自动控制原理(上)第4章控制系统的根轨迹分析法

AddYourCompanySlogan机械工业出版社第4章控制系统的根轨迹分析法4.1引言第4章控制系统的根轨迹分析法14.2根轨迹法的基本概念24.3根轨迹的绘制34.4广义根轨迹的绘制44.5利用根轨迹图分析控制系统性能524.6用MATLAB进行控制系统的根轨迹分析64.1引言3一.根轨迹二.根轨迹与系统性能4根轨迹就是指当系统的开环传递函数的某个参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环极点，即特征方程的根在复平面上变化的轨迹。设控制系统如图4-1所示，其开环和闭环传递函数为()(0.51)KGsss22()2()()2222YsKKsRsssKssK系统闭环特征方程式的根为22()2220DsssKssK系统的闭环特征方程为111211sKK211211sKK一.根轨迹5一.根轨迹6从根轨迹中可以直观的看出当开环增益K变化时，系统的闭环极点变化的情况和分布规律。二.根轨迹与系统性能（1）稳定性从图4-2可以看到，系统对于任意的K0，系统始终是稳定的。（2）稳态性能从图4-2可以看到，系统有一个开环极点位于坐标原点，所以该系统是I型系统，系统在给定输入信号下的稳态误差由静态速度误差系数决定。（3）动态性能图4-1所示系统是一个典型的二阶系统，系统的性能由系统闭环极点的性质决定。4.2根轨迹法的基本概念7一.根轨迹方程二.系统闭环零点、极点和开环零点、极点的关系三.相角条件和幅值条件8设控制系统如图4-3所示，其闭环传递函数为()()()1()()YsGsRsGsHs*1111(1)()()(1)()aaGkGkkkbbkkkkKsKszGssTssp一.根轨迹方程式中前向通道传递函数G(s)和反馈通道传递函数H(s)分别可以表示为1111(1)()()(1)()ccHlHlllddllllKsKszHsTssp9则系统开环传递函数为*111111()()()()()()()()macjGHkljklbdnklikliKszKKszszGsHsspspsp一.根轨迹方程闭环传递函数为111111()()()()()1()()()()()()acGklklbdacklklklklKszspYsGsRsGsHsspspKszsz1111()()()()acGklklnmijijKszspspKsz10根轨迹的绘制的实质就是在s平面标注系统闭环极点的过程，而系统的闭环极点由下式所得，称为根轨迹方程。一.根轨迹方程111()()()()0nmijijGsHsspKsz111）系统的闭环零点由系统前向通道的零点和反馈通道的极点组成，当系统是单位反馈系统时，即时，系统的闭环零点等于系统的开环零点。2）系统的闭环极点与系统的开环零点、开环极点和开环根轨迹增益有关。3）系统的闭环根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益，当系统是单位反馈系统时，即时，系统的闭环根轨迹增益等于系统的开环根轨迹增益。二.系统闭环零点、极点和开环零点、极点的关系在利用根轨迹方程进行根轨迹绘制之前，首先要了解系统闭环零点、极点和开环零点、极点之间的关系。124）系统的开环根轨迹增益与系统的开环增益之间只相差一个系数，如下式所示二.系统闭环零点、极点和开环零点、极点的关系11111111GacacGHklklklklHbdbdklklklklKKKKKKTTTT13由的根轨迹方程可得三.相角条件和幅值条件()()1GsHs即1j(21)1()110,1,2,...()mjjkniiKszeksp14可以得到绘制根轨迹的相角条件和幅值条件。三.相角条件和幅值条件11()()(21)0,1,2,...mnjijiszspkk相角条件11||||niimjjspKsz幅值条件当系统无开环零点时，幅值条件可表示为1||niiKsp15三.相角条件和幅值条件解因为111221220()()(21)0,1,2,...0()()(21)0,1,2,...spspkkspspkk【例4-1】已知反馈系统的开环传递函数为试用相角条件和幅值条件确定s1=-1+j,s2=-1-j是系统的共轭闭环极点，并计算此时系统开环增益K的值。()()(0.51)KGsHsss2()()(0.51)(2)KKGsHsssss如果s1，s2是系统的闭环极点，就要满足相角条件，即16三.相角条件和幅值条件从图4-4可得11121||||||niiKspspspoooooo01354518002253155403由幅值条件，有满足相角条件，所以s1，s2是系统的闭环极点。从图4-4可得1112||||222Kspsp12KK4.3根轨迹的绘制17一.绘制根轨迹图的基本法则二.绘制根轨迹图举例18一.绘制根轨迹图的基本法则1.根轨迹的连续性和对称性根轨迹是连续的，并且对称于实轴。又因为系统特征方程的根或是实数，或是共轭复数，所以根轨迹一定是对称于实轴的。2.根轨迹的分支数根轨迹在s平面上的分支数等于闭环传递函数的阶数n，也即是开环传递函数的阶数。19一.绘制根轨迹图的基本法则3.根轨迹的起点和终点11()1()mjjniiszKsp根轨迹起始于系统的开环极点，终止于系统的开环零点（m条根轨迹终止于m个开环零点，有n-m条根轨迹终止于无穷远处）。当K*=0时，由得s=pi。11()1lim0()mjjnKiiszKsp当K*=∞时，由得s=zi或s=∞。20一.绘制根轨迹图的基本法则4.实轴上的根轨迹实轴上的某一区域，如果其右边开环实数零点、极点的个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。设系统的开环零点、极点分布如图4-5所示，对于闭环极点s1，由相角条件有11111212345134()()()()()mnjijiszsp所以闭环极点s1是根轨迹上的点。21一.绘制根轨迹图的基本法则5.根轨迹的渐近线如果系统的开环极点数n大于开环零点数m，当根轨迹增益K*由0∞时，必有n-m条根轨迹沿着与实轴交角为a、交点为的一组渐近线趋向无穷远处。其中11anmijijpznm渐进线与实轴的交点a(21)(0,1,2,.......)kknm渐进线与实轴交角22一.绘制根轨迹图的基本法则6.根轨迹的起始角和终止角根轨迹起始于开环复极点处的切线与正实轴的夹角称为根轨迹的起始角pi；根轨迹终止于开环复零点处的切线与正实轴的夹角称为根轨迹的终止角zj，这些角度可由以下公式求出11(21)()()imnpijijjjjikpzpp11(21)()()imnzijijjjjikzzzp23一.绘制根轨迹图的基本法则7.根轨迹的分离点求根轨迹的分离点，就是求取闭环特征方程的重根，设系统的闭环特征方程为11()()1()()10()mjjniiKszDsGsHsspd0dKs则根轨迹的分离点就是上述方程的解工程上可以通过以下等式，使用试探法，找到使等式近似成立的点，这个点就是系统的分离点。1111mnjijidzdp24一.绘制根轨迹图的基本法则()()(1)(2)KGsHssss1()()10(1)(2)KGsHssss试求系统根轨迹的分离点坐标。120.423,1.577()ss舍去【例4-2】设反馈系统的开环传递函数为解由系统的开环传递函数可以得系统的特征方程为则有(1)(2)0Ksss求解2d(362)0dKsss得到根25一.绘制根轨迹图的基本法则(1)()()(2)(3)KsGsHssss试绘制系统的根轨迹。【例4-3】设反馈系统的开环传递函数为解1）根轨迹的分支数：3条2）根轨迹的起始点：0，－2，－3终止点：－1，∞，∞3）实轴上的根轨迹：[－1,0]，[－3,－2]26一.绘制根轨迹图的基本法则a(21)(21)90,27031kknm11a(023)(1)231nmijijpznm4）根轨迹的渐进线：5）根轨迹的分离点：11111023dddd在[-3,-2]上取一试探点d=－2.5，带入上式，有11111023dddd27一.绘制根轨迹图的基本法则5）根轨迹的分离点：11111023dddd在[-3,-2]上取一试探点d=－2.5，带入上式，有11110.670.41023dddd和等式两边不等，在带入d＝－2.47，计算得11110.680.651023dddd和等式两边近似相等，所以分离点d=－2.47。28一.绘制根轨迹图的基本法则综上，系统的根轨迹如图4-8所示。29一.绘制根轨迹图的基本法则8.会合角和分离角根轨迹在进入分离点时与实轴正方向的夹角称为会合角，根轨迹在离开分离点时与实轴正方向的夹角称为分离角。可以通过下面的公式计算会合角和分离角111(21)()()nndiiilikdsdpl111(21)()()mndiiiilkdzdsl30一.绘制根轨迹图的基本法则9.根轨迹与虚轴的交点（1）利用劳斯判据求取如果系统的特征方程可表示为如下形式120121.....0nnnnnasasasasaRe[1(j)(j)]01(j)(j)0Im[1(j)(j)]0GHGHGH由劳斯判据，在劳斯表第一列元素中有一项为零，其它项都大于零，此时系统处于临界稳定状态。（2）利用特征方程求取将s＝jw带入系统的特征方程，得可以解出根轨迹与虚轴的交点坐标值w及对应的临界K值。31一.绘制根轨迹图的基本法则*()()(1)(2)KGsHssss试确定根轨迹与虚轴的交点及此时临界稳定的K*值。【例4-4】设系统的开环传递函数为解方法1利用劳斯判据求取系统的特征方程为：令劳斯表第一列元素(6-K*)/3=0，得到临界稳定的K*=6，再由劳斯表中项构造辅助方程*32*(1)(2)320sssKsssK2*30sK得到根轨迹与虚轴的交点为1,2j2s32一.绘制根轨迹图的基本法则方法2利用特征方程求取将s＝j带入系统的特征方程，有第一组解是根轨迹的起始点，第二组就是根轨迹与虚轴的交点坐标及临界稳定K*值。322323(j)3(j)2(j)3j(2)030(2)00206KKKKK或33一.绘制根轨迹图的基本法则10.根之和与根之积（1）当n-m≥2时，无论K*取何值，系统n个开环极点之和总等于系统n个闭环极点之和，即11nniiiisp1(1)nninisa（2）闭环特征根之和的负值，等于闭环特征方程的第二项系数a1，即（3）闭环特征根之积乘以，等于闭环特征方程的常数项，即11niisa34二.绘制根轨迹图举例2()()(4)(22)KGsHsssss试绘制系统的根轨迹。【例4-5】设系统的开环传递函数为解1）根轨迹的分支数：4条2）根轨迹的起始点：0，－