市场调查与预测第十七章 回归分析预测

第十七章回归分析预测1、概述2、一元线性回归一、概述1、变量间的关系确定性关系——函数关系：Y与X之间存在确定的函数关系。距离=速度*时间；电流=电压/电阻；银行存款年利率2%，存入本金X，到期本息Y=x(102%).非确定性关系，但两者又有密切联系——相关关系、统计相关。当自变量取确定值时，因变量值是不确定的。在社会经济生活中，存在大量的相关现象：孩子身高和父母身高的关系；施肥量和粮食产量；市场需求规模和市场价格的关系；航空运量和GDP的关系等等无关系。2、回归分析回归分析是一种定量分析变量间相关关系的数理统计方法。它可以提供表示变量之间相关关系的数学表达式（经验公式、回归方程）y=f(x)处于被解释地位的变量y是“因变量”，处于解释地位的变量x是“自变量”。可以判断所建立回归方程（经验公式）的有效性，判别它是否能够代表变量XY间的相关关系。可以利用经验公式，根据自变量的取值对因变量进行预测；或者根据自变量的取值对因变量进行控制。如价格和销售量的关系。可以知道预测或控制可达到的精确程度。3、回归分析预测法利用回归分析的理论和方法建立起回归方程进行预测的方法。4、回归分析预测法的分类按变量的多少可以分为：一元回归分析：只涉及一个自变量、一个因变量多元回归分析：涉及两个或两个以上自变量，一个因变量按回归方程的类型可分为：线性回归分析：因变量是自变量的一次函数非线性回归分析按回归方程的类型和变量多少综合分类：一元线性回归分析——基础一元非线性回归分析——要转化为一元线性回归分析多元线性回归分析——和一元线性回归分析类似多元非线性回归分析——要转化为多元线性回归分析5、回归分析预测法的步骤1）确定预测变量2）确定影响预测变量的因素3）收集整理预测变量及其影响因素的历史统计资料4）分析因变量和自变量的关系，确定回归模型经验确定散点图分析确定理论试算（计算拟和误差（预测误差）），选出拟和程度最好的模型5）求解模型参数，建立回归方程6）检验回归方程的有效性7）利用检验通过的回归方程进行预测，并确定预测值的置信区间二、一元线性回归预测法1、相关分析（1）散点图法1r10r01r1r（2）相关系数分析法:2()xxLxx——自变量与平均值的离差平方和2)(yyLyy——因变量与平均值的离差平均和上式可简化为xyrxyxxyyLLL01rxyL()()xxyyxyr2222().()nxyxynxxnyyr值与两变量之间的关系r=1完全正相关1r0正相关，越接近1，相关性越强。越接近0，相关性越弱r=0不线性相关0r-1负相关，越接近-1，相关性越强；越接近0，相关性越弱r=-1完全负相关7.0rX与Y强相关：r平方大于0.49，说明自变量的变动对总变差的影响大于一半。7.03.0rX与Y中度相关3.00rX与Y弱相关0rX与Y不相关2、选择回归预测模型①曲线比较分析法：与标准曲线比较②误差比较分析法3、参数的确定：参数确定可采用最小二乘法，min∑(yi-a-bxi)222()nxyxybnxxaybx式中，x为非均匀分布，故0x因此不能用简化公式。得到预测模型：y=a+bx4、回归模型的显著性检验：相关系数检验法：1）、从样本计算相关系数r02）、根据回归模型的自由度n-2和给定的显著性水平a，从相关系数临界值表中查出临界值ra(n-2).3）、若r0大于等于临界值，表明两个变量之间显著相关，回归模型有效。可依此预测。方差分析法：基本特点是把因变量的总变动平方和分为两部分，一部分反映因变量的实际值与用回归方程计算出的理论值之差Q.一部分反映理论值与实际值的平均值之差U.Y的总变差=Y的残余变差+Y的说明变差，SST=SSE+SSR或：总离差平方和=剩余平方和(Q）+回归平方和（U）UQSyyQyySnyyyyyyyyyyiiiiyyiiiiiiUYX)ˆ(YX)ˆ()()ˆ()ˆ()(222222差、可解释变差，记为的影响造成的，说明变对—由于—为差、不可解释变差，记的影响造成的，残余变以外其它因素对—除了—离程度，记为个数据和其平均值的偏——回归平方和U与剩余平方和Q相比越大，说明回归效果越好。F检验：构造统计量F=（U/m-1）/［Q/（n-m）］其中：m为变量个数（总数）；n为样本数。统计量F服从第一自由度为m-1、第二自由度为n-m的F（m-1，n-m）分布。F=r2/(1-r2)*(n-m)/(m-1)判断规则：对于给定的置信度α，从F分布表中查出Fα（m-1，n-m），把其与用样本计算出来的统计量F0比较：若F0〉Fα（m-1，n-m）成立，则认为回归方程在α水平上显著。反之则认为不显著，回归方程无意义，变量间不存在线性关系。5、进行预测得到预测方程y=a+bx点估计：把自变量的取值mx代入预测方程中，得到对应的值即为预测结果。my区间估计：标准误差：S=sqrt((∑e^2)/(n-m))区间估计：标准误差：S=sqrt((∑e^2)/(n-m))5、预测结果的可靠性检验检验：采用统计方法进行检验，P311p313例：某五金公司历年的销售总额与供应地区的工业产值资料如表所示，并预计2004年该地区工业产值达60.7亿元，试用一元线性回归预测2004年该公司的销售总额。6、应用举例年份销售额（百万元）产值（亿元）19968.527229.5729199710.631328.696119981334.5448.51190.25199915385701444200017.5427351764200119.745.5887.252070.2520022249.61091.22460.16200324.654.21333.322937.64∑130.9321.85623.3713556.3iyixiiyx2ix解：①首先列计算表②计算参数：b预测模型为：xy6.0772.765.287.606.0772.72004y（百万元）③预测：2004年：=60.7亿元2004x22..()nxyxynxx285632.47130.9321.80.6813556.3321.82ayxbnn130321.80.67.77288三、一元线性自回归预测法引言，普遍一元线性普通回归预测对数据要求较高，要求：已知：①1ˆnmyyy1mnxxx②mx为自变量的先期预测值。而实际应用中nxx1，尤其是mx获得很困难。如何才能既适用回归预测的方法，又对数据在的要求不太高，以至于在更多的场合能应用，人们提出一元线性自回归预测方法，即设1ttyx，则预测模型：ttttbyaybyay11:或其它与普遍一元线性回归完全相同年份销售额（百万元）19968.5199710.68.572.2590.119981310.6112.36137.819991513169195200017.515225262.5200119.717.5306.25344.7520022219.7388.09433.4200324.622484541.2∑130.924.6iy1ttyx2txttyx.b预测模型：xy023.195.11158.276.24023.195.12004y（百万元）②计算参数：③预测：2004年=24.60万元2004x22.()nXYXYnXX272004.75122.4106.31.02371756.95106.32ayxbnn122.4106.31.0231.9577四、一元线性加权回归预测分析法1、一元线性普通回归iYabX22.()nXYXYbnXXyXY矩阵形式方程组：2XYaXbXYXabnn2nXaXXb2、直接用矩阵形式求参数写成矩阵baXXYYnn1111求a,b设nnXXYY11近似在直线方程上111ebXaYnnnebXaY…………11bXaY1bXaYn…………两边同乘以1111nnYXXYYXY说明两种方法求解公式等价。111111nnXaXXbX2nXaXXb3、在矩阵求解公式中，可以看出对每个历史数据同等对待，对于加权回归，给以不同时期的历史数据以不同权数iW且：nn121分别对不同期历史数据以不同权数1122nnYYYYYY112211111nnXXXaXbXXXab矩阵方程解出的即为加权回归的参数方法同上，两边同乘nnYYXX1111111WnW11111111nnnnYYXXXXYY111111111111nnnnXXaXXXXbXXWYWXY即2与普通一元线性回归相比，每项多WiWi一般取，1，2……n自然数例：见书上实例P2522WWXaWXWXb五、一元非线性回归分析预测法思路：与一元线性回归分析基本相同。即通过变量替换将非线性方程转化为线性方程；使用最小二乘法建立线性回归方程；在通过逆变换将线性方程转化为非线性方程。六、多元回归分析多元非线性回归分析——转换为多元线性回归分析。多元线性回归分析——与一元线性回归分析基本相同，只是在自变量的选定上、求解回归方程及统计检验等方面比一元回归要复杂一些。设多元线性回归模型为：y=b0+b1*x1+b2*x2+……+bm*xm