基本不等式精品课件

§3基本不等式1不等关系吗？或图中找出一些相等关系＂设计的．你能在这个图古代数学家赵爽的＂弦会标，会标是根据中国的２４届国际数学家大会上图是在北京召开的第一、新课引入ADBCEFGHab22ab不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab证明推导1：结论：如果a、b∈R,那么a²+b²≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)以公式(1)为基础,运用不等式的性质推导公式(2)这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法。如果a、b∈R,那么有(a-b)²≥0(1)把(1)式左边展开，得a²-2ab+b²≥0∴a²+b²≥2ab(2)(2)式中取等号成立的充要条件是什么？证明推导2：:基本不等式22(1)2(,____);ababab预备不等式(2)(,____).2ababab均值不等式()分析法证明不等式?)2(,,,.,,,,的几何解释得出不等式．试用这个图形连接的弦垂直于作过点上一点点Ｃ是是圆的直径如图BDADDEABCbBCaACABAB证明推导3：证明推导4：均值不等式的几何解释是:半径不小于半弦.均值不等式的代数解释为:两个正数的等差中项不小它们的等比中项.两个不等式的适用范围不同结论推广公式如果a1，a2，…，an0，且n1，那么(a1+a2+···+an)/n叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数。a1a2···ann结论：n个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。如果a1，a2，…，an0，且n1，那么(a1+a2+···+an)/n≥nnaaa21二、新课讲解1.,,:ab例均为正数证明以下不等式;112)1(baab.22)2(22baba:重要结论222(,).1122ababababRab其中当且仅当a＝b时取等号.三、探索由a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式(2)，有a²+b²≥2ab;b²+c²≥2bc;c²+a²≥2ca.把以上三式叠加，得a²+b²+c²≥ab+bc+ca（a、b、c∈R）(3)(当且仅当a=b=c时取“=”号)从以上推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法—迭代与叠加.证明：a²+b²+c²≥ab+bc+ca（a、b、c∈R）(当且仅当a=b=c时取“=”号).2,,)1(”号）时取“（当时当baabbaRba.21,,)2(aaRba时当变式：3种情况，5个结论：abbaabbaRba22,22，时，有当abbaabbaRba22,22，时，有当”不成立，显然“时，有当abbaba2022推广：（1）两个正数积为定值，和有最小值。（2）两个正数和为定值，积有最大值。应用要点：一正二定三相等2、(04重庆）已知则xy的最大值是。232(0,0)xyxy练习：1、当x0时，的最小值为，此时x=。1xx21思考：当x0时表达式又有何最值呢？16§3.基本不等式(2)一、复习引入:.解决以下问题引例?,36)1(2哪个矩形的周长最小的矩形中面积为cm?,36)2(哪个矩形的面积最大的矩形中周长为cm:),(都是正数重要结论yx____;____,____,)1(值有最和时则当且仅当是定值若积yxPxy.________,____,)2(值有最积时则当且仅当是定值若和xySyx二、新课讲解:以上结论成立的条件;)1(都必须是正数与yx);()2(定值的积或和必须是常数与yx.)3(在等号成立的条件必须存),,(三相等二定一正:.1误判断以下解题过程的正例.2,2121:;1,0)1(原式有最小值解的最值求已知xxxxxxx.221,11,2121:;1,21)2(22222xxxxxxxxx有最小值时即当且仅当解的最小值求时已知.,2,4.4,4424:.4,3)3(等号成立时即当且仅当原式有最小值解的最小值求已知xxxxxxxxxx:____2.1的是下列函数的最小值为练xxyA1.)20(sin1sin.xxxyB212.22xxyC)20(tan1tan.xxxyD:.2求以下问题中的最值练____;94,____,0)1(有最小值时则当若aaaa____;lglg,20,)2(的最大值满足正数yxyxyx.____,22,,)3(的最大值是且都为正数xyyxyx:.2求以下问题中的最值例____;141,1)1(的最小值是设xxx.____14,1).1(的最小值是设变式xxx____;)1(,10)2(的最大值是则函数设xxyx.____)21(,210).2(最大值是设变式xxyx例3.已知lgx+lgy＝1，的最小值是______.yx252143,,3xyxxx例、若函数当为何值时，函数有最值，并求其最值。例1.用篱笆围一个面积为100m2矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？练习1:已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？结论1：两个正数积为定值，则和有最小值例2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？练习2:用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折?结论2：两个正数和为定值，则积有最大值注意：在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应验证三点：“一正、二定、三相等”后才能取最值.当条件不完全具备时，应创造条件.例3:某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。分析：设污水处理池的长为xm,总造价为y元，（1）建立x的函数y；（2）求y的最值.设污水处理池的长为xm,总造价为y元，则解：y=400·(2x+200/x×2)+248·(2×200/x)+80×200=800x+259200/x+16000.当且仅当800x=259200/x,即x=18时，取等号。≥160002592008002xx答：池长18m，宽100/9m时，造价最低为30400元。某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。练习3.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？【解题回顾】用不等式解决有关实际应用问题，一般先要将实际问题数学化，建立所求问题的代数式，然后再据此确定是解不等式，还是用不等式知识求目标函数式的最值.若正数x、y满足x+2y＝1.求的最小值.yx11【解题回顾】本题常有以下错误解法：错误的原因在两次运用平均不等式的时候取等号的条件矛盾.(第一次须x＝2y，第二次须x＝y).求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法.241211221xyyxxy，，xyyx2221练习4.5.“a＞0且b＞0”是“”成立的()(A)充分而非必要条件(B)必要而非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件6.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的情况是()(A)甲车先到达B地(B)乙车先到达B地(C)同时到达(D)不能判定abba2AA7.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()(A)5公里(B)4公里(C)3公里(D)2公里C小结：