数值分析第一章优秀学习小结

第1章绪论--------学习小结姓名班级学号一、本章学习体会通过本章知识的学习，掌握了误差与有效数字之间的关系，知道了算法及其计算复杂性，掌握了范数的有关知识。我感受最深的是算法及其计算复杂性，因为计算机存储数据有限，只能保留几位有效数字，因而产生了误差。举个简单的例子，比如算4/3,若用1/3算的结果再乘以4所得的数值与直接用4/3所得数值相比较必然有误差。如果保留四小数点后四位，1/3≈0.3333，用0.3333*4=1.3332；直接用4/3≈1.3333，可见两种算法的差别。虽然两种算法符合运算规律，但由于计算机的特殊性，我们必须要要减少舍入误差的影响，因此必须遵循一些原则：要有数值稳定性，两数相减时要防止较小的数加不到较大的数中所引起的严重后果，要尽量避免两个相近的的近似值相减，除法运算中要尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值等。在计算机普及的今天，我们应该遵循一些减少误差的原则，使数据结果更具可靠性。对于向量范数与矩阵范数，学习时挺费劲的，算法也复杂，还好有MATLAB软件，只要程序输入对了，求任何范数都非常简单。因此最重要的还是要好好学习MATLAB软件，由于大学时对这个软件接触很少，故还得花一些时间。二、本章知识梳理绪论数值分析与研究对象误差知识与算法知识了解！误差的来源与分类绝对误差相对误差有效数字函数求值的误差估计算法及其计算的复杂性设a是准确值x的一个近似值，记e=x-a，称e为近似值a的绝对误差。如果｜e｜≤ε，则称ε为近似值a的绝对误差限。定义定义设a是准确值x的一个近似值，re=xaxxe，称re为a的相对误差。re=a称为a的相对误差限。定义设a为x的近似值，如果a的绝对误差限是它的某一位的半个单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有n位，则称a有n为有效数字。三者间的关系1、泰勒公式的应用：)()(u~aaf）（2、对公式:)(ba）（ab）（ba)(bar)(bar)(abr)(bar熟练应用要遵循减少误差的原则，使计算得到所给定的精度。了解！重点备注：用Matlab软件会求范数的1-范数、2-范数、-范数等。范数向量范数矩阵范数定义（1）0x，仅当x=0时，x=0；（2）kR有xkkx（3）yxyx。其中nRA定义（1）0A仅当A=0时，A=0；（2）对kR有AkkA；（3）BABA；（4）BAAB。其中nnRA关系若满足xAAx，则称两范数相容。对nR向量范数和任意nnR矩阵，令AxAx1max，则A是矩阵范数，并与该向量范数相容。定理定理niixx11niixx122inixx1maxxMxxm其中nRx，0mMniijnjaA111max)(max2AAATnjijniaA11maxnjiijFaA1,2其中nnijRaA][算子范数定义单位矩阵I满足1max1IxIx重点三、本章思考题常数的误差与函数求值的误差有何异同？试举例说明。答：任何常数的绝对误差：ka-1021）（，其中k取决于有效数字的位数，但21这个数字是不变的；相对误差：aaar)()(。函数求值的绝对误差可用泰勒公式)()(~aafu）（来求，也可根据和差乘除公式来求，但不一定是21乘以10的多少次方这点不同；相对误差公式一样：uuur~)~()~(。例：（1）近似值a=0.01254有四位有效数字，则51021）（a（2）若p=ab，a=0.06，b=0.209，a有一位有效数字，b有三位有效数字，求p的绝对误差。错误解法：p=ab=0.060.209=0.01254，则51021）（p正确解法：p=ab=0.060.209=0.01254001075.01021209.0102106.0)()(2-3-abbaabp）（）（两题的相对误差解法相同，不再赘述。由此可见，常数的绝对误差与函数求值的绝对误差的解法是有区别的。四、本章测验题已知Tx752，153241312A。试求px（,2,1p）和1AAFA,并说明1x、2x、x与FA是否相容。解：（1）1475211niixx78752222122niixx7max1inixx（2）10541max111niijnjaA9153max11njijniaA70125941619141,2njiijFaA（3）TAx38323010038323011niixAx3368383230222122niixAx38max1inixAx因为1AxFA1x所以1x与FA相容因为2AxFA2x所以2x与FA相容因为AxFAx所以x与FA相容【备注】此题主要考察了公式和定理的应用，考查了向量范数和矩阵范数的有关范数的求法，并考察了向量范数与矩阵范数相容的关系。难度系数0.60。