《概率统计》PPT课件

§1.4条件概率在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.1.4.1、条件概率条件概率的概念如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).一般地P(A|B)≠P(A)P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，B={掷出偶数点}，P(A|B)=？掷骰子已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，P(A|B)=1/3.B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中.容易看到)()(636131BPABPP(A|B)于是P(A)=3/10，又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B))()(10710373BPABP则P(A)=3/10，B={取到正品}P(A|B)=3/7本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.A={取到一等品}，计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.注1.如果B＝,则条件概率即为前面所定义的概率.如果B≠,则条件概率相当于将样本空间缩小为B.注2.()()PABPBAPA事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.设A、B为两事件,P(B)0,则定义称为事件B发生的条件下事()/()PABPB件A发生的条件概率，记为().()PABPABPB()0PA（1）古典概型:可用缩减样本空间法;（2）其它概型:用定义与有关公式;注3.条件概率的计算方法条件概率也是概率,故具有概率的性质：11iiiiBAPBAP非负性规范性可列可加性1)(0BAP1)(BBP0)(BPniiniiBAPBAP111)|()(BAPBAP上述三条性质对应于概率的公理化定义的三条性质,除此以外有下列性质:211212),|()|()|(AABAPBAPBAAP若有限可加性可减性)()()()(212121BAAPBAPBAPBAAP例1考虑有两个小孩的家庭,问其中至少有一个女孩的家庭中,另一小孩也是女孩的概率有多大?(假设生男,生女是等可能的)1212(|)(|)AAPABPAB若单调性加法公式1212()()()PAABPABPAB半可加性B={至少有一个女孩家庭}={(男,女)(女,男)(女,女)}于是所求概率为()1/41(|)()3/43PABPABPBAB={至少有一个为女孩家庭中,另一个小孩也是女孩}={(女,女)}解：根据题意样本空间为Ω={(男,男)(男,女)(女,男)(女,女)}例2一类动物由出生起活到20或20岁以上的,概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,现假设此类动物中有一动物为20岁,问其活到25岁以上的解：设B:活到20或20岁以上;A:活到25岁以上概率是多少?求P(A|B)AB()(|)()PABPABPB()0.4(|)0.5()0.8PAPABPB利用条件概率求积事件的概率即乘法公式)0)(()()(APABPAPABP)0)(()()(BPBAPBPABP推广)0)(()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP二、乘法公式一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.入场券5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i＝1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5，P()＝4/51A第1个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，iA则表示“第i个人未抽到入场券”因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，)|()()(1212AAPAPAP212AAA由于由乘法公式P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5计算得：)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP这就是有关抽签顺序问题的正确解答.同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，,,2,354试按个白球个黑球个红球设袋中有例2;1不放回抽样有放回抽样两种方式摸球三次.,概率求第三次才摸得白球的每次摸得一球解1有放回抽样,第一次未摸得白球设A,第二次未摸得白球B.第三次摸得白球C可表示为第三次才摸得白球则事件.ABCAP,108ABP|,108ABCP|,102APABPABCPABCP||108108102.125162无放回抽样AP,108ABP|,97ABCP|,82APABPABCPABCP||1089782.457(1)设P(B)＞0，且AB，则下列必然成立的是()①P(A)P(A|B)②P(A)≤P(A|B)③P(A)P(A|B)④P(A)≥P(A|B)(2)P(A)=0.6,P(AB)=0.84,P(B|A)=0.4,则P(B)=().0.6(2)课堂练习问题：由简单事件的概率推出复杂事件的概率.方法：复杂未知事件分解成两两互不相容事件之和.定理设B为随机试验T中的一复杂事件，niniiiiAPABPBAPBP11)()|()()(上述公式称为全概率公式1.4.3、全概率公式事件A1，A2，…，An构成一完备事件组,则A1AnBA1BA2BAnjiniiAAA1))((1jiniiBABABAB全概率公式BA2niniiiiAPABPBAPBP11)()|()()(应用乘法公式称P(Ai)为先验概率，它是由以往的经验得到的，Ai是事件B的原因事件B视为结果。例1甲乙两个口袋中各有3只白球,2只黑球,从甲袋中任取一球放入乙袋中,求再从乙袋中取出一球为白球的概率.21()(|)()0.6iiiPBPBAPA解A2表示“甲袋中取出一黑球放入乙袋”则P(B|A1)=4/6,P(B|A2)=3/6根据全概率公式有P(A1)=3/5,P(A2)=2/5设B表示“最后从乙袋中取出一球为白球”事件,A1表示“从甲袋中取一白球放入乙袋”,例甲、乙、丙三人向同一飞机进行射击，击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.7.如果一人击中飞机,飞机被击落的概率为0.2；两人击中飞机，飞机被击落的概率为0.6；三人击中飞机，飞机必被击落；求飞机被击落的概率.解以B表示事件“飞机被击落”，A0表示事件“三人均未击中飞机”，A1表示“三人中仅有一人击中飞机”，A2表示事件“三人中有两人击中飞机”，A3表示事件“三人同时击中飞机”，则根据题意有P(A0)=(1－0.4)×(1－0.5)×(1－0.7)=0.09,P(A1)=0.4×(1－0.5)×(1－0.7)+0.5×(1－0.4)×(1－0.7)+0.7×(1－0.4)×(1－0.5)=0.36,P(A2)=0.4×0.5×(1－0.7)+0.5×0.7×(1－0.4)+0.4×0.7×(1－0.5)=0.41,P(A3)=0.4×0.5×0.7=0.14P(B|A0)=0,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1,根据全概率公式有30()(|)()0.458iiiPBPBAPA从上述几个例子可以看出：将结果视为B，然后找出原因Ai,再利用全概率公式。1.4.4、Bayes公式贝叶斯ThomasBayes，英国人.1702年出生于伦敦，做过神甫.1742年成为英国皇家学会会员.1763年4月7日逝世.贝叶斯在数学方面主要研究概率论.他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献.1763年发表了这方面的论著对于现代概率论和数理统计都有很重要的作用.贝叶斯的另一著作《机被沿用至今.贝叶斯公式是他在1763年提出来的.会的学说概论》发表于1758年.贝叶斯所采用的许多术语底患了A1，A2，…,An中的哪一种病,以便对症下药.例4（专家系统）医疗诊断中，为了诊断病人到对病人进行观察检查，症状记为事件BP(Ai)，表示生Ai病的概率P(B|Ai)，表示生Ai病有症状B的概率P(Ai|B)，表示症状B由Ai引起的概率若P(Ai|B),i=1,2,…,n中,最大的一个是P(A1|B),我们便认为A1是生病的主要原因,下面的关键是:Bayes公式)|(BAPiRemark:niiiiiiiAPABPAPABPBPBAPBAP1)()|()()|()()()|(后验概率计算P(Ai|B),i=1,2,…,n上述公式称为Bayes公式.1()(|)()(|)()(|)()iiiiniiiPABPBAPAPABPBPBAPA定理设B为一事件且P(B)0,事件A1,A2,…,An构成一完备事件组，且P(Ai)0,i=1,2,…n，则有例某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为2%,2%,4%.若从市场上随机抽取一件此种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率?解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设Ai=“取到第i个工厂的产品”，B=“取到次品”，由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25；P(B|A1)=P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04.11131()(|)(|)()(|)iiiPAPBAPABPAPBA=0.4由Bayes公式得:ABCA，问传输的是信号AAAA的概率等于多少？A3表示事件“传输的字符为CCCC”，则根据题意有例通信渠道中可传输的字符为AAAA,BBBB,CCCC三者之一，传输三者的概率分别为0.3、0.4、0.3.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字母的概率为0.6，收到其它字母的概率为0.2，假定字母前后是否被歪曲互不影响，若收到的信号为解以B表示事件“收到ABCA”，A1表示“传输的字符为AAAA”，A2表示事件“传输的字符为BBBB”，P(A1)=0.3,P(A2)=0.4,P(A3)=0.3,P(B|A1)=0.6×0.2×0.2×0.6=0.0144,P(B|A2)=0.2×0.6×0.2×0.2=0.0048,P(B|A3)=0.2×0.2×0.6×0.2=0.0048,根据Bayes公式有11131(|)()(|)9/16(|)()iiiPBAPAPABPBAPA作业：习题1.4：:6，9显然P(A|B)=P(A)这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.1.5、事件的独立性A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设定义设A,B为两事件，若)()()(BPAPABP则称事件A与事件B相互独立注1.两事件A与B相互独立是相互对称的)()(,0)(ABPBPAP则若)()(,0)(BAPAPBP则注2.若()0,()0PAPB则“事件A与事件B相互独立”和“事件A与事件B互斥(互不相容)”不能同时成立注3