晶格振动与晶体的热学性质

§3.1一维原子链的振动§3.2简正坐标和格波量子§3.3三维明显可知的振动模式§3.4离子晶体的光学模与电磁波的耦合§3.5声子模的实验测定§3.6晶体比热容§3.7热膨胀和固体的方程1·回顾：组成晶体的原子被认为是固定在格点位置(平衡位置)静止不动的！理想化模型2·认识：有限温度(T≠0K)下，组成晶体的原子或离子围绕平衡位置作微小振动格点“晶格振动”有限温度下，组成晶体的原子并非固定于格点位置，而是以格点为平衡位置作热振动，这种运动称为晶格振动序言3·晶格振动的作用与学习意义：※晶格振动使晶体势场偏离严格的周期性；※对Bloch电子有散射作用，从而影响与电子有关的运输性质：电导，霍尔效应，磁阻，温差电效应；※晶体的比热，热膨胀和热导等热学性质直接依赖于晶格振动；※晶体的光吸收和光发射等光学性质与晶格振动有关※电子-电子间通过晶格振动可出现不同于库仑力的相互作用，形成所谓库柏对，产生超导性。晶格动力学是固体物理学中最基础、最重要的部分之一！4.连续媒质中的弹性波(预备知识)连续媒质中弹性波的波动方程：22(,)(,)drtKrtdt222222xyz其中为拉普拉斯算符，在笛卡儿直角坐标系中rxiyjzk方程解的形式：()(,)iqrtrtAeq为波矢量，方向为波的传播方向；为波的角频率或圆频率.色散关系：||Kq4.1描写波的几个物理量1.周期和频率周期：质点完成一次全振动的时间，用T表示2T频率：单位时间内完成全振动的次数，为周期的倒数，1T所以：2角频率的意义就是秒内完成全振动的次数.22.波矢和波长等相面（波阵面）：位相相同的点组成的面，它与波矢垂直.波矢q：波的传播方向平面波：等相面为平面的波.波长：同一时刻相位相差的两点之间的长度，用表示.22q波矢与波长的关系：3.相速度和群速度沿波的传播方向，等相面传播的速度称为相速度，记为：pv对于弹性波，等相面满足qrt常数，求其微分得：0qdrdtpdrKvdtqqrt，则周期可表述为同一质点相位变化2要的时间.相位所需群速度：振幅传播的速度.大小为：gdvdq对于连续媒质弹性波，pvq，而pv与q无关.所以：()gpdvvqvdq群速度等于相速度.()pgppdvdvvqvqdqdq晶体中传播的格波，色散关系不是简单的线性关系，群速度和相速度不再相等.当不是常数时()qpv3.1.1简谐近似00220021()()()()2rrUUUrUrrr0()0rUr在平衡位置附近当振动很微小时，很小，上式只保留到2项，则原子间的相互作用力可表示为：022()rUfr其中022()rUr对于微小振动，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近的简谐振动.所以称这个近似为简谐近似3.1.2一维单原子链的振动模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原子质量为m.§3.1一维单原子链的振动1n2nn1n2na2nu1nunu1nu2nu2112()()nnnnndumuuuudt11(2)nnnuuu试探解:()iqnatnuAe求色散关系:2()(1)(1)(2)iqnatiqnaiqnaiqnaitmAeAeeee2(2)iqaiqamee22(1cos)mqa224sin2qam2|sin|2qamaamax0()q性质：(1)长波0q时,格波成为弹性波sin22qaqa112222qaqamm12vvam相群解释:很大,本来不连续的晶格可视为连续的了.随着q的增长，ω数值逐渐偏离线性关系，变得平缓，在布里渊区边界，格波频率达到极大值。qamax4m截止频率4mq一维单原子就像一个低通滤波器，它只能传播的弹性波，高于频率的弹性波被强烈衰减。max0max在布里渊区边界处：2,2,0qqavaq群速度为零，这是因为此时近邻原子散射的子波与入射波位相相差π，由B原子反射的子波到达近邻A原子处时恰好和A原子反射的子波同位相，对所有原子的散射波都满足上述条件，所以当时，散射子波之间发生相长干涉，结果反射达到最大值，并与入射波相结合，形成驻波，群速度为零。这和X射线衍射的Bragg条件是一致的，也同样显示了布里渊区边界的特征。它们都是由于入射波的波动性和晶格的周期性所产生的结果。入射波反射波qaexp()exp()(1)nnuAinaAinAa:qa相邻原子振动相位相反，波既不向右传播，也不向左传播，形成驻波(2)驻波特征sin12qamax(21)22qak所以：而此时12cos()2dqavadqm群即当(21)qka时，0v群能量不向外边传播——驻波原因：入时波和反射波的迭加（3）周期性：周期为一个倒格子矢量2()()nnuquqa2()()qqa2()xqa2()qa2()iqnaitaAe()2iqnatinAee()iqnatAe()xqmax|sin()|2aq()qmax2|sin()|2aqa所以把q限制在第一布区(,)aa4a3a2aa2a3aa0qω42qaa如：2455aqqa解释：q与q+分别对应不同的波长，为什么它们都描写同一运动状态呢？2a可以看出：两条曲线描写的格点的运动状态完全不同.唯一不同的就是两格点之间的运动状态.而这些中间状态的差异并不影响物理实质.所以为了使x～q（ω～q）的关系成为单值，限制q在第一布区，对一维来说q的取值(,]aa（4）第一布区里的分立波矢数＝晶体原胞数.晶体内独立状态数（振动频率数）＝晶体自由度数nnNxx1iqNae2nqNa2bqNaN证：使用周期性边界条件（图形）第一布区的长度：第一布区分立波矢数：2a222aaNqNa第二个结论显然是成立的.（5）状态密度连续介质222()2Vv格波()dZdZdqddqd222qqNZqbqbN222dZNNaLdqbddqq0q12(2()|sin|)2dqadqmcos2qaam格波有截止频率。0分立晶格()m连续模型1-D分立晶格和连续模型的区别：,()0mg范霍夫奇点22maxmax1121()coscos22LNNqaqam实际晶体的态密度：晶体的态密度函数原则上可以从理论上通过上述公式计算，先求出每支色散曲线相应的态密度：每个原胞有n个原子的晶体的总的态密度函数是：3()()njj()j右图是金属Al的晶格振动态密度合成图，总态密度是两支横波和一支纵波的叠加。Cu晶体的总振动态密度函数谱见黄昆书p133可以明显看出铜晶体的态密度函数，低频部分呈抛物线形状，这和色散曲线低q部分接近弹性波线性关系是一致的。求解格波步骤：（4）由久期方程求色散关系（1）列运动方程（2）取试探解（3）代入原方程，得到久期方程（5）加周期边界条件（6）求状态密度3.2.3一维双原子链的振动2n-22n-12n2n+12n+22n+32a2212222122222321222()(){nnnnnnnndumuuudtduMuuudt设Mm[(21)]21[(22)]22{iqnatniqnatnuAeuBe代入得到：整理得：22(2)2cos02cos(2)0{mAqaBqaAMB二元一次齐次方程有解的条件：系数行列式为零:2222cos02cos2mqaqaM22[()2][()2]{iqaiqaiqaiqamABeeAMBAeeB222(2)(2)4cos0mMqa42222()4(cos1)0MmMmqa42222()4(cos1)0MmMmqa解得：12222{()[2cos(2)]}mMmMmMqamM2支格波的最大频率和最小频率及相应得波矢分别为：max2,0qmin2,2qmamax2,2qMamin0,0qmMmm其中为约化质量2a2a122()m122()M声学支光学支0q一维双原子晶格得色散关系讨论：0q（1），声频支退化为弹性波122221{()[()4sin]}mMMmmMqamM1222()4{1[1sin]}()mMmMqamMMm22()14{1[1sin]}2()mMmMqamMMm2212sinqaMm1212()|sin|qaMm0qq0q（2），声学波描写原胞质心运动，光学波描写原胞中各原子之间得相对运动，并且质心保持不动.2222cos2cos2AMqaBqama.声频支121max2M0cos1qa0AB同向运动uq波长很长，相邻原子的位相差很小.表示质心的运动0qAB0mAMB质心不动22()2M11MmMMm()mMmmMm0qcos1qa1222b.光频支：122min2M0AB相邻原子反向运动uq光学支振动的说明：如果原胞内为两个带相反电荷的离子（如离子晶体），那么正负离子的相对振动必然会产生电偶极矩，而这一电偶极矩可以和电磁波发生相互作用。在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。实际晶体的长光学波的对应远红外的光波，因此离子晶体的长光学波的共振能够引起远红外光在附近的强烈吸收，正是基于此性质，支被称作光学支。1314(0)1010/s（3）晶格中振动的波矢数＝晶体的原胞数晶格振动的频率数＝晶体的自由度数证：加周期性边界条件212()1nnNuuN为原胞数21iqNae22qNanlqNaqNa第一布区：(,]aa波矢数：aNq波矢数为原胞数，每个原胞中有两个原子，对每个q对应两个频率，显然第二条规律也是满足的.这两条规律对三维也是适用的.(1)方便于求解原子运动方程.除了原子链两端的两个原子外,其它原子的运动方程构成了个联立方程组.但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子,其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关,运动方程与其它原子的运动方程迥然不同.与其它原子的运动方程不同的这两个方程,给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.2)与实验结果吻合得较好晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证.玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件.实验测得的振动谱与理论相符的事实说明,玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.★设想在有限晶体之外还有无穷多个完全相同的晶体，互相平行的堆积充满整个空间，组成一个无限晶体，保证了有限晶体的平移对称性—在各个相同晶体块内相应原子的运动情况应当完全相同；★一维晶格：将许多完全相同的原子链首尾连接成无穷长链——第N+1个原子就是第1个原子，第N+2个原子就是第2个原子……也可以把它看作是N个原子构成的圆环！保证了从晶体内任一点出发平移Na后必将返回原处！∴边界条件：un=un+N3.2简正坐标和格波量子3.2.1简正坐标一维单原子链，