基于小波变换的信号降噪处理

1本科生毕业论文（设计）题目:基于小波变换的信号降噪处理原创性声名呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。除文中已经明确标明引用或参考的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任.声明人（签名）：日期：年月日2基于小波变换的信号降噪处理3基于小波变换的信号降噪处理【摘要】目前，噪声污染严重影响着信号检测的工作，本文是基于小波变换进行的信号降噪处理，并使用matlab进行模拟实现。【关键词】小波变换降噪matlab实现基于小波变换的信号降噪处理4目录引言...........................................................5第一章小波变换的发展及原理....................................71.1小波变换的发展..........................................71.2小波变换和傅里叶变换的对比..............................71.3小波变换的原理..........................................81.4小波变换的特点..........................................91.5小波基函数的选取........................................9第二章通过小波变换达到信号降噪的原理.........................112.1通过小波变换的降噪的方法...............................112.2通过小波变换降噪的步骤.................................122.3基本的噪声模型.........................................132.4信号学角度的小波变换降噪...............................13第三章通过matlab实现基于小波变换的信号降噪..................133.1默认阈值去噪...........................................133.2不同信号源的去噪.......................................143.3不同阈值模式对函数信号的降噪处理.......................163.4不同阈值模式对图像信号的降噪效果.......................173.5不同小波种类对信号降噪的影响...........................203.6小波变换降噪过程模拟...................................213.7分别采用默认阈值去噪，给定软阈值去噪，以及强制去噪的方法对污染信号进行降噪处理......................................22第四章结论...................................................24致谢语........................................................25参考文献......................................................26基于小波变换的信号降噪处理5引言目前，在电路的设计过程中，原有的信号精度已经很高了，但由于叠加了高频的噪声信号，使信噪比大幅降低，导体内的信号受到噪音信号的干扰，同时也受到各种实验仪器之间产生的信号干扰。因此，我们需要对信号进行降噪处理，早先的降噪处理方案是通过傅里叶变换减少高频的噪声，仅保留低频的信号，最后通过傅里叶逆变换得到初始信号，这种方法将原信号分解成了频率各不相同的正弦信号，并且这些正弦信号是可以线性叠加的，反映了频域的部分信息[1]。传统信号降噪中使用的傅里叶分析全部都是基于频域的，没有别的时域的信息，但在信号处理中信号的时域信息又是相对重要的，傅里叶变换中即使是时域的局部变化也会影响频域的全局，频域的局部变化同样也影响着时域的全局变化，之后由傅里叶变换又发展来了短时傅里叶变换(Short-timeFouriertransform)(STFT)和小波变换(wavelettransform)。而这其中，短时傅里叶变换弥补了传统傅里叶变换中没有时域信息的缺点，但其职能基于同一个分辨域，这对于信号的精确性来说是较大的不足[2]。然而本文中，将不会采用上述两种方法而是通过小波变换的方式来达到信号的降噪处理。与傅里叶变换相比,小波变换是时间和频率的局部变换,能有效地提取领域信息从信号,通过缩放和平移功能的函数或信号的多尺度细化分析，很好的解决了传统傅里叶变换中存在的局限。传统的傅里叶变换中存在着时域以及频域的矛盾，不但去掉了噪声，还去掉了其中的高频信号。而本文中所采用的小波变换不仅可以去掉噪声，还可以保留高频信号，同时，小波变换也弥补了短时傅里叶变换单一分辨域的缺憾，故，小波变换因为这些优越性，被广泛应用于信号处理方面，成为了新一代的信号降噪处理方式。现下，小波降噪的文章很多，但以实验的形式系统比较小波变换中各种方法的实际降噪效果的文章比较少，而本文将使用matlab软件对小波变换中不同阈值对降噪效果的影响，以及小波变换对不基于小波变换的信号降噪处理6同种类信号，不同噪声信号降噪过程中的差异性做系统的比较总结。基于小波变换的信号降噪处理7第一章小波变换的发展及原理1.1小波变换的发展法国工程石油师J.Morlet于1974年提出了小波变换的概念，他将实际观察的物理现象以及工作中的经验做了总结，并得出了反演公式，可是在那个时期并没有任何数学家对他的研究成果表示认可。20年后法国工程师J.B.J.Fourier在热学研究中，他提出可以将任何函数展开，变为三角函数的无穷级数，和他的前辈一样，他的理论也没有得到认可。1986年数学家Y.Meyer在一个意外的条件下建立了一个再后来看来是一个真正意义上的小波基，之后他与S.Mallat一同研究出了通过多尺度分析来建立小波基，自此小波分析才有此开始了发展。小波变换和傅里叶变换相比，有着更加优秀的局部时域特性，更因为其优秀的局部时域特性帮助它能够更好的进行信号处理，通过伸缩平移等运算以多尺度分析的方式处理了傅里叶变换所无法处理疑难案例，由于小波分析的种种优越性，它更是被冠以“数学显微镜[3]”的美称。1.2小波变换和傅里叶变换的对比小波变换是通过傅里叶变换发展而来的，它们彼此之间存在着千丝万缕的联系。但是，它们也有着明显的区别：首先，傅里叶变换是在一个正交基空间（{}jte）内通过分解f(t)信号得到的。而小波变换则是分解于另一种空间：由Wj与Vj组成。通常的情况下，我们所说的傅里叶变换指的都是“连续傅里叶变换”即连续函数的傅里叶变换。连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。在频域分析中，傅里叶变换有着良好的局部化功能，尤其是相对那些频率成分相对单一的简单的确定性信号。信号很容易被表示为各个频率成分相互叠加的和的形式。但是，在时域里，傅里叶变换没有起在频域里的优越特性无法将f(t)的傅里叶变换F()里得到f(t)在任何的时间点的状态。连续傅里叶变换存在着一种推广叫做分数傅里叶变换（FractionalFourierTransform）。当f（t）为偶函数时，那么它将不存在正弦分量，这种变换就是余弦转换（cosinetransform），对应的当它为奇函数时，那么其将不存在余弦分量，那么这时的变换就是正弦转换（sinetransform）基于小波变换的信号降噪处理8[4]。傅里叶变换是比较单一的，函数只有正弦，余弦，以及exp()jt等。相比之下小波变换则多的多，例如：墨西哥草帽小波、样条小波以及我们通常使用的db10、sym等等。这些小波种类繁多，但也造成了小波变换后实际效果的较大幅度差异。本文将通过对比各种函数间的降噪效果得到最佳的降噪函数。在进行小波变换时，a数值的变化与傅里叶变换的值变化相反。通过对比傅里叶变换和小波变换，我们知道了小波变换的优点，下面来介绍小波变换的原理。如果使用信号滤波器来对比，小波变换和傅里叶变换的区别在于：对短时傅里叶变换来讲，带同滤波器的带宽f和中心频率f无关；而在小波变换中，带同滤波器的带宽f和中心频率f成正比。1.3小波变换的原理小波变换的原理：小波变换就是小区域，长度有限，均值为零的波形。小波变换是分析其时间频率的局部。信号的多尺度细分可以通过伸缩评议的运算来达到，从而完成低频的地方细分频率，高频的部分细分时间。小波变换的积分变换定义为：1[],()xbWfabfxdxaa小波系数jkC被赋予：[](2,2)jjjkCWfk被称为二进制扩张或二进位膨胀,然后2jbk是二进制或二进位的位置。设Ψ(t)∈L2(R)(L2(R)表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间)，其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件：2()RtdwwC（1）时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列：,1()()abtbtaa,,0abRa（2）其中a为伸缩因子，b为平移因子。对于任意的函数f(t)∈L2(R)的连续小波变换为：基于小波变换的信号降噪处理9,1(,),()()fabRtbWabfftdtaa（3）其逆变换为：211()(,)()fRRtbftWabdadbCaa（4）小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a和平移因子b来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。1.4小波变换的特点小波变换有以下特点：低熵性：零散出现的小波系数，以减少转换后的信号的熵。多分辨率特性：具有良好的非平稳性信号的描述。去相关性：取出的信号的相关性和噪声小波变换的白化趋势，所以可以快捷的时域去噪。基函数的灵活性：根据信号和噪声去除要求合适的小波的特点，灵活地选择小波变换的基础功能[5]。1.5小波基函数的选取现在，对于小波基的选取规则并没有完善的理论体系，在现实操作中，主要是依据所应用的领域的不同而选取不同的小波基函数。这些小波奇函数的选择大部分是通过人们的工作目的、实践经验得到的。例如：使用daubechies小波阈值去噪来处理信号等方面的问题，使用正交基shannon来解决差分方程的相关问题，使用样条小波来进行无损探伤，在BP神经网络算法方面则可以使用墨西哥草帽小波[6]。在进行傅里叶变换的过程中，我们单一的基波选择只能是正弦信号。信号往往是通过正弦函数的有次谐波来大概的描述的，那么他的系数大小自然也就表达了谐波分量与原函数的异同成都。在小波变换中，其系数也有上述特性，也能够表达这个小波与原函数是否相似。小波的平滑程度和函数的规则性系数也有着类似正相关基于小波变换的信号降噪处理10的关系，即：规则系数大那么就对应着平滑小波，反之，则对应着非平滑小波[4]。小波变换，其实就是时域的局部特征在不同尺度信号下的体现，当原始信号在频谱内和噪声信号产生显而易见的相互分离的特性时，我们就可用小波变换的方式达到信号降噪的目的。通过时域局部化，它的窗口也是可以变化的。那么，小波变换在低频部