高等数学2-3高阶导数隐函数求导

问题:变速直线运动的加速度.),(tss设)()(tstv则瞬时速度为是加速度a)(ta高阶导数也是由实际需要而引入的.这就是二阶导数的物理意义)(tv)]([ts的变化率对时间速度tv一、高阶导数的定义'的的导数称为将)()(xfxf二阶导数.记作),(xf22ddxy.d)(d22xxf或,y记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数..,),(33dxydyxf二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf注意：（1）)()()0(xfxf)()()1(xfxf的导数都存在。阶所有低于存在，则若nxfxfn)()()2()(二、高阶导数求法举例例1直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.求下列函数二阶导数。xysin)1()1ln()2(2xyxxyarctan)1()3(2的二阶导数。二阶可导，求：设例)(ln)(22xfxyxf解：xxfxxxfy1)(ln)(ln22)(ln)(ln2xfxxxf])(ln)(ln2[xfxxxfyxxfxxfxxfxxf1)(ln)(ln1)(ln2)(ln2)(ln)(ln)(ln2)(ln2xfxfxfxf例3.),()(nyRxy求设解1xy)(1xy2)1(x3)2)(1(x))1((2xy)1()1()1()(nxnynn则若,n)()()(nnnxy,!n)!()1(nyn.0)(0)(!)()1()1()()(nnnnxnxnn)6(5)(x例如：0)3(23)156(xxx6!3,)(ln3aayx例5设求解:,xay.)(ny,lnaayx,)(ln2aayxnxnaay)(ln)(例4.,)(nxyey求设解,xey,xey,,xey.)()(xnxee例6.,sin)(nyxy求设解)2sin()2sin(cosxxxy)2sin(x)sin(sinxxy)22sin(x)22cos(xy)23sin(x)2sin()(nxyn)2cos()(cos)(nxxn同理可得几个常用高阶导数公式)2sin()(sin)3()(nxxn)2cos()(cos)4()(nxxn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()()(0)(!)()1()1()()2()(nnnnxnxnn二、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(注意y=y(x))(含导数的方程)y例1.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因x=0时y=0,故确定的隐函数例2.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2(x即虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y.允许在的表达式中含有变量y.yy一般来说,隐函数求导,求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数从中解出即可.于是y的函数便是x的复合函数,的方程.y是x的函数,练习解,0sinyxey设.dxdy求利用隐函数求导法.将方程两边对x求导,得ycosyye1yexy0yyxeyeycos解出,y得3.对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数.,)4(1)1(23xexxxy如对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单.适用于方法先在方程两边取对数,--------对数求导法然后利用隐函数的求导法求出导数.例解yln求导得上式两边对xy1.,)4(1)1(23yexxxyx求设142)1(3111xxxy等式两边取对数得]142)1(3111[)4(1)1(23xxxexxxyx)1ln(xx)1ln(31x)4ln(2x隐函数有些显函数用对数求导法很方便.例如,两边取对数yln两边对x求导yybalnxabaxln]lnln[xba]lnln[axbbx)(xu])()()()(ln)([)()(xuxuxvxuxvxuyxv)(ln)(lnxuxvy两边对x求导得yy)(xv)0)((xu等式两边取对数得()()ln()()()uxvxuxvxuxy.)()2()(xvxu幂指函数.sinxxy如例解.),0(sinyxxyx求设xxylnsinln求导得上式两边对xxxxxyy1sinlncos1)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx等式两边取对数得.,yyxxy求设解,lnlnyxxy,lnlnyyxyxyxy.lnln22xxxyyyxyy例题等式两边取对数得求导得上式两边对x三、由参数方程所确定的函数的导数)()(tytx若参数方程如,,22tytx2xt2ty42xxy21t称此为由参数方程所确定的函数.22x消去参数yx确定与的函数关系xydd)()(ttdtdxdtdyxydd即所确定函数的导数为参数方程)()(tytx消参数困难或无法消参数如何求导.)cos1()sin(tayttax例如（参数方程所确定函数的二阶导公式不需掌握。）例解txtyxyddddddttcos1sintaatacossin2cos12sindd2txy.1处的导数。所确定函数在求由2)cos1()sin(ttayttax四、小结隐函数求导法则对数求导法对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导.参数方程求导注意:变量y是x的函数.将方程两边对x求导.高阶导数的定义;几个常用的基本初等函数的n阶导数公式(幂函数n阶导公式);dtdxdtdyxydd