经济学中的数学分析方法——5 市场均衡与社会福利

1第五章市场均衡与社会福利市场经济中的基本经济人是消费者和生产者。一个是提供商品的，一个是消费商品的，作为一个具体的人，他可能既是生产者也是消费者。在上两章中，我们已经看到，理性的消费者和生产者都有他们自己的最优行为。他们在同一个市场中活动，而且他们的利益有时是相互冲突的。现在的问题是有没有什么东西，可以协调他们的行为，使得市场经济不至于混乱以致崩溃？本章就是来研究：什么是市场均衡？什么东西能协调市场达到均衡？市场经济中除了个人利益外，什么是社会的整体利益（社会福利）等问题。§5.1纯交换经济的均衡模型所谓纯交换经济是指这样一种“经济环境”或“市场”，其中只有消费者。他们拿出各自拥有的商品去和别人交换，以此来增加各自的效用，满足自己的需求。先来讨论只有两个消费者，两种商品的纯交换经济。定义设两个消费者A,B,他们的初始拥有为A，B拥有第一种商品分别为1.5与7.5；第二种商品分别为4与2，记作ABw,w(1.5,4)(7.5,2)==，因而两人的总拥有为：ABww(9,6)=＋，若设经过“物物交换”（或称纯交换）后，双方的拥有为ABEE,。（1）纯交换配置：若ABABEEww＋＝＋。称ABE,E为,ABww的一个纯交换配置。（图5.1）Edgeworth认为比较合理的纯交换原则是“互通有无，皆大欢喜”。两个消费者A,B的纯交换问题可以用两个坐标系来研究（见图5.1）。消费者A的坐标系是以A为原点，其横坐标线向右，纵坐标线向上；消费者B的坐标系是倒置的，即以B为原点，其横坐标线向左，纵坐标线向下。两个坐标系是一个向上，一个向下，合起来就构成一个盒子(称为EdgeworthBox)。设uA,uB分别为消费者A,B的效用函数（偏好），故它们在同一个PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建盒子里具有凹向相反的两族无差别曲线。设P(1.5,4)为双方的初始拥有，EdgeworthBox内的任意点都可以成为P点的一个纯交换配置。那么怎样的纯交换配置是“互通有无，皆大欢喜”的呢？当然应该是经过纯交换后能使双方的效用都变得更好更大。以P(1.5,4)的点为例，经过纯交换后的点Q（即交换配置）应在经过P点的两条无差别曲线所围成的区域内。以上的讨论也可以推广到N个人和m种商品的情况。设市场中有N个人，m种商品。iiNwÎ{}为初始拥有。（2）Pareto最优配置定义设iA{}为wi{}的一个配置（即ÎÎååiiiNiNAw＝），对于配置iA{}，若不存在任何其他的配置{}iB，使0iiii0BAiNBA,iN0Îìïí$Îïî，ff(5.1)则称iA{}为关于{}iw的一个Pareto最优配置。容易看出，对于两个人，两个商品的情况，Pareto最优配置就处在两种无差别曲线的切点上，这些切点的轨迹形成了连接Edgeworth盒的两对角AB,的一条曲线（见图5.1）。(3)核配置定义设S为消费者集合N的一个子集，{}ÎiiNA为{}iw的一个配置，若存在另一个配置{}ÎiiNB，使0jjjj0BAjSBA,jS0Îìïí$Îïî，ff且ÎÎååjjjSjSBw＝(5.2)则称配置S为配置{}ÎiiNA的一个反对者联盟。若对{}ÎiiNA不存在任何反对者联盟，则称该配置{}ÎiiNA为一个核配置，核配置的全体称为核。(4)竞争最优配置定义若在纯交换经济中设价格P0,使对每个消费者i在此价格体系下达到各自的预算约束×ipw下最大效用，即PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建)..ìí×£×îiiiu(AstpApw(5.3)的最优解*iA，则由*iA构成的配置{}*iiNAÎ称为一个竞争最优配置（或Walras最优配置）。定理5.1Pareto最优配置集É核配置集。证明：设{}*iiNAÎ为任一核配置，则不存在任何{}*iiNAÎ的反对者联盟，因而N也不是反对者联盟。所以，{}*iiNAÎ是Pareto最优配置。对于两个人，两个商品的情况，核配置集就是处在Edgeworth盒的Pareto最优配置集中，且为界于通过初始拥有P的两条无差别曲线之间的那一段（见图5.1）。定理5.2Walras最优配置集Ì核（核配置集）。证明：反证法。设{}iiNAÎ为一个Walras最优配置。若{}iiNAÎ不是核配置，则必存在一个反对者联盟S及一个配置{}iiNBÎ,使得0iiiiiSiSiiBAiSB=wBA,iS0ÎÎÎìïí$Îïîååff0,，且(5.4)因p0（即jp0j,），由式（5.3）知000iiiiiipBpA=pw,iSpBpA=pw,iS׳××Îìï\í×××Îïî0(5.5)故iiiSSSpBpA=pwÎÎÎ×××åååiii或()iiiSpBw0Î×-å因而有iiiSiSBwÎιåå(5.6)我们用反证法来证明式(5.6)。因为若iiiSiSB=wÎÎåå，则iiiSiSpBpwÎÎ××åå=，即iiiSiSpB=pwÎÎ××åå这与式(5.5)矛盾。这就证明了式(5.6)。但是，式(5.6)与式(5.4)是矛盾的，故定理5.2得证。定理5.2告诉我们：如果Walras最优配置存在，那么Walras最优配置一定包含在核配置里。但是，是不是任何纯交换经济都存在Walras最优配置呢？定理5.2并没有回答这个问题。下面我们来分析一下纯交换经济Walras最优配置存在的可能性。要使Walras最优配置存在，必须使它的纯交换配置点位于两个消费者的无差别曲线的公切点上。如果通过市PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建场调节商品的价格，调节到一种价格体系，使两个消费者的预算线相切于他们的无差别曲线的公切点（如图5.2所示），则Walras最优配置就存在。事实上，这样的价格体系是存在的，即纯交换经济Walras最优配置是存在的。请看下面的定理5.3。定理5.3（Walras最优配置的存在性定理）设p为价格体系，wi为第i个消费者的初始拥有，iimpw×=为预算约束()ÎiN。若iiiApm()j=,为第i个消费者的Marshall需求函数。并且假设ij为p和im的连续函数，则必存在一种价格体系p*，使iiiiNiNApmw(*,)ÎΣåå，即iiiNiNjjAwjÎÎéùéù£êúêúëûëûåå，(5.7)当jp*0时，iiiNiNjjAwÎÎéùéù=êúêúëûëûåå，(5.8)即市场总供需平衡（或称市场出清）。为了证明这个定理，我们需要现代数学中下列的重要定理。定理5.4（Brouwer不动点定理）设()fx，,Î̹ÆxDRDn，其中D为凸集和有界、闭集，()fx为连续的自映像，即()ÎfxD，则必存在ÎxD*，使(*)fxx*=。称x*为f的不动点。这个定理的证明很难。但是当n=1时，却很容易证明。不失一般性，可设[0,1]=D。令()()Fxfxx=-，\F连续，且FF(0)0,(1)0³£，由微积分中的介值定理，必存在AB均衡价格体系均衡配置初始拥有均衡配置x1x2图5.2PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建*x使(*)(*)*Fxfxx=-=0，即fxx(*)*=(见图5.3)。（图5.3）有了Brouwer定理，我们可以来证明Walras定理(定理5.3)。证明：设总消费需求为：iiiiNiNfppmA()(,)ÎÎj=åå=，ijQ连续，所以()fp也连续，令iiNMmÎå=，M为总预算财富。为了利用Brouwer不动点定理，令jjMDppW[]ìüïíýïïîþ=0(5.9)其中，ÎåNWwii=，W为交换商品的总量。显然，D是非空的有界、闭凸集。令()()GppfpW=＋－(5.10)则映象G也是连续映象。但是，这样定义的Gp()不能保证为DD®为自映象。于是再令jp()F=[][][]jjjjjjjGpMGpGpWMMGpWW0()0()()()££³,，,0,(5.11)则{}()()FFjpp=实际上是对连续映象G把高于[]jMW的部分压平为[]jMW，同时也把低于零的部分添平为0。经过式(5.11)的变换，就使p()F成为DD®的连续的自映象。这样，映象pF()就满足Brouwer不动点定理的所有条件。故由Brouwer不动点定理，必存在一PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建*Î，使(*)*Fpp＝。下面分三种情况加以讨论：（1）若jp*=0，则jpp()0F**j==，由jp()F的定义，知jGp()0£，即[]()0éù+-£ëûjjpfpW**j[]jjpfpW0()éù=\£ëûQ**j，，即iiiNiNjjAwÎÎéùéù£êúêúëûëûåå。（2）若[]jMpW*j0，则[]jjjMppW0()F**=，由jp()F的定义，[]jjjjjpGppfpW()()()éùF+-ëû****==，或[]()éù=ëûjjfpW*，即ÎÎéùéù=êúêúëûëûååNNjjAwiiii。（3）若[]jMpW*j=，则[]jjMppW()F=**j=，[][]jjjjMGppfpWW()()éù\+-³ëû***j=，[][]jjjMpfpWW,()éù=\³ëûQ**j。左乘jp*，右乘[]jMW，得jijiNpfpMm()Îéù³=ëûå**，{}()0Îéù-³ëûåijiNpfpm**ji(5.12)另一方面，由预算约束：()()éù=£ëûåiijjpfppfpm****ji，因而()éù£ëûijpfpm**ji（正数的部分小于整体）故{}()0Îéù-£ëûåijiNpfpm**ji(5.13)结合式(5.12)得，{}()0Îéù-=ëûåijiNfm**jipp，即jpfpM()éùëû**j=，[][]jjjMpfpWW()éù\=ëûQ**j=，，即éùéù=êúêúëûëûååjjAwiiii。§5.2生产经济的市场均衡生产经济与纯交换经济的主要差别在于生产经济中，既有消费者又有生产者。在谈论市场经济的时候，首先要确认我们面临的市场是一个什么样的市场。一般来讲有两种市场：完PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建全竞争的市场和不完全竞争的市场。在经济学中，对完全竞争的市场有明确的描述：（1）厂商生产同一类商品,消费者也不分何家生产，均认为是同样质量，无差别的商品；（2）厂商和消费者的数量很多。相对于总量，每个厂商所销售的数量或消费者所购买的数量是很小的；（3）对厂商和消费者来讲，他们对市场上各厂商的现时出价都掌握完全信息；（4）厂商和消费者可以完全自由和随时的进入或退出市场。在前两章中，我们实际上就是在完全竞争的市场中讨论消费者和生产者的行为的。所以我们都假定，消费者是面对既定市场的价格来选择效用极大的商品组合；生产者也是面对既定的投入品和产出品的市场价格来决定使其利润极大的生产水平。换句话说，他们都把市场既定价格作为决策的参数。他们各自的单独经济行为，在数量上相对于市场的总量是微不足道的，不能影响市场的价格。因而卖主和买主双方都存在着完全竞争的关系。第三章中讨论的消费者行为，是对完全竞争的市场起着商品需求的作用；第四章中讨论的生产者的行为，则既有商品（生产投入品）需求的作用，也有商品（产出品）供应的作用。我们把生产者对投入品的需求也作为市场需求的一部分，换言之，也可把他们看成商品的消费者。设市场中有n个消费者和m个生产者。由消费者理论知，消费者i的Marshall需求函数为iiiDDpm=(,)。若把im作为固定的参数，并记为iiDDp=()，i=1,2,…,n。而生产者对生产要素(投入品)也有需求函数jjDDp=()，j=1,2,…,m,则市场的总需求为：nmiiDpDp+==å