建筑材料力学第四章静定结构的位移计算

静定结构的位移计算第四章§4-1概述§4-3图乘法§4-2变形体虚功原理及静定位移计算一般公式建筑力学§4-1概述一、静定结构的位移静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线位移、竖向线位移以及角位移。1.截面位移桁架受荷载作用刚架受荷载作用BuAPFBVBCABCPFcvcuc建筑力学支座B下沉cvcABCC'温度变化c1t2tABC'C12ttcucv建筑力学次梁跨中挠度主梁跨中挠度楼盖跨中挠度吊车梁跨中挠度二、位移计算的目的1）验算结构的刚度11()200300l1400l11()200300l11()500600l(L为梁板的跨度)建筑力学2）为超静定结构的内力和位移计算准备条件求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求得内力或位移的唯一解，还要补充位移条件。12kN7.5kN.m9kN.m2m2mABkNFyB75.3如右图示超静定单跨梁，若只满足平衡条件，内力可以由无穷多组解答，例如可以取任意值。yBF建筑力学三、实功和虚功：1.实功力在由该力引起的位移上所作的功称为实功。即1PF1右图中，外力是从零开始线性增大至，位移也从零线性增大至。也称为静力实功。1PF11112PWFFP1Δ11121PFW建筑力学2.虚功力FP在由非该力引起的位移Δ上所作的功叫作虚功。右图简支梁，先加上，则两截面1PF1、2之位移分别为、。然后加122PF，则1、2截面产生新的位移。12和FP1FP2121212建筑力学实功：虚功：11221122PPFF11PF虚功强调作功的力与位移无关。FP1FP2121212建筑力学§4-2变形体虚功原理及位移计算一般公式一、变形体虚功原理定义：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi，即W=Wi。建筑力学下面讨论W及Wi的具体表达式。条件：1）存在两种状态：第一状态为作用有平衡力系；第二状态为给定位移及变形。以上两种状态彼此无关。2）力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性结构。建筑力学ds1C2C()ws123第二状态（给定位移和变形）dsddsds0dds0γddsddsMMsd1RF2RF1PF2PF3PFq(s)q(s)dsds第一状态（给定平衡力系）QQNN建筑力学1122331122()()()()PPPRRPiiRKKiKWqswsdsFFFFCFCWqswsdsFFC外力虚功：微段ds的内虚功dWi：00()iQNQNQNdWMdFdFdMdsFdsFdsMFFds整根杆件的内虚功为：0()iiQNWdWMFFdsQNQNQNQN建筑力学根据虚功方程W=Wi，所以有：结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：0()()()PiiRKKiKQNqswsdsFFCMFFdsQN0()()()PiiRKKiKQNqswsdsFFCMFFdsQN建筑力学小结：只要求两个条件：力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非弹性结构。考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。1)2)3)建筑力学二、各类结构的位移计算公式1.梁和刚架在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故位移计算公式为：Δ=PMMdsEI在高层建筑中，柱的轴力很大，故轴向变形对位移的影响不容忽略。对于深梁，即h/l较大的梁，剪切变形的影响不容忽略。(M单位荷载1作用下的结构内弯矩)建筑力学(MP外荷载作用下的结构内弯矩)2.桁架桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：Δ=NNPFFdsEANNPNNPFFFFldsEAEA4.拱NNPPFFMMdsdsEIEA拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：3.组合结构NNPPFFlMMdsEIEA用于弯曲杆用于二力杆NNPNNPNNPNNPNNP建筑力学(N单位荷载1作用下的结构内轴力)外荷载作用下的结构内轴力)(NP例4-2-1求简支梁中点竖向位移ΔCVqxAMPQPql/2xAM0.5ABCl/2l/2FP=1ABqCl/2l/2Q建筑力学解：)0()(21lxxlqxMP)20(21lxxM建筑力学/2/223004341112()()222115[()()]()23242384llCMqxqxlxdxlxxdxEIEIqllqllEIEICV§4-3图乘法图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把求积分的运算转化为求几何图形的面积与竖标的乘积的运算。一、图乘法基本公式为方便讨论起见，把积分改写成dsEIMMPdsEIMMki。建筑力学00111111()BikABikABiABABAMMdsEIMMdxEIMdEIxtgdEItgxdEIxtgEIyEI()EIconst()kMdxd()iMxtg()BoAxdx()ooxtgyMi图yxMk图dω=MkdxMk(x)xx0dxAByxMi(x)=xtgαxx0ABy0建筑力学说明：1）条件：AB杆为棱柱形直杆，即EI等于常数；Mi与Mk图形中有一个是直线图形。2）y0与ω的取值：y0一定取自直线图形，ω则取自另一个图形，且取ω的图形的形心位置是已知的，不必另行求解。3）若y0与ω在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0ω取正号；若y0与ω不在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0ω取负号。建筑力学二、常见图形的几何性质l/2l/2二次抛物线h23lhωl二次抛物线hω二次抛物线3l/4l/4hωlh315l/83l/8二次抛物线hlh32ω建筑力学三、图乘法举例运用图乘法进行计算时,关键是对弯矩图进行分段和分块,尤其是正确的进行分块。1203132MMy1203132MMyM1M2y02l/3l/3M1M2y02l/3l/3建筑力学分段——图均应分为对应的若干段，然后进行计算。PMM、DBCDPPPPAABCMMMMMMMMdsdsdsdsEIEIEIEIABCDABCDMPM建筑力学分块——只对或中的一个图形进行分块，另一个图形不分块。PMM1212()BBBBPPPPPAAAAMMMMMMMMMdsdsdsdsEIEIEIEIABABMMP1MP2建筑力学例4-3-1求。AV解：作图图，如上图所示。MPM分段：，分为AC、CB两段。分块：图的CB段分为两块。MPMM1122331211()AVyyyEIEIMPMACBEI1EI2ω1ω2ω31FPCBy1y2y3EI1EI2A建筑力学此题还可以这样处理：先认为整个AB杆的刚度是，再加上刚度为的AC段，再减去刚度为的AC段即可。2EI1EI2EI112222212111AVyyyEIEIEICBACACAω1ω2ω2MPEI2EI2EI1EI2+-FPACBACACMEI2EI2EI1EI2y2y2+-y11建筑力学例4-3-2求,EI等于常数。CV解：作图图，如右图所示。MPM分段：，分为AC、CB两段。分块：图的AC段分为两块。MPMPM124213321222211y12336)4311632(2yEIEIyyEICV167.22)122134(1)(12211BACBACB2m2m2kN/m16A4C12ω1MPMω2y2y1建筑力学例4-3-3求,EI等于常数。B作图图，如下页图所示。MPM8kN5kN2kN/m12kN.m4kN.m7kN4m4mACB解：建筑力学1116864221814211/2y22120(412)333y32324433313(11/2)24y11223311120323()(644)233418013.33(328)()3ByyyEIEIEIEI1/21My1ω2y381244MP图ω1ω3y2图1ACBBAC（kN.m)建筑力学建筑力学例4-3-4求,EI等于常数。B解：作图及图，如右所示。MPM分段：，分为AB、BC两段。分块：图的BC段分为两块。MPMPMM图6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/31ω2y3y12yPM图14126ω1ω3（kN.m)1122121221414233912421224(146)233333yy33241232313y1122331()124221(1432)933315617.33()9ByyyEIEIEIEI1/61/62/31/31ω2y3y1M图2yPM图14126ω1ω3（kN.m)建筑力学例4-3-5求ΔCH，EI等于常数。解：ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m作MP图和图见下页图。分块：MP图的AB段分为两块。M建筑力学1122331832421.5334232442331248(124)42yyy1122331()1832(1.5284)3316.67(25.3332)()CHyyyEIEIEIEI124ω2y3=4ω1MP图(kN.m)2m2y22y1M图1ω3ABC4建筑力学谢谢