对数的概念和性质

2004年我国的国民生产总值为a亿元，如果按平均每年增长8%估算，那么经过多少年国民经济生产总值是2004年的2倍？引例:假设经过x年国民经济生产总值是2004年的2倍，依题意得，1.08xa=2a即1.08x=2指数x取何值时满足这个等式呢？这就是本节课要学习的对数问题：已知底数和幂的值，求指数的问题。知新益能1．对数的概念(1)定义：一般地，如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以______________，记作________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)指数式与对数式的关系a为底N的对数x＝logaN式子名称abN指数式ab＝N______________对数式logaN＝b_______________底数指数幂底数对数真数（3）对数式的引入，给出了用对数值来表示幂指数的值的方法。试把下列式中的x表示出来:181.0113x201.0113x301.0113x1.0118log131.0120log131.0130log13(4)通常把以10为底的对数叫常用对数，并把10log,N简记作lg.N例如：5log10简记作lg5；5.3log10简记作lg3.5.在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，即以e为底的对数叫自然对数。为了简便，N的自然对数Nelog简记作lnN。例如：3loge简记作ln3;10loge简记作ln10（5）自然对数：(1)你能把下列指数式写成对数式？23,x20,x2log3（2）这样的对数有意义吗？没有意义2log0没有意义，不成立（3）从（1）（2）中你能得出什么结论？零和负数没有对数（4）你能写出下列对数的值吗？2log12log2lg1lg10ln1lne3log13log311110000（5）从（4）中你发现有什么规律？1的对数等于0，底的对数等于1logaNbbNalogbaablog,aNaN(5)如果把式子中的N用代换，把式子中的b用代换，logabNbaN会得到什么样的式子？从而得到：这两个式子，我们叫对数恒等式对数的基本性质：（1）零和负数没有对数（2）1的对数等于0，即（3）底的对数等于1，即log10.alog1.aalogaN说明：（1）在对数式中，要注意各量的取值范围（2）两个最特殊的对数值，常用来化简对数式。且log1.aalog10.a0a1.a（4）对数恒等式log,aNaNlogbaab（3）对于一些特殊的对数式，可以用对数恒等式直接求解。0,N例1将下列指数式写成对数式：（1）（4）（3）（2）625544625log5641266641log2273aa27log313.531mm13.5log31（1）（4）（3）（2）例2将下列对数式写成指数式：01.0102201.0lg12515331251log510303.2e303.210ln27313327log31指数式与对数式的互化要注意什么？若是指数式化为对数式，关键是看清指数是几，再写成对数式，若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写成幂的形式，关键是要搞清N与b在指数式与对数式中的位置，千万不要大意，其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据。例3计算：（1）（2）27log981log43解法一：解法二：设,27log9x则,279x,3332x23x239log3log27log239399解法一：解法二：设则81log43x,8134x,3344x16x16)3(log81log1643344即即log,aNaNlogbaab对数恒等式642log3x642log3x223233164(4)416x（3）解：因为所以log86xlog86x0x11136628(2)22x（4）解:因为68x所以又因所以（6）（5）例3计算：解法一：解法二：解法二：解法一：因为则因为则利用对数的定义或恒等式求式子的值，首先要设成对数式，再转化为指数式或指数方程求解，另外利用对数恒等式可直接求解，所以有两种解法。lg100x于是21010010,xlg100,x2.x因为于是210lg100lg2,2.x2lnex2ln,ex2ln,ex即2,xee于是2.x因为2ln2,e于是2.x2ln2,e所以练习1.把下列指数式写成对数式（1）（4）（3）（2）82338log23225532log22121121log23127313131log27（1）（4）（3）（2）2将下列对数式写成指数式：811344811log3125533125log54122241log293229log33.求下列各式的值（1）（4）（3）（2）25log5210lg101.0lg21000lg3001.0lg3（5）（6）21log1644.求下列各式的值（1）（4）（3）（2）081log922243log353（5）（6）2.5log6.257log34315log1510.4log1对数要成立必须具备底数大于0且不等于1，且真数大于0，这是对数存在的基础．求下列各式中x的范围．(1)log(2x－1)(x＋2)；(2)log(x2＋1)(－3x＋8)．【思路点拨】注意到x既存在于底数中，又存在于真数中，解答本题结合对数的概念，应考虑其各自的要求解出x满足的条件．对数的概念例4【解】(1)因为真数大于0，底数大于0且不等于1，所以x＋2＞02x－1＞02x－1≠1，解得x＞12且x≠1.即x的取值范围是{x|x＞12且x≠1}；(2)因为底数x2＋1＞1，所以x≠0；又因为－3x＋8＞0，所以x＜83，综上可知x＜83，且x≠0.即x的取值范围是{x|x＜83且x≠0}．【名师点拨】求解此类式子中参数的范围时，应根据对数中对底数和真数的要求列出不等式组解出即可．互动探究在本例(2)中，若底数与真数中的式子互换，即log(－3x＋8)(x2＋1)，则x的取值范围如何？解：因为底数－3x＋8＞0且－3x＋8≠1，所以x＜83且x≠73.又因为x2＋1＞0，所以x∈R.综上可知：x的取值范围是{x|x＜83且x≠73}．利用对数的基本性质对简单的对数式进行化简或求值．对数基本性质的应用求下列各式中x的值．(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；(3)log(2－1)13＋22＝x；(4)化简71＋log75例5【思路点拨】(1)(2)(3)主要利用loga1＝0，logaa＝1，(4)利用对数恒等式化简．【解】(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.【名师点拨】有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．(3)∵log(2－1)13＋22＝x，∴(2－1)x＝13＋22＝12＋12＝12＋1＝2－1，∴x＝1.(4)原式＝7×7log75＝7×5＝35.练习若loga[logb(logcx)]＝0，(a＞0，b＞0，c＞0且a≠1，b≠1，c≠1)，则x＝________.解析：logb(logcx)＝1，∴logcx＝b，∴x＝cb.答案：cb