2-2-2015学时

2015/3/9©HUST20122015/3/9第二章光纤光学的基本方程2015/3/9©HUST20122015/3/9光纤光学的研究方法几何光学方法：光纤芯径远大于光波波长λ0时,可以近似认为λ0→0，从而将光波近似看成由一根一根光线所构成,因此可采用几何光学方法来分析光线的入射、传播(轨迹)以及时延(色散)和光强分布等特性，这种分析方法即为光线理论。优点：简单直观，适合于分析芯径较粗的多模光纤。缺点：不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合以及光场分布等现象，分析单模光纤时结果存在很大的误差。2015/3/9©HUST20122015/3/9波动光学方法：是一种严格的分析方法，从光波的本质特性电磁波出发，通过求解电磁波所遵从的麦克斯韦方程，导出电磁波的场分布。优点：具有理论上的严谨性，未做任何前提近似，因此适用于各种折射率分布的单模和多模光纤。缺点：分析过程较为复杂。2015/3/9©HUST20122015/3/9光纤光学的研究方法比较几何光学方法波动光学方法适用条件λdλ∼d研究对象光线模式基本方程射线方程波导场方程研究方法折射/反射定理边值问题研究内容光线轨迹模式分布2015/3/9©HUST20122015/3/9光线理论与波动理论分析思路电磁分离波动方程waveequation纵横分离波导场方程时空分离亥姆赫兹方程Helmholtzequation2015/3/9©HUST20122015/3/9@HUST20102010-3-26补充数学知识2015/3/9©HUST20122015/3/9@HUST20102010-3-27补充数学知识zererezeyexezrzyx∂∂+∂∂+∂∂=∇∂∂+∂∂+∂∂=∇φφ.1为梯度算符，在直角坐标系与圆柱坐标系中分别为：∇2015/3/9©HUST20122015/3/9zzazOϕrxP(ρ,ϕ,z)yaϕaρρ直角坐标系与圆柱坐标系P(X,Y,Z)zZyxXYOrazaxay直角坐标系圆柱坐标系位置矢量rrrereφezezexey2015/3/9©HUST20122015/3/92.1麦克斯韦方程与亥姆赫兹方程一、麦克斯韦方程光纤是一种介质光波导，具有如下特点：①无传导电流；②无自由电荷；③线性各向同性。00//=⋅∇=⋅∇−=×∇=×∇BDtBEtDH∂∂∂∂D＝εEB＝μHε＝ε0n20µ—材料在真空中的磁导率；0ε—材料在真空中的介电常数；n—材料折射率2015/3/9©HUST20122015/3/9边界条件：在两种介质交界面上电磁场矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要连续,D与B的法向分量连续：()()()()212121210000nDDnBBnEEnHH•−=•−=×−=×−=2015/3/9©HUST20122015/3/9电场、磁场关系式矢量关系式电场强度E的波动方程式该方程只与电场强度E有关，与磁场H无关。8电磁矢量分离：波动方程00//=⋅∇=⋅∇−=×∇=×∇BDtBEtDH∂∂∂∂2015/3/9©HUST20122015/3/99@HUST20102010-3-2矢量波方程这是电磁波普遍适用的精确方程。在光纤中，折射率变化非常缓慢，可近似认为于是上述方程可简化为标量波方程Notice：该方程为近似结果，适用于光纤中的一般问题。若要进行精密分析，要用矢量方程。矢量E(x,y,z,t)和H(x,y,z,t)的每一个分量均满足该式！22//2222tHHtEE∂∂=∇∂∂=∇→→→→εµεµ2015/3/9©HUST20122015/3/9分离变量:时空坐标分离令场分量为：得到关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式，即亥姆霍兹方程：前提：光纤传播单色光波，时间函数为简谐函数0/2/nkVkp====λπωεµω0),,(),,(22=Ψ+Ψ∇zyxkzyxtiezyxtzyxωφ),,(),,,(Ψ=2015/3/9©HUST20122015/3/9∞→0k)],,(exp[),,(),,(00zyxSikzyxzyx−Ψ=Ψ0).2()./(02200020220=Ψ∇+∇Ψ+∇∇−Ψ∇∇−SSSikSSkkk设上述的标量场方程的解有如下形式：S(x,y,z)是光程函数，代入亥姆赫兹方程得：根据光线理论的几何光学近似条件，有，则),,(/)(22022zyxnkkS==∇——光程函数方程若已知折射率分布，可由上述方程求出光程函数S，则可确定光线的轨迹。2.2程函方程与射线方程一、程函方程：光程函数方程2015/3/9©HUST20122015/3/9二、光线方程由光程函数方程可推得光线方程：rrdr+drds(),,Sxyz设光线函数为S(x,y,z)，取线段元dS为dS的切线，dr的单位矢量：drdruds=S的方向导数为：//uγ⇒nγ⇒=()ddrnnrdSdS=∇S∇=γ),,()(22zyxnS=∇由2015/3/9©HUST20122015/3/9单位矢量相等：Sdsrdnnu∇=⇒=γddrnndsds⇒=∇光线方程2015/3/9©HUST20122015/3/9光线方程的物理意义：当光线与z轴夹角很小时，有：()ddrnnrdzdz=∇物理意义：•将光线轨迹(由r描述)和空间折射率分布(n)联系起来;•由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式;•dr/dS是光线切向斜率,对于均匀波导，n为常数,光线以直线形式传播;对于渐变波导,n是r的函数,则dr/dS为一变量,这表明光线将发生弯曲。而且可以证明,光线总是向折射率高的区域弯曲。2015/3/9©HUST20122015/3/9由光线方程可以证明下列关系式成立：光线总是向折射率高的区域弯曲nNrnR∇=.)(11课后作业题：证明上式。2015/3/9©HUST20122015/3/9典型光线传播轨迹反射型折射型2015/3/9©HUST20122015/3/9麦克斯韦方程场的波动方程亥姆霍兹方程波导场方程电、磁分离时、空分离纵、横分离直角坐标系or圆柱坐标系下研究任意场分量都满足.选哪个场分量研究呢？能方便求出其他场分量！2.3波导场方程2015/3/9©HUST20122015/3/9波动理论•亥姆霍兹方程：•特征：拉普拉斯算符作用在场分量函数上的结果等于该函数与一常数-k2的乘积。——这类方程在数学上称为本征方程，常数k称为本征值，该函数称为本征函数。波动理论：对于给定的边界条件求本征方程的解——本征解及对应本征值12121212ttttnnnnEEHHBBDD====2015/3/9©HUST20122015/3/9光纤波导光波传输特征：在纵向（轴向）以“行波”形式存在，横向以“驻波”形式存在。场分布沿轴向只有相位变化，没有幅度变化。进行空间坐标纵、横分离，令代入亥姆霍兹方程得到空间坐标纵横分离：波导场方程2015/3/9©HUST20122015/3/9•由此得到电场E和磁场H的场分布满足的波导场方程：数学物理意义：是波动光学方法的最基本方程。它是一个典型的本征方程,其本征值为χ或β。当给定波导的边界条件时,求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为“模式”.2015/3/9©HUST20122015/3/9模式及其基本性质每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波;每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条件;模式具有确定的相速群速和横场分布.模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。给定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的,外界激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。(χ和β及边界条件均由光纤本身决定，与外界激励源无关)2015/3/9©HUST20122015/3/9•横模•光波在传输过程中，在光束横截面上将形成具有各种不同形式的稳定分布，这种具有稳定光强分布的电磁波，称为横模。横模（表现在光斑形状）的分布是和光波传输区域的横向（xy面）结构相关的；•光纤中的模式：光纤中的模式-横模2015/3/9©HUST20122015/3/9纵模•相长干涉条件：2nL＝Kλ•纵模是与激光腔长度相关的，所以叫做“纵模”，纵模是指频率而言的。2015/3/9©HUST20122015/3/9模式的场分量•模式场分布由六个场分量唯一决定：直角坐标系：ExEyEzHxHyHz圆柱坐标系：ErEφEzHrHφHz•Ez和Hz总是独立满足波导场方程•场的横向分量可由纵向分量来表示——6个场分量可简化为2个纵向场分量的求解。说明：光纤为圆柱型波导，通常在圆柱坐标系下研究更为方便。此时其两个横向分量相互交叠，没有如此简单的分量方程，只有纵向分量满足独立的波导场方程。2015/3/9©HUST20122015/3/9直角坐标系纵横关系式2015/3/9©HUST20122015/3/9圆柱坐标系纵横关系式2015/3/9©HUST20122015/3/930横纵关系式已知场的横向分量，可知场的纵向分量直角坐标系下圆柱坐标系下2015/3/9©HUST20122015/3/9纵横关系式推导•对于单色波，任一场分量由麦克斯韦方程组可得：直角坐标系下：柱坐标系下：2015/3/9©HUST20122015/3/9直角坐标系各分量方程2015/3/9©HUST20122015/3/91、模场分布•即波导场方程满足边界条件的本征解直角坐标系：(Ex、Ey、Ez)(Hx、Hy、Hz)圆柱坐标系：(Er、Eφ、Ez)(Hr、Hφ、Hz)2.4模式及其基本性质2015/3/9©HUST20122015/3/9342、模式命名•根据场的纵向分量Ez和Hz的存在与否,可将模式命名为:(1)横电磁模(TEM):Ez＝Hz＝0;(2)横电模(TE):Ez＝0,Hz≠0;(3)横磁模(TM):Ez≠0,Hz＝0;(4)混杂模(HE或EH):Ez≠0,Hz≠0。•光纤中存在的模式多数为HE(EH)模,有时也出现TE(TM)模。2015/3/9©HUST20122015/3/93、纵向传播常数（β）•β实际上是等相位面沿z轴的变化率；•β数值分立，对应一组导模；•不同的导模对应于同一个β数值，我们称这些导模是简并的；z方向单位长度位相变化率;波矢量k的z-分量zθ0()knrk=βχz22022220220)()(arknarkrnr−−=ββχ0102knknβ芯区：χ为实数包层：χ为纯虚数芯区：χ为实数包层：χ为纯虚数0coszzkenkβθ==纵向传播常数（β）：即与本征解相对应的本征值2015/3/9©HUST20122015/3/93、归一化频率（V）给定光纤中,允许存在的导模由其结构参数所限定。光纤的结构参数可由其归一化频率V表征:V值越大，允许存在的导模数就越多。2212010022VannkankaNAπλ=−=∆=⋅2)2(2VggM+=2015/3/9©HUST20122015/3/94、横向传播常数（U、W）横向分量：220211β−=χkn（对应于纤芯）220222β−=χkn（对应于包层）定义横向传播常数：akniaW⋅−β=χ−=202222aknaU⋅β−=χ=220211222WUV+=满足：场归一化传播常数：202220212022222knknknVWb−−β==芯区：χ1为实数;包层：χ2为纯虚数2015/3/9©HUST20122015/3/9横向传播常数（U、W）的特性在纤芯中，1χ是实数，在包层中，2χ是纯虚数。U——导模在芯区中的驻波场的横向振荡频率W——导模在包层中消逝场的衰减速度，W越大，衰减越快，0→W场在包层中不衰减，导模转化为辐射模，导模截止截止条件：远离截止条件：∞→W场在包层中不存在，导模被约束在纤芯中，约束最强，远离截止2015/3/9©HUST20122015/3/95、相速度与群速度相速度：场的等相位面沿z轴的传播速度