合，两套条纹是重合的，总场是这两套圆条纹的相干叠加，以沿x方向分开放置的两个圆孔为例，其衍射光强可由双光束干涉的公式写出：2)]^2[cos(41II，其中fxd2，I为单圆孔夫朗和费衍射光强，d为两个圆孔中心之间的距离，x为观察屏上P点沿x方向的坐标。2、2双圆孔夫朗和费衍射MATLAB仿真2、2、1双圆孔夫朗和费衍射现象的MATLAB仿真程序的m文件如下：%双圆孔夫琅禾费衍射clearallcloseallclc%%lam=632.8e-9;a=0.0005;f=1;m=300;ym=4000*lam*f;ys=linspace(-ym,ym,m);xs=ys;n=200;fori=1:mr=xs(i)^2+ys.^2;sinth=sqrt(r./(r+f^2));x=2*pi*a*sinth./lam;h=(2*BESSELJ(1,x)).^2./x.^2;d=10*adeltaphi=2*pi*d*xs(i)/lam;hh=4*h*(cos(deltaphi/2))^2;b(:,i)=(hh)'.*5000;endimage(xs,ys,b)colormap(gray(n))2、2、2模拟结果由下图的计算机模拟结果可以看出：各级圆形条纹的半径与弹孔时完全相同，竖直方向的直条纹的间隔由d决定，中央极大的光强是单孔衍射时的4倍。计算机模拟结果为：d=10ad=15ad=20a3结束语随着计算机运算能力的飞速发展，计算机仿真技术作为虚拟实验的手段已经成为计算机应用的一个重要分支，在光学领域，基于Matlab的仿真技术正发挥着愈来愈重要的作用，特别是在光学教学过程中，对光学现象的理解离不开光学实验。采用Matlab编程对其进行仿真设计，可以得到满足各种条件的光学实验结果的图像，有助于学生更好的理解和掌握光学原理和现象。