马克思数学手稿：宝贵的历史文献历史论文论文

千年伟人马克思马克思(1818—1883)的伟大贡献，正像恩格斯在马克思墓前演讲中所说：达尔文发现了有机界的发展规律，马克思发现了人类历史的发展规律，揭示了经济基础和上层建筑的相互关系；在对资本主义生产方式的深入研究中，他发现了“剩余价值”，从而获得了开启社会奥秘的钥匙。[1](P574—575)马克思的《资本论》至今还在许多国家重印发行，显示出马克思主义的强大生命力。在西方著名大学中普遍设有马克思主义课程。在20世纪与21世纪之交，在告别人类纪元第二个千年，迎接第三个千年到来之际，1999年，英国剑桥大学文理学院的教授们发起了一个评选“千年第一伟人”活动，征询、推选和投票的结果是：马克思第一，爱因斯坦第二。随后，英国广播公司(BBC)在国际互联网上进行全球投票评选第二个千年的前10名思想家，其结果为：马克思第一，爱因斯坦第二。接着，路透社又邀请各界名人再行评选时，爱因斯坦以一票之多领先于甘地和马克思。依据这一系列的评选结果，人们公认马克思和爱因斯坦(1879—1955)应并列为千年第一伟人。凡读过马克思的著作，特别是《资本论》的人，都为马克思的学术研究方法及其学术成就而折服。他对所研究的问题，不但拥有丰富的实际资料，而且占有大量的文献资料，在理论论述中，不但处处闪耀着深刻的思想火花，尤其渗透着那种一步一步深入进去的强有力的逻辑力量。北京大学的江泽涵教授是我国著名的前辈数学家，我国拓扑学这门学科的奠基人，也是马克思《数学手稿》的最主要译者，他读了《资本论》第一卷以后，深有感慨地说：“马克思研究资本主义的方法同我们研究数学的方法是一样的，《资本论》的论证方法同我们的数学论证方法一样，都是严密地从逻辑上一步步推理和展开，真是无懈可击，令人信服。”《资本论》作为研究早期资本主义社会的经典著作，展显为一个逻辑严密的理论体系，正因为其研究方法之缜密而至今仍然得到全世界学者们的高度赞赏。马克思数学手稿的具体内容恩格斯称马克思为“科学巨匠”。他说，马克思研究的科学领域是很多的，而且对任何一个领域都不是肤浅地研究的，甚至在数学领域也有独到的发现。[1](P574—575)马克思一生酷爱数学，从19世纪40年代起，直到逝世前不久，数十年如一日地利用闲暇时间学习和钻研数学，给我们留下了近千页数学手稿，其中有读书摘要、心得笔记和述评，以及一些研究论文的草稿。20世纪30年代以后，马克思的数学手稿和其他手稿一起，一直保存在荷兰首都阿姆斯特丹的国际社会史研究所的档案馆中。数学研究紧密结合经济学研究起初，马克思在与恩格斯和其他人的通信中讨论初等数学问题居多。例如，他在1864年的一封信中有关于数字计算的议论：“可以看出：不太大的计算，例如在家庭开支和商业中，从来不用数字而只用石子和其他类似的标记在算盘上进行。在这种算盘上定出几条平行线，同样几个石子或其他显著的标记在第一行表示几个，在第二行表示几十，在第三行表示几百，在第四行表示几千，余类推。这种算盘几乎整个中世纪都曾使用，直到今天中国人还在使用。至于更大一些的数学计算，则在有这种需要之前古罗马人就已有乘法表或毕达哥拉斯表，诚然，这种表还很不方便，还很繁琐。因为这种表一部分是用特殊符号，一部分是用希腊字母(后用罗马字母)编制成的。……在作很大的计算时，旧方法造成不可克服的障碍，这一点从杰出的数学家阿基米得所变的戏法中就可以看出来。”[2](P650)1864年5月30日，恩格斯在给马克思的信中写道：“看了你那本弗朗克尔的书，我钻到算术中去了；……以初等方式来陈述诸如根、幂、级数、对数之类的东西是否方便。不管怎样好地利用数字例题来说明，我总觉得这里只限于用数字，不如用ab作简单的代数说明来得清楚，这是因为用一般的代数式子更为简单明了，而且这里不用一般的代数式子也是不行的。”[3](P357)马克思关于数学的笔记和他研究政治经济学的材料有紧密的联系。在1846年的一个经济学笔记本中，最后几页全是各种代数运算；在以后的许多笔记本中也都记有数学公式和图形，还有整页整页的算草；在为撰写《政治经济学批判大纲》准备材料的笔记本中他画了一些几何图形，记录了关于分数指数和对数的公式。1858年1月11日马克思在致恩格斯的信中说：“在制定政治经济学原理时，计算的错误大大地阻碍了我，失望之余，只好重新坐下来把代数迅速地温习一遍。算术我一向很差，不过间接地用代数方法，我很快又会计算正确的。”[4](P247)马克思曾为自己能把高等数学的某些公式用于经济学的研究而深感高兴。1868年1月8日马克思写信给恩格斯谈到工资问题的研究时，他说：“工资第一次被描写为隐藏在它后面的一种关系的不合理的表现形式，这一点通过工资的两种形式即计时工资和计件工资得到了确切的说明(在高等数学中常常可以找到这样的公式，这对我很有帮助)。”[5](P12)看来，马克思的数学兴趣与他希望把数学运用于经济学研究有关。在1873年5月31日给恩格斯的信中谈到经济危机的研究时，他说：“为了分析危机，我不止一次地想计算出这些作为不规则曲线的升和降，并曾想用数学公式从中得出危机的主要规律(而且现在我还认为，如有足够的经过检验的材料，这是可能的)。”[6](P87)在《资本论》中我们也能看到数学的运用，据拉法格回忆，马克思曾经强调说：一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才算真正发展了。[7](P8)我理解，马克思这里所说的运用数学，不仅仅是运用数学的计算方法，而且也要运用数学的思维方法和论证方法。对微积分的学习、思索和历史考察19世纪60年代以后，马克思陆续阅读了一大批微积分方面的书籍，其中有布沙拉(J•L•Boucharlat)、辛德(J•Hind)、拉库阿(S•F•Lacroix)、霍尔(G•Hall)等人各自编写的微积分教科书，还有牛顿有关的数学原著等等，写下了详细的读书笔记。马克思对这些教科书进行比较，开始了自己对于微分学中一些问题的独立的思考。于1881年前后，马克思撰写了关于微分学的历史发展进程、论导函数概念、论微分以及关于泰勒定理等问题的研究草稿，而且对于这些问题都曾写过多遍草稿，例如，关于泰勒定理留下了八份草稿。马克思把微分学看作科学上的一种新发现、新事物，考察它是怎样产生的，产生以后遇到一些什么困难，经历了怎样的曲折发展。马克思对微积分有过一段生动的而又富有哲理的描述：“人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法通过肯定是不正确的数学途径得出了正确的(尤其在几何应用上是惊人的)结果。人们就这样把自己神秘化了，对这新发现评价更高了，使一群旧式正统派数学家更加恼怒，并且激起了敌对的叫嚣，这种叫嚣甚至在数学界以外产生了反响，而为新事物开拓道路，这是必然的。”[8](P88)马克思把从牛顿(1642—1727)、莱布尼茨(1646—1716)创建微分学到拉格朗日(J.L.Lagrange1736—1813)的发展，约一百多年的发展过程分为三个阶段，分别称为：“神秘的微分学”、“理性的微分学”、“纯代数的微分学”。在牛顿和莱布尼茨时期，新生的微积分很快在应用上获得了惊人的成功，但是从旧的传统数学看来，这种新算法，比如微分过程，正是通过不正确的数学途径得到正确的结果的。在同一个公式的推导过程中Δx和dx既作为有限的量，却又消失为零，在逻辑上显示出矛盾；时为什么能有确定的值，等等，都不能从理论上给出合理的解释。人们认为微分学是神秘的。牛顿和莱布尼茨，以及后继者们都希望给微分学找到合乎逻辑的说明，他们为此付出了很大的努力。以达朗贝尔(J•L•R•D’Alembert，1717-1783)为代表的“理性的微分学”和以拉格朗日为代表的“纯代数的微分学”，都是这种努力的一定阶段的成果。马克思指出：“这里，像在别处一样，给科学撕下神秘的面纱是重要的。”[8](P139)马克思力图运用辩证法观点去分析微分学的困难。他认为“理解微分运算时的全部困难”，“正像理解否定之否定本身”一样，要把“否定”理解为发展的环节，并且要从量和质的统一看待量的变化。在微分过程中，在量的否定，比如量的消失中，看到其间仍保存着特定的质的关系，即y对x的函数关系所制约的质的关系。因此，当增量Δx变为零，Δy也变为零，时能具有特定的值，即导函数。马克思说，要把握的真正含义，“唯一的困难是在逐渐消失的量之间确定一个比的这种辩证的见解。”[9](P16)马克思以比较简单的多项式函数的微分过程为例，参照比较了多种教科书，运用上述观点，选择了一种具体的推导步骤以说明这种函数的微分过程的合理性，从而说明微分学的神秘性是可以摆脱的。这样的内容，现在看来固然是很浅显的，也不足以说明一般函数的微分过程。但这也是马克思为撕下微分学的神秘面纱所做的一份历史性的努力。马克思曾劝说恩格斯研究微积分。他在1863年7月6日给恩格斯的信中说：“有空时我研究微积分。顺便说说，我有许多关于这方面的书籍，如果你愿意研究，我准备寄给你一本。我认为这对于你的军事研究几乎是必不可缺的。况且，这个数学部门(仅就技术方面而言)，例如同高等代数比起来，要容易得多。除了普通代数和三角以外，并不需要先具备什么知识，但是必须对圆锥曲线有一个一般的了解。”[2](P357)马克思对高等数学的兴趣和钻研影响和带动了恩格斯，1865年以后，他们在通信中讨论得更多的则是微积分方面的问题了。马克思在一封给恩格斯的信的附件中说：“全部微分学本来就是求任意一条曲线上的任何一点的切线。我就想用这个例子来给你说明问题的实质。”马克思是用求抛物线y[2]=ax上某一点m的切线的例子，认真画了图，向恩格斯作详细讲解的。[3](P168—169)1881年马克思把一份“论导数概念”的手稿和一份“论微分”手稿誊抄清楚，先后寄给了恩格斯。恩格斯认真阅读了这些手稿，于1881年8月18日给马克思写了一封很长的讨论导函数的回信，信中说：“这件事引起我极大的兴趣，以致我不仅考虑了一整天，而且做梦也在考虑它：昨天晚上我梦见我把自己的领扣交给一个青年人去求微分，而他拿着领扣溜掉了。”[10](P21—23)在马克思的影响下，恩格斯对微积分也越来越有兴趣了，他在《反杜林论》、《自然辩证法》等哲学著作中，不但大段大段地谈论微积分，精辟地分析高等数学与初等数学的区别，而且还有对于微积分的高得不能再高的赞誉：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正在这里。”[11](P611)从数学中学习辩证法马克思和恩格斯都非常明确地认为，数学是建立辩（转载自中国教育文摘，请保留此标记。）证唯物主义哲学的一个重要基础。恩格斯指出：“要确立辩证的同时又是唯物主义的自然观，需要具备数学和自然科学的知识。”[12](第三版序言)在旧哲学中，黑格尔是论述数学比较多的。恩格斯曾经指出：“黑格尔的数学知识极为丰富，甚至他的任何一个学生都没有能力把他遗留下来的大量数学手稿整理出版。据我所知，对数学和哲学了解到足以胜任这一工作的唯一的人，就是马克思。”[3](P471)马克思忙于自己的研究和革命活动，并没有承担这一工作。不过，他在数学手稿中把微分学的发展同德国唯心主义哲学的发展联系起来，作了有趣的对比。当他探讨牛顿、莱布尼茨与他们的后继者的关系时，他说：“正像这样，费希特继承康德，谢林继承费希特，黑格尔继承谢林，无论费希特、谢林、黑格尔都没有研究过康德的一般基础，即唯心主义本身；否则他们就不能进一步发展康德的唯心主义。”[8](P88)马克思把研究数学作为丰富唯物辩证法的一个源泉。他通过自己对数学的多年钻研，深有体会地认为，在高等数学中，他找到了最符合逻辑的同时又是形式最简单的辩证运动。在马克思的数学手稿中能够看到这方面的记述。数学手稿的出版、翻译和人们的看法马克思曾经打算把自己对数学的一些研究成果写成正式论文，但他反复改写了多遍草稿，却没有来得及写完。他生前曾嘱咐小女儿爱琳娜：“要她和恩格斯一起处理他的全部文稿，并关心出版那些应该出版的东西，特别是第二卷(