向量的数量积

第2章平面向量§2.4向量的数量积s┓我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角F功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？1、向量的夹角的概念)1800(两个非零向量和，作，ab,OAaOBb180与反向abOABabOAa0与同向abOABabaBbbAOBab则叫做向量和的夹角．记作ab90与垂直，abOABab注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的练习1、如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！12060'C记作=已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量abba即有cosbaab叫做与的数量积（或内积），bacosba规定：零向量与任意向量的数量积为0，00a即表示数量而不表示向量,与、、不同,它们表示向量；aababba在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是0180（1）（2）（3）　“　”不能省略不写，也不能写为“　”　“　”不能省略不写，也不能写为“　”2、数量积的概念（4）这是一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．练习２已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角，求a·b.120120cos4510)21(45解：a·b=|a||b|cosθ(4)cos=(a·b)/(|a||b|).(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a(或写成a2)=|a|2或|a|=√a·a设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角,则a⊥b=/2cos=0(1)e·a=a·e=|a|cos.|a||b|cos=0a·b=0向量a与b共线|a·b|=|a||b|a·b=|a||b|cos(5)|a·b|≤|a||b|.(2)a⊥ba·b=0.3、向量数量积的性质练习3、判断下列命题是否正确1.若a=0,则对任意向量b，有a·b=0.2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a·b≠0.3.若a≠0,且a·b=0,则b=0.4.若a·b=0，则a=0或b=0.5.对任意的向量a，有a2=│a│2.6.若a≠0,且a·b=a·c,则b=c.()(×)()(×)(×)(×)运算律和运算紧密相连。引入向量数量积后，自然要看一看它满足怎样的运算律。看看向量数量积能否满足下面的运算律？已知向量和实数，则向量的数量积满足：,,abc（1）abba（交换律）（2）()()()ababab（数乘结合律）（3）()abcacbc（分配律）4()()abcabc（不一定成立）4、向量数量积的运算律（3）()abcacbc12ABOA1B1Cabc证明：在平面内取一点，作,，OOAaABbOCcab（即）在方向上的投影等于OBc,ab在方向上的投影的和，c即12||cos||cos||cosabab12||||cos||||cos||||coscabcacb()cabcacb即()abcacbc例1：判断正误，说明理由。①、②、③、④、⑤、⑥、00a00ababa若，则对任一非零向量有0ab0ba若，则对任一非零向量有0ab0ba0,00babaac若，则cbbab,0若，则cbbab,0例2:已知:,当⑴∥;⑵⊥;⑶与的夹角为时,分别求与的数量积.4,5abababba150ba已知:,当⑴∥;⑵⊥;⑶与的夹角为时,分别求与的数量积.4,5abababba150ba解:∵∥,∴与同向或反向aabb∵∥,∴与同向或反向aabb⑴若与同向,则,ab0若与同向,则,ab04520若与反向,则,ab180若与反向,则,ab18045(1)200cosbaba180cosbaba⑵当⊥时,ab90当⊥时,ab90090cosbaba⑶当与夹角为,即ab150150当与夹角为,即ab150150345()2103150cosbaba22222222223,()2,()(-)-.,1()2;2()(-)-;abRabaabbabababababaabbababab例、我们知道，对任意,恒有对任意向量.是否也有下面类似的结论？2221()()()2;abababaaabbabbaabb解：222()(-)-;ababaaabbabbab奎屯王新敞新疆454602oababkkabab例、已知，，与的夹角为，问当为何值时，向量与垂直？解：）（）（babak202）（）（babak021222bbakak）（即0260cos1222bbakako）（042214512252）（kk1514k垂直。与时，向量当babakk21514四、总结：学习了平面向量数量积性质的应用，常见的题型主要有：1、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）2、由数量积求向量的模4、运用数量积的性质判定两向量是否垂直3、由数量积确定两向量的夹角5、判断三角形的形状OA=，OB=，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1=||cos。||cos叫做向量在方向上的投影。aabbbbOA=，OB=，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1=||cos。||cos叫做向量在方向上的投影。aabbbbOBAθB1OBAθB1ab为锐角时,正值cosb为锐角时,正值cosb为钝角时,负值cosb为钝角时,负值cosbAOBθOBAOBA当时,0cosbb当时,180cosbb当时,90cos0b我们得到的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。aabababacosb我们得到的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。aabababacosb参考答案：①1；②1；③0；④0.问题1：),,(),,(2211yxbyxa已知怎样用ba,的坐标表示呢？请同学们看下列问题.ba设x轴上单位向量为，Y轴上单位向量为请计算下列式子：ij①②③④=ii=jj=ji=ij平面向量数量积的坐标表示问题2：推导出的坐标公式.bajyixbjyixa2211,答案：2211221221jyyjiyxjiyxixx2121yyxx)()(2211jyixjyixba这就是向量的数量积的坐标表示，类似可得：.,22222121yxbyxa若设),,(11yxA则这就是A、B两点间的距离公式.),,(22yxB,)()(212212yyxxAB问题3：写出向量夹角公式的坐标表示式，向量平行和垂直的坐标表示式.（1）答案：222221212121cosyxyxyyxx（2）0//1221yxyxba（3）02121yyxxba说明：这里式子中向量都是非零向量例题分析例1：.),4,6(),7,5(baba求设2)4()7()6(5ba解：想一想的夹角有多大？ba,例2：已知A（1,2）,B（2,3）,C（－2,5）,求证△ABC是直角三角形.想一想：还有其他证明方法吗？提示：可先计算三边长，再用勾股定理验证。证明：031)3(1ACAB△ABC是直角三角形)1,1()23,12(AB)3,3()25,12(AC)2,4()35,22(BC例3：求与向量的夹角为45o的单位向量.)13,13(a分析：可设x（m,n)，只需求m,n.易知122nm……①再利用（数量积的坐标法）即可！xaxa)(定义解：设所求向量为,由定义知：222845cosxaxa),(nmx……①另一方面nmxa)13()13(……②∴由①，②知2)13()13(nm122nm解得：或231m232n211n212m∴)21,23(x)23,21(x或说明：可设进行求解.)sin,(cosx，求RtABC(2,3)AB(1,)ACkk例4在中，，值。90A0ABAC2130k32k解：当时，，∴∴，(12,3)(1,3)BCACABkk90B0ABBC当时，，，2(1)3(3)0k113k∴∴，90C0ACBC1(3)0kk当时，，∴3132k∴．综上，所求k的值为或或313211332演练反馈6563.D6533.B6533.C6563.AB1、若则与夹角的余弦值为（）),12,5(),4,3(baab2、已知：求证：)sin,(cos),sin,(cosba)(ba⊥)(ba)()(baba答案：∴)(ba⊥)(ba2222coscossinsin0)sinsin,cos(cos)sinsin,cos(cos总结提炼2121yyxx)()(2211jyixjyixba.,22222121yxbyxa),,(11yxAA、B两点间的距离公式.),,(22yxB,)()(212212yyxxAB（1）222221212121cosyxyxyyxx（2）0//1221yxyxba（3）02121yyxxba